Die Parabel als Ortskurve
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- Carl Lange
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1 Die Parabel als Ortskurve Autor: Andreas Nüesch, Gymnasium Oberwil/BL, Schweiz Idee: Gegeben ist eine Konstruktionsvorschrift für einen Punkt P im Koordinatensystem. 1. Konstruieren der Ortskurve mit HIlfe des Taschenrechners (in Kleingruppen). 2. Finden einer Funktionsgleichung dieser Ortskurve. 3. Herleiten dieser Funktionsgleichung aus der Konstruktion. 4. Diskussion der verschiedenen Herleitungen (in der Klasse). Rahmenbedingungen: 10. Schuljahr. Die Parabelgleichung ist bekannt. Die Schülerinnen und Schüler kennen die wichtigsten Konstruktionen, welche mit dem TI-nspire möglich sind. Tabellenkalkulation ist noch nicht bekannt. Zeitbedarf: für jede Ortskurve ca. 45 Minuten Die mit * bezeichneten Aufgaben sind fakultativ. Arbeitsaufträge an die Schülerinnen und Schüler: Parabel 1 Wir geben einen festen Punkt F auf der y-achse vor. Den zweiten Punkt X wollen wir nachher verschieben. Er soll auf der x-achse liegen. P ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von FX mit der zur y-achse parallelen Geraden durch X. Auf welcher Kurve liegen alle Punkte P? 1. Wählen Sie für F den Punkt F(0 / 2). Konstruieren Sie einen Punkt P von Hand ins nebenstehende Koordinatensystem. 2. Übertragen Sie nun die Konstruktion auf den Rechner.
2 3. Bewegen Sie den Punkt X auf der x-achse hin und her. Haben Sie eine Vermutung, auf welcher Kurve die Punkte P liegen? Mit dem Befehl Geometrischer Ort können Sie die Kurve zeichnen. Anleitung: Befehl Geometrischer Ort auswählen, dann zuerst X anklicken, anschliessend P. 4. Finden der Funktionsgleichung der Ortskurve Machen Sie die Koordinaten von P sichtbar (Befehl Koordinaten und Gleichungen) und versuchen Sie die Funktionsgleichung der Kurve zu erraten. Sie können auch ihre vermutete Funktionsgleichung eingeben ( Graph bearbeiten, Befehl Funktion) und dann die Funktionsvorschrift solange verändern, bis ihr Graph mit der Ortskurve übereinstimmt. 4. Ziel ist es nun, die Funktionsgleichung dieser Kurve für den vorgegebenen Punkt F zu finden, bzw. unsere Vermutung von oben zu beweisen. Dazu geben wir dem Punkt P die Koordinaten P(x / y). Zeichnen Sie x und y als Strecken in die Skizze ein und suchen Sie den Zusammenhang zwischen x und y.
3 5. Bewegen Sie nun F auf der y-achse und beobachten Sie, wie sich die Ortskurve verändert. Je näher F beim Nullpunkt liegt, desto Halten Sie das Ergebnis in einer Skizze fest. * 6. Nennen wir den Punkt F(0 / c). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Ortslinie in Abhängigkeit von c.
4 Parabel 2 1. Konstruktion eines Punktes Wir geben einen festen den Punkt A(0 / 2) vor und einen beweglichen Punkt X auf der x-achse. Zeichnen Sie die Gerade AX sowie die Senkrechte zu AX durch X. Der Schnittpunkt dieser Senkrechten mit der y-achse ist Y. Zeichnen Sie nun durch X und Y Parallelen zu den Koordinatenachsen. Der Schnittpunkt dieser beiden Parallelen heisst P. 2. Übertragen Sie die Konstruktion auf den Rechner. 3. Bewegen Sie den Punkt X auf der x-achse hin und her. Auf was für einer Kurve könnten die Punkte P liegen? Mit dem Befehl Geometrischer Ort können Sie die Kurve (oder zumindest einen Teil davon) sichtbar machen. Anleitung: Befehl Geometrischer Ort auswählen, dann zuerst X anklicken, anschliessend P. 4. Machen Sie die Koordinaten von P sichtbar (Befehl Koordinaten und Gleichungen) und versuchen Sie die Funktionsgleichung der Kurve zu erraten. Sie können auch ihre vermutete Funktionsgleichung eingeben ( Graph bearbeiten, Befehl Funktion) und dann die Funktionsvorschrift solange verändern, bis sie mit der Ortskurve übereinstimmt. Auf welcher Kurve bewegt sich P, wenn X auf der x-achse bewegt wird.
5 5. Leiten Sie eine Funktionsgleichung für die Ortskurve her. Parabel 3 1. Konstruktion eines Punktes P. Gegeben sind der Punkt F(0 / 4) und die x-achse. Auf welcher Kurve liegen die Punkte P, welche von der x-achse und dem Punkt F den gleichen Abstand haben? Konstruieren Sie einen solchen Punkt im nebenstehenden Koordinatensystem. 2. Übertragen Sie nun die Konstruktion auf den Rechner. Tipp: Benutzen Sie einen Schieberegler, um den Abstand zu verändern. Anleitung: Zeichnen Sie eine Strecke AB irgendwo neben dem Koordinatensystem und irgendwo auf der Strecke den Punkt X. Wählen Sie dann jeweils die Strecke AX für die Konstruktion. Durch Verschieben von X kann der Punkt P variiert werden. A X B Auf was für einer Kurve könnten die Punkte P liegen?
6 Mit dem Befehl Geometrischer Ort können Sie die Kurve (oder zumindest einen Teil davon) sichtbar machen. Anleitung: Befehl Geometrischer Ort auswählen, dann zuerst X anklicken, anschliessend P. 3. Machen Sie die Koordinaten von P sichtbar (Befehl Koordinaten und Gleichungen) und versuchen Sie die Funktionsgleichung der Kurve zu erraten. Sie können auch ihre vermutete Funktionsgleichung eingeben ( Graph bearbeiten, Befehl Funktion) und dann die Funktionsvorschrift solange verändern, bis sie mit der Ortskurve übereinstimmt. 4. Leiten Sie die Funktionsgleichung für die Ortskurve her.
7 *5. Verändern Sie nun die Konstruktion so, dass die Abstände von P zu F und von P zur Geraden nicht gleich sind. z. B. Abstand P-F halb so gross wie Abstand P - Gerade. oder Abstand P-F doppelt so gross wie Abstand P - Gerade. Sie können aber auch einen Schieberegler basteln, mit dem das Abstandsverhältnis P-F : P-Gerade verändert werden kann. Beschreiben und zeichnen Sie die Kurven, auf denen die Punkt P bei gleichem Abstandsverhältnis liegen. Abstand P-F : P-Gerade < 1: Abstand P-F : P-Gerade > 1:
8 *Parabel 4 1. Konstruktion eines Punktes P. Wir geben zwei feste Punkte A(4 / 0) und B( 4 / 0) auf der x-achse vor sowie eine Parallele zur x-achse durch den Punkt Y(0 / 4). Der bewegliche Punkt C liegt auf dieser Parallelen. Konstruieren Sie den Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC. 2. Übertragen Sie nun die Konstruktion auf den Rechner. 3. Bewegen Sie den Punkt C auf der Parallelen zur x-achse hin und her. Auf was für einer Kurve könnten die Punkte H liegen? Mit dem Befehl Geometrischer Ort können Sie die Kurve sichtbar machen. Anleitung: Befehl Geometrischer Ort auswählen, dann zuerst C anklicken, anschliessend P. 4. Auf welcher Kurve bewegt sich H, wenn C auf der Parallelen verschoben wird. Leiten Sie eine Funktionsgleichung für die Kurve her.
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