Lösungen: Quadratische Funktionen Kompetenzorientiertes Üben 1

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1 Lösungen: Quadratische Funktionen Kompetenzorientiertes Üben 1 Aufgabe 1.: 6,0 5,0,0 3,0,0 1,0 0,0 1,0,0 3,0,0 5,0 6,0 7,0 f() 31,0,5 15,0 8,5 3,0 1,5 5,0 7,5 9,0 9,5 9,0 7,5 5,0 1,5 g(),0 9,0 18,0 9,0,0 3,0 6,0 7,0 6,0 3,0,0 9,0 18,0 9,0 h() 9,3 3,0 17,3 1,3 8,0,3 1,3 1,0,7 3,7,0 3,7,7 1, h() f() g() Aufgabe.: Darstellung im Koordinatensstem: 6 h() f() g()

2 b) Funktionsgleichungen: Vorgehen: Anhand der graphischen Darstellung wurden die Scheitelpunkte bestimmt. Mit Hilfe der Koordinaten wurden die Funktionsgleichungen in der Scheitelpunktsform aufgestellt. Scheitelpunkt Scheitelpunktsform S 1 ( ) f() = ( )² S ( 5 3 ) g() = ( + 5)² + 3 S 3 ( 0 ) h() = ² + Aufgabe 3.: 5,0,0 3,0,0 1,0 0,0 1,0,0 3,0,0 5,0 f() 9,5 8,0 6,5 5,0 3,5,0 0,5 1,0,5,0 5,5 g() 0,1 0,1 0,1 0,1 0, 0, 0,3 0,3 0,5 1,0 h() 1,0,0 3,0,0 1,0 6,0 13,0,0 33,0 6,0 61,0 Diagramm falsch! h() 5 f() g()

3 Aufgabe.:,0 1,0 0,0 1,0,0 3,0,0 5,0 6,0 f() 13,3 6,3 1,3 1,7,7 1,7 1,3 6,3 13,3 g(),0 13,0 6,0 1,0,0 3,0,0 1,0 6,0 7 g() f() Aufgabe 5.: Scheitelpunkt S Öffnung Funktionsgleichung Scheitelpunktsform Funktionsgleichung Normalform S( 3 ) nach oben f() = ( + 3) + f()= S( 7 3 ) nach unten f() = ( 7) 3 f()= +1 5 S( 0,5 3,5) nach unten f() = ( + 0,5) +3,5 f()= +3,5 S(1 5 ) nach oben f() = ( 1) 5 f()= +139 S(,5 7) nach unten f() = 0,75( +,5) 7 f()= 0,75 6,75,1875

4 Aufgabe 6.: Die Ergebnisse werden in einer Tabelle präsentiert. Funktionsgleichung Funktionsgleichung Funktion Scheitelpunkt Scheitelpunktsform Normalform f() S(,5 ) ( ) ( ) f = +, 5 f ( ) = , 5 g() S( +6) ( ) ( ) g = g ( ) = + h() S( 0 3 ) h ( ) = + 3 h ( ) = + 3 k() S(1,5 3) ( ) ( 1,5) k = 3 k ( ) = 3 0, 75 i() S(,5 3) ( ) (,5) l = 3 l ( ) = 5 + 3, 5 Aufgabe 7.: Gegeben ist die Funktionsgleichung f() = a) Berechne die Nullstellen ( 1 und ) der quadratischen Gleichung. Gleichung gleich Null setzen! () = 0 : ( 3) ² + 3 = ² + = 3 plus quadratische Ergänzung: + ( / )² = + 1 ² = ² = linke Seite der Gleichung faktorisieren, d.h. das Binom bilden! ( + 1 )² = Wurzel ziehen (radizieren) = = 1 1 = +1 = 3 L{ 1 3 },d.h. für 1 = +1 und = 3 ist gleich Null, deshalb sind da die Nullstellen. b) Bestimme aus der Normalform die Scheitelpunktsform. Zuerst zwei Lösungsbeispiel von Aktuelle Hilfeseite zur Scheitelberechnung mit quadratischer Ergänzung Lösungsbeispiel 1: Lösungsbeispiel : Bildquelle: /Andreas Meiser Jetzt unser Problem! Nächste Seite!

5 = aus den ersten beiden Summanden ausklammern. = 3[ + ] + 9 plus und minus quadratische Ergänzung. = 3[ ] + 9 Diesen Teil faktorisieren (Binom). = 3[ ( + 1)² 1 ] + 9 Eckige Klammer mit 3 multiplizieren. = 3( + 1)² zusammenfassen = 3( + 1)² + 1 Scheitelpunktsform fertig! c) Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes aus der Scheitelpunktsform. S ( 1 +1 ) d) Überprüfe, ob der Punkt A( 15 ) ein Punkt auf dem Funktionsgraphen ist. Das heißt: Wenn = ist, dann soll = 15 sein. Dazu = in die Gleichung = 3( + 1)² + 1 einsetzen. = 3( + 1)² + 1 = ( 3) = = 15 Stimmt! Der Punkt A( 15 ) ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen. Aufgabe 8.: a: f 1 () = ² b: f () = ² + 3 c: f 3 () = ² 3 d: f 3 () = ² 3 e: f 5 () = ² f: f 6 () = 0,² Aufgabe 9.: Scheitelpunkt Scheitelpunktsform Normalform S 1 ( 3 5 ) f() = ( + 3) 5 f() = S ( 6 6 ) g() = ( + 6) +6 g() = S 3 ( 1,5 3,5) h() = ( + 1,6) +3,5 h() = 3 + 1,5 S ( 5 ) i() = ( ) 5 i() = S 5 ( 1 ) k() = ( ) 1 k() = +3

6 Aufgabe 10.: Scheitelpunkt Öffnung Scheitelpunktsform Normalform S 1 ( 3,5 3) nach unten f() = ( + 3,5) +3 f() = 7 9,5 S ( 5,5) nach oben g() = ( 5),5 g() = 10 +,5 S 3 ( 1,5 6) nach unten h() = ( + 1,5) 6 h() = 3 8,5 S ( 6,5) nach oben i() = (+6),5 i() = ,5 S 5 ( 0 +7) nach unten k() = + 7 k() = + 7 i() g() f() h() 6 k() Aufgabe 11.: a) Berechnung der Nullstellen: f ( ) = ( 5,5),5 Nullstellen: N 1 ( 7 0 ) N ( 0 ) g ( ) =,5 ( 0,5) Nullstellen: N 1 ( 0 ) N ( 1 0 ) h ( ) = ( + ) + Nullstellen: N 1 ( 0 ) N ( 0 0 ) i ( ) = 0,5( + 0,5) 3,7815 Nullstellen: N 1 ( 3 0 ) N (,5 0 )

7 b) Eine Nullstelle ist nicht zu sehen, aber zu erahnen! Aufgabe 1.: Da alle gezeigten Parabeln im Ursprung ihren Scheitelpunkt haben, besitzen sie die Form: f ( ) = a Der Faktor a muss durch die Koordinaten eines Punktes bestimmt werden. Da man ganzzahlige Koordinaten am besten ablesen kann, benutzt man solche Punkte. g() verläuft durch den Punkt P( ). g( ) = a g() = = a = a a = 0,5 g( ) = 0,5 h() verläuft durch den Punkt P( 3,5,5) k() verläuft durch den Punkt P( 1) h( ) = 0,008 k( ) = 0,5 Scheitelpunkt weiterer Punkt Scheitelpunktsform S 1 ( 0 0 ) A 1 ( 1 1 ) f() = ² S ( 0 0 ) A ( ) g() = 0,5 ² S 3 ( 0 0 ) A 3 ( 3,5,5) h() = 0, ² S 5 ( 0 0 ) A 5 ( 1 ) k() = 0,5 ²

8 Aufgabe 13.: Name allg. Form Punkt Funktionsgleichung f() f ( ) = a P( 5,5) f ( ) = 0,1 g() g( ) = a b P( 3 ) g ( ) = 0,5 3 h() h ( ) = a( + 1) + 3 P(,5 ) h ( ) = 0,081( + 1) + 3 k() k ( ) = a( 3) P( ) k ( ) = ( 3) l() l ( ) = a( ) 1 P(0 3) l ( ) = 0,5( ) 1 Aufgabe 1.: a) m m b) Die Funktionsgleichung hat die Form f ( ) = a + 0. Der Faktor a muss sehr klein sein, da es sich hier um eine gestauchte Parabel handelt. Der Brückenbogen hat auf der Fahrbahnhöhe eine Breite von 8 m. Da die Achse sich in der Mitte des Bogens befindet, sind diese beiden Punkte Nullstellen mit den Koordinaten N 1 ( 1 0) und N ( 1 0). f (1) = 0 Daher gilt: O = a a = 0, Schülerinnen und Schüler werden diese Aufgabe sicherlich mit den grafikfähigen Tascherechner durch ein probierendes Verfahren lösen. Sie werden verschiedene Werte für den Faktor a ausprobieren, bis der Graph in etwa die oben beschriebenen Nullstellen trifft. c) Die Durchfahrtshöhe für Schiffe beträgt 3 m. Dann beginnt das Wasser in einer Höhe von 3 m. Die Schüler können den entsprechenden Wert mit dem GTR leicht über die Trace Funktion ermitteln. Die rechnerische Lösung: 3 = 0, = =

9 Aufgabe 15.: Bürohaus Berliner Bogen a) 3. Stockwerk N 1 =( 36 0) N =(+36 0) Parkebene b) Nur die Funktion f kann den Parabelbogen darstellen. Der Scheitelpunkt ist nach oben verschoben. Die Parabel ist nach unten geöffnet. c) Die Funktionsgleichung hat die Form: f ( ) = a Der Faktor a muss negativ werden. Da die Nullstellen bekannt sind gilt: f ( 36) = 0. Daher gilt: 0 = a ( 36) Wird diese Gleichung nach a aufgelöst, so erhält man: a= Die Funktionsgleichung lautet: f ( ) = 0, d) Die dritte Etage befindet sich in einer Höhe von 1,7 m. Daher gilt: 1,7 = 0, = = Die Breite der Etage beträgt daher 8,96 = 57.9 m.

10 36 Höhe in m Breite in m

11 Aufgabe 16.: a) 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5,0,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 1 1,1 1,3 1,5 1,6 1,7 1,7 1,8 1,8 1,8 1,7 1,6 1,5 1, 1, 1,0 0,8 0,6 c) Bob Beamon hätte einen PKW überspringen können. Ein PKW ist selten höher als 1,60 m und hat eine Breite von circa,50 m. Dies passt unter die durch die obere Tabelle beschriebene Flugbahn. Sprunghöhe m 1,8 1,6 1, 1, 1,0 0,8 0,6 0, 0, Sprungweite m Andreas Koepsell, Fachmoderator Mathematik, Niedersachsen