Quadratische Funktionen

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1 Lernlandkarte Quadratische Funktionen Achsenschnittpunkte y-achsenabschnitt: = Allgemeine Parabelgleichung = + + Nullstellen: = p-q-formel + + = 0 / = ± Öffnung, Dehnung, Stauchung Aufstellen der Funktionsgleichung aus drei Punkten mit LGS Linearfaktordarstellung = Scheitelpunkt / Scheitelpunktform Scheitelpunkt: = + Anwendung: ökonomische Funktionen, z. B. Erlösfunktion (Monopol) Grenz- und Durchschnittskostenfunktionen Schnittpunkte mit Geraden und anderen Parabeln Anwendung: Beschleunigungsprozesse Modellieren

2 Thema: Quadratische Funktionen LE 1.1 Ich kann erklären, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen einer quadratischen Funktion haben. Seite 1 i Für die LE 1 solltest du dir maximal 90 Minuten schulische Lernzeit einplanen. Den Rest solltest du zu Hause bearbeiten! Notiere Dir Beginn, Ende und Dauer Deiner Bearbeitungszeit! 90 Was ist eine quadratische Funktion? Die allgemeine lineare Funktionsgleichung in Normalform lautet = + oder = + Begin Ende Bearb nn : Datum, Uhrzeit e: Datum, Uhrzeit beitungszeit:... Die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in Normalformm lautet = + + &, und sind die Parameter der Funktion. Die Funktionsgleichungen unterscheiden sich, je nachdem, welchen diese Parameter annehmen. Beispiele sind: = = = 0,5 2 Nur der Parameter darf nicht den Wert Null annehmen, da es sich dann nicht mehr um eine quadratische, sondern um eine lineare Funktion handelt. Wenn du eine quadratische Funktion in ein Koordinatensystem zeichnest (Wertetabelle), ergibt sich die typische Parabelform, die allen quadratischen Funktionen zu Eigen ist:

3 Thema: Quadratische Funktionen LE 1.1 Ich kann erklären, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen einer quadratischen Funktion haben. Seite 2 i Welche Parameter hat eine quadratische Funktion und wie wirken diese auf den Graphen? Die Parameter der Funktion haben auch einen entscheidenden Einfluss auf den Graphen der Funktion. Du kannst hierzu mir der GeoGebra-Datei experimentieren (siehe Übungen). Man bezeichnet dabei = als Normalparabel. Die Ergebnisse einer Variation eines der Parameter kann mit dieser Normalparabel verglichen werden, um den Effekt der Variation zu beschreiben. Die geometrischen Eigenschaftenn einer quadratischen Funktion sind Öffnung (nach oben oder unten), Stauchung (breiter als die Normalparabel), Streckung (schmaler als die Normalparabel) und Verschiebung (höher oder tiefer als die Normalparabel). Untersuche insbesondere, wie sich die geometrischen Eigenschaften der quadratischen Funktion verändern, für = 0 = 1 & = 0 ( 0 ) 1 & ) 0 ) 0 ( 1 & ( 0 Auch den Parameter kannst du variieren. Allerdings ist seine Wirkung komplex und eine Untersuchung nicht wirklich gewinnbringend. Daher könntest du ihn je nach Interesse auch vernachlässigen. Wenn du mit der Geogbra-Datei geworden sein: experimentiert hast, sollten dir die folgende Zusammenhänge klar = 0: ( 0: ) 0: = 1: ( 1: ) 1: & = 0: & ( 1: & ) 1: Die Funktion ist nicht mehr quadratisch, sondern linear. Die Funktion ist nach oben geöffnet. Die Funktion ist nach unten geöffnet. Die Funktion ist weder gestreckt noch gestaucht sie ist normal. Die Funktion ist im Vergleich zur Normalparabel gestreckt. Die Funktion ist im Vergleich zur Normalparabel gestaucht. Die Funktion verläuft genau durch den Ursprung. Die Funktion ist nach oben verschoben. Die Funktion ist nach unten verschoben. & allgemein: & ist der y-achsenabschnitt der Funktion.

4 Thema: Quadratische Funktionen LE 1.1 Seite 3 Ich kann erklären, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen einer quadratischen Funktion haben. Übungen: 1) Experimentiere mit der verlinkten GeoGebra-Datei. Mach dir insbesondere klar, wie sich der Graph bei einer Veränderung der Parameter im Vergleich zur Normalparabel verändert für = 0 = 1 & = 0 ( 0 ) 1 & ) 0 ) 0 ( 1 & ( 0 Link:

5 Thema: Quadratische Funktionen LE 1.2: Ich kann die Parameter a und c aus dem Graphen einer quadratischen Funktion ablesen. Seite 4 i Wie kann ich die Parameter der quadratischen Funktion in der graphischen Darstellung ablesen? Das Ablesen von Parametern einer quadratischen Funktion = + + & ist vor allem für die Parameter und & sehr gut möglich. könntest du erneut vernachlässigen. Um den Parameter abzulesen, gehst du am besten vom sogenannten Scheitelpunkt aus. Hierbei handelt es sich um den tiefsten oder höchsten Punkt des Graphen. Vom Scheitelpunkt aus gehst du erst einen Schritt in positive x-richtung und dann so lange nach oben oder untenn in y-richtung, bis du den Graphen wieder triffst. Die Anzahl der Schritte, die du in y-richtung gehen musstest entspricht dem Wert des Parameters. Beispiel: Nachdem du vom Scheitelpunkt den einen Schritt in positive x-richtung gemacht hast, gehst du 2 Schritte in positive y-richtung, um wieder auf den Graphen zu kommen. Der Parameter hat also den Wert 2. Parameter & ist wie oben bereits beschrieben nichts anderes als der Schnittpunkt von Graph un y- Achse. Im Beispiel ist & = 3. Noch eine Warnung: Der Parameter wird ähnlich bestimmt, wie die Steigung bei einer linearen Funktion. Dennoch ist offensichtlich, dass sich die Steigung einer quadratischen Funktion laufend ändert. Den Parameter als Steigung zu bezeichnen wäre deshalb falsch. Es ist einfach der Parameter. Außerdem musst du vom Scheitelpunkt aus starten, um Parameter korrekt bestimmen zu können. Jeder andere Starpunkt führt zu einem falschen Ergebnis.

6 Thema: Quadratische Funktionen LE 1.2 Seite 5 Ich kann die Parameter a und c aus dem Graphen einer quadratischen Funktion ablesen. Übungen: Bearbeite alle Aufgaben (Zeitbedarf ca. 8 Min) 1) *Folge dem Link und ordne die Funktionen zu. /tests/fun1/erkennen.html 2) Lies aus den folgenden Graphen die Parameter und & ab. a) b) c) d) e) Lösungen: a) = 2; & = 9 b) = 0,5; & = 3 c) = 1; & = 1 d) = 3; & = 1 e) = 0,5; & = 2,5