Mathematik Klasse 9d, AB 14 Übungszettel Parabel Lösung

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1 Aufgabe : Gegeben sind die folgenden Parabeln: a) f x =2x 2 8x 2 b) f 2 x = 0 x2 x c) f 3 x = 4 x2 2 x 2 Beschreibe die Parabel, in dem du den Scheitelpunkt angibst, ob sie enger oder weiter als die ist, und ob sie nach oben oder unten geöffnet ist. a) f x =2x 2 8x 2 =2 x 2,5x 2 =2 x2 3 2 x =2 x x 9 2 =2 x x 08 2 =2 x 0,75 x 2 8,75 S(0,75-8,75) nach oben geöffnet, enger als b) f x = 0 x2 x = 0 x2 0 x = 0 x2 0 x = 0 x = 0 x 5 2 2,5 = 0 x 5 2,5 S(-5 -,5) nach oben geöffnet, weiter als c) f x = 4 x2 2 x 2 = 4 x2 2 x 2 = 4 x2 2 x 2 = 4 x 2 2 = 4 x = 4 x 2,75 S( -,75) nach unten geöffnet, weiter als Aufgabe 2: Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen a) f x =3x 4 x n = 4 3 b) f 2 x = x 2 x x =2 ; x 2 = c) f 3 x = 2 x2 2x 6 x = 2 ; x 2 =6 Seite von 5

2 d) f 3 x = 4 x2 2 x 2 x = 4 ; x 2 =2 e) f x = 3 x2 3 8 x 3 4 Gleich null setzen: 0= 3 x 2 n 3 8 x n 3 4 0= 3 x 2 n 2x n 3 4 0= 3 x n 2 2x n ausklammern quadr. Ergänzung 0= 3 [ x n ausmultiplizieren 0= 3 x n = 3 x n 2 : = x n 2 ± 5= x / 2 - = 5 3,236 x 2 = 5,236 f) f x = 2 x 2 2 x 5 Gleich null setzen: 0= 2 x n 2 2 x n 5 2 ausklammern 0= 2 x n x n 5 0= 2 x n 2 2 x n 5 quadr. Ergänzung 0= 2 x n 2 2 x n 5 0= 2[ x 2 n ] 5 0= 2 x n = 2 x n = x n : 2 ± 5 2 =x / = 5 2 4,0320 = 5 2 4,5320 Seite 2 von 5

3 Aufgabe 3: Eine Parabel schneidet die x-achse bei x = und x 2 =2 sowie die y-achse beim Wert y = 4. a) Stelle die Gleichung der Parabel auf. Lösung: Aus den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen können drei Punkte abgelesen werden: P (- 0), P 2 (2 0), P 3 (0-4). Durch Einsetzen der drei Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung f x =ax 2 bx c können drei Gleichungen aufgestellt werden, die nach den Parameter a, b und c aufgelöst werden. I. 0=a 2 b c II. 0=a 2 2 b 2 c III. 4=a 0 2 b 0 c I. 0=a b c setze III ein II. 0=4 a 2b c setze III ein III. 4=c Ia. 0=a b 4 IIa. 0=4 a 2b Ia. IIb. 0=6a 2-4 2=6a : 6 2=a Ia. 0=a b 4 setze IIb. ein Ib. 0=2 b = b Also a = 2, b = -2, c = -4 und f x =2x 2 2x 4 b) Berechne den Scheitelpunkt der Parabel. S(0,5-4,5) f x =2x 2 2x 4 =2 x 2 x 4 =2 x 2 x 0,25 0,25 4 =2 x 0,5 2 0,25 4 =2 x 0,5 2 0,5 4 =2 x 0,5 2 4,5 Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(0,5-4,5) c) Berechne die Schnittpunkte der Geraden g : y= 2x 24 mit der Parabel. f x s = g x s 2x 2 2x 4= 2x x + 4 2x 2 =28 : 2 x 2 =64 =8, x 2 = 8 Setze x und x 2 in eine der beiden Funktionsgleichungen ein: f x = =2 f x 2 = =40 Seite 3 von 5

4 Die Schnittpunkte haben die Koordinaten S (-8 08), S 2(8 40). Aufgabe 4: Gegeben sind eine Parabel und eine Gerade. a) Stelle die Funktionsgleichungen der Parabel und der Geraden auf: Die Zahlen geben die Abstände der jeweiligen Punkte an. Wähle den Koordinatenursprung im markierten Kreis. b) Berechne die Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade. 4 4,5 5 Lösung: Mit dem gewählten Nullpunkt können drei Punkte der Parabel und zwei Punkte der Geraden abgelesen werden: Gerade: P (-8,5-5), P 2 (4 5) Geradengleichung: g x =m x n Einsetzen der Punkte: I. 5=m 8,5 n II. 5=m n II I IIa. 0=2,5 m : (2,5) 4 5 =m II. 5=m n setze m = 0,8 ein IIb. 5=0,8 n - 3,2,8=n Damit hat die Gerade die Funktionsgleichung g x = 4 5 x 9 5 Seite 4 von 5

5 Parabel: P 3 (-5 -,5),, P 4 (0 ), P 5 (5 8,5). Einsetzen in f x =ax 2 bx c I.,5=a 5 2 b 5 c II. =a 0 2 b 0 c III. 8,5=a 5 2 b 5 c I.,5=25a 5b c setze II ein II. =c III. 8,5=25a 5b c setze II ein Ia.,5=25a 5b - 2,5=25a 5b IIIa. 8,5=25a 5b - 7,5=25a 5b IIIa. + Ia. IIIb. 5=50a : 50 0 =a IIIa. 7,5=25a 5b setze a = 0, ein IIIc. 7,5=2,5 5b - 2,5 5=5b :5 =b Also a = /0, b =, c = und f x = 0 x2 x Bestimmung der Schnittpunkte durch Gleichsetzen von f und g. 0 x2 x = 4 5 x x2 5x 5=4 x 9-4x -9 2 x2 x 4=0 Jetzt haben wir wieder eine Gleichung, wie wir sie bei der Nullstellenberechnung erhalten. 2 x2 x 4=0 : 2 x 2 2x 8=0 x 2 2x 8=0 x 2 =9 x =±3 - = 4 x 2 =2 Für Schnittpunkt setze x in f oder g ein: g x = = 7 5 Für Schnittpunkt 2 setze x 2 in f oder g ein: g x = = 7 5 Die Schnittpunkte sind S (-4 -,4) und S 2 (2 3,4). Seite 5 von 5