Quadratische Funktionen

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1 Lernlandkarte Quadratische Funktionen Achsenschnittpunkte y-achsenabschnitt: = Allgemeine Parabelgleichung = + + Nullstellen: = p-q-formel + + = 0 / = ± Öffnung, Dehnung, Stauchung Aufstellen der Funktionsgleichung aus drei Punkten mit LGS Linearfaktordarstellung = Scheitelpunkt / Scheitelpunktform Scheitelpunkt: = + Anwendung: ökonomische Funktionen, z. B. Erlösfunktion (Monopol) Grenz- und Durchschnittskostenfunktionen Schnittpunkte mit Geraden und anderen Parabeln Anwendung: Beschleunigungsprozesse Modellieren

2 Thema: Quadratische Funktionen LE 1.1 Ich kann erklären, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen einer quadratischen Funktion haben. Seite 1 Für die LE 1 solltest du dir maximal 90 Minuten schulische Lernzeit einplanen. Den Rest solltest du zu Hause bearbeiten! Notiere Dir Beginn, Ende und Dauer Deiner Bearbeitungszeit! 90 Was ist eine quadratische Funktion? Die allgemeine lineare Funktionsgleichung in Normalform lautet = + oder = + Begin Ende Bearb nn : Datum, Uhrzeit e: Datum, Uhrzeit beitungszeit:... Die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in Normalformm lautet = + + &, und sind die Parameter der Funktion. Die Funktionsgleichungen unterscheiden sich, je nachdem, welchen diese Parameter annehmen. Beispiele sind: = = = 0,5 2 Nur der Parameter darf nicht den Wert Null annehmen, da es sich dann nicht mehr um eine quadratische, sondern um eine lineare Funktion handelt. Wenn du eine quadratische Funktion in ein Koordinatensystem zeichnest (Wertetabelle), ergibt sich die typische Parabelform, die allen quadratischen Funktionen zu Eigen ist:

3 Thema: Quadratische Funktionen LE 1.1 Ich kann erklären, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen einer quadratischen Funktion haben. Seite 2 Welche Parameter hat eine quadratische Funktion und wie wirken diese auf den Graphen? Die Parameter der Funktion haben auch einen entscheidenden Einfluss auf den Graphen der Funktion. Du kannst hierzu mir der GeoGebra-Datei experimentieren (siehe Übungen). Man bezeichnet dabei = als Normalparabel. Die Ergebnisse einer Variation eines der Parameter kann mit dieser Normalparabel verglichen werden, um den Effekt der Variation zu beschreiben. Die geometrischen Eigenschaftenn einer quadratischen Funktion sind Öffnung (nach oben oder unten), Stauchung (breiter als die Normalparabel), Streckung (schmaler als die Normalparabel) und Verschiebung (höher oder tiefer als die Normalparabel). Untersuche insbesondere, wie sich die geometrischen Eigenschaften der quadratischen Funktion verändern, für = 0 = 1 & = 0 ( 0 ) 1 & ) 0 ) 0 ( 1 & ( 0 Auch den Parameter kannst du variieren. Allerdings ist seine Wirkung komplex und eine Untersuchung nicht wirklich gewinnbringend. Daher könntest du ihn je nach Interesse auch vernachlässigen. Wenn du mit der Geogbra-Datei geworden sein: experimentiert hast, sollten dir die folgende Zusammenhänge klar = 0: ( 0: ) 0: = 1: ( 1: ) 1: & = 0: & ( 1: & ) 1: Die Funktion ist nicht mehr quadratisch, sondern linear. Die Funktion ist nach oben geöffnet. Die Funktion ist nach unten geöffnet. Die Funktion ist weder gestreckt noch gestaucht sie ist normal. Die Funktion ist im Vergleich zur Normalparabel gestreckt. Die Funktion ist im Vergleich zur Normalparabel gestaucht. Die Funktion verläuft genau durch den Ursprung. Die Funktion ist nach oben verschoben. Die Funktion ist nach unten verschoben. & allgemein: & ist der y-achsenabschnitt der Funktion.

4 Thema: Quadratische Funktionen LE 1.1 Seite 3 Ich kann erklären, welchen Einfluss die Parameter a, b und c auf den Verlauf des Graphen einer quadratischen Funktion haben. Übungen: 1) Experimentiere mit der verlinkten GeoGebra-Datei. Mach dir insbesondere klar, wie sich der Graph bei einer Veränderung der Parameter im Vergleich zur Normalparabel verändert für = 0 = 1 & = 0 ( 0 ) 1 & ) 0 ) 0 ( 1 & ( 0 Link:

5 Thema: Quadratische Funktionen LE 1.2: Ich kann die Parameter a und c aus dem Graphen einer quadratischen Funktion ablesen. Seite 4 Wie kann ich die Parameter der quadratischen Funktion in der graphischen Darstellung ablesen? Das Ablesen von Parametern einer quadratischen Funktion = + + & ist vor allem für die Parameter und & sehr gut möglich. könntest du erneut vernachlässigen. Um den Parameter abzulesen, gehst du am besten vom sogenannten Scheitelpunkt aus. Hierbei handelt es sich um den tiefsten oder höchsten Punkt des Graphen. Vom Scheitelpunkt aus gehst du erst einen Schritt in positive x-richtung und dann so lange nach oben oder untenn in y-richtung, bis du den Graphen wieder triffst. Die Anzahl der Schritte, die du in y-richtung gehen musstest entspricht dem Wert des Parameters. Beispiel: Nachdem du vom Scheitelpunkt den einen Schritt in positive x-richtung gemacht hast, gehst du 2 Schritte in positive y-richtung, um wieder auf den Graphen zu kommen. Der Parameter hat also den Wert 2. Parameter & ist wie oben bereits beschrieben nichts anderes als der Schnittpunkt von Graph un y- Achse. Im Beispiel ist & = 3. Noch eine Warnung: Der Parameter wird ähnlich bestimmt, wie die Steigung bei einer linearen Funktion. Dennoch ist offensichtlich, dass sich die Steigung einer quadratischen Funktion laufend ändert. Den Parameter als Steigung zu bezeichnen wäre deshalb falsch. Es ist einfach der Parameter. Außerdem musst du vom Scheitelpunkt aus starten, um Parameter korrekt bestimmen zu können. Jeder andere Starpunkt führt zu einem falschen Ergebnis.

6 Thema: Quadratische Funktionen LE 1.2 Seite 5 Ich kann die Parameter a und c aus dem Graphen einer quadratischen Funktion ablesen. Übungen: Bearbeite alle Aufgaben (Zeitbedarf ca. 8 Min) 1) *Folge dem Link und ordne die Funktionen zu. /tests/fun1/erkennen.html 2) Lies aus den folgenden Graphen die Parameter und & ab. a) b) c) d) e) Lösungen: a) = 2; & = 9 b) = 0,5; & = 3 c) = 1; & = 1 d) = 3; & = 1 e) = 0,5; & = 2,5

7 Thema: Quadratische Funktionen Ich kann die Nullstellen quadratischen Funktion berechnen durch - p-q-formel - Ausklammern - Umformen LE 2.1 Seite 6 Für die LE 2 solltest du dir maximal 180 Minuten schulische Lernzeit einplanen. Den Rest solltest du zu Hause bearbeiten! Notiere Dir Beginn, Ende und Dauer Deiner Bearbeitungszeit! Beginn Ende: Bearbei : Datum, Uhrzeit Datum, Uhrzeit itungszeit: Wie kann ich die Nullstellen von quadratischen Funktionen berechnen? Die Nullstellen von quadratischen Funktionen kannst du immer mit der bekannten p-q-formel berechnen. Alternativ kannst du auch die sogenannte abc-formel verwenden. Auf diese wird hier aber nicht eingegangen. Unter bestimmten Umständen kannst du die Nullstellen auch mit Hilfe des Umformens oder des Ausklammerns berechnen. Auch dies erkläre ich dir gleich. Berechnung der Nullstellen mit der p-q-formel Die p-q-formel lautet + + = 0, = 2 ± 4. 2 / Beispiel: Berechne die Nullstellen von = Du rechnest = = 0 : 2 :2, damit allein steht = 0 somit ist = 3 und = 5; dies setzt du in die rechte Seite der p-q-formel ein:, = - ±. - / 5 dies tippst du in deinen Taschenrechner und erhältst:, = 1,5 ± 2,69 0 = 0, 01; = 2, 01.

8 Thema: Quadratische Funktionen LE 2.1 Ich kann die Nullstellen quadratischen Funktion berechnen durch - p-q-formel - Ausklammern - Umformen Seite 7 Berechnung der Nullstellen durch Umformen oder mit der p-q-formel Wenn bei einer quadratischen Funktion = 0 ist, kannst du die Nullstellen durch Umformen oder mit der p-q-formel berechnen. Beispiel: Berechne die Nullstellen von = Wenn du die p-q-formel anwenden möchtest rechnest du = = 0 : = 0 dann ist = 0 und = 9; einsetzen in die p-q-formel, = 6 ±. 6 / 9 eintippen in den Taschenrechner 0 = 7; = 7 WENN = 0 ist, gibt es allerdings einen leichteren und weniger fehleranfälligen Weg als die p-q- Formel. Du kannst die Nullstellen durch Umformen berechnen: Du rechnest = = = 27 : 3 = 9 ± 8 0 = 7; = 7 (Beachte: Beim Wurzelziehen gibt es IMMER ZWEI Ergebnisse - ein Positives und ein Negatives!) Achtung: Umformen wird nur gelingen, wenn schon in der Ausgangsfunktion Null ist. Ansonsten nicht! Welche der beiden Möglichkeiten du wählst bleibt dir überlassen. Eine von beiden reicht.

9 Thema: Quadratische Funktionen LE 2.1 Ich kann die Nullstellen quadratischen Funktion berechnen durch - p-q-formel - Ausklammern - Umformen Seite 8 Berechnung der Nullstellen durch Ausklammern oder mit der p-q-formel Wenn bei einer quadratischen Funktion = 0 ist, kannst du die Nullstellen mit der p-q-formel oder durch Ausklammern berechnen. Beispiel: Berechne die Nullstellen von = Wenn du die p-q-formel anwenden möchtest rechnest du = = 0 : = 0, = ±. / 0 dann ist = 2 und = 0; einsetzen in die p-q-formel eintippen in den Taschenrechner 0 = ; = = = 0 hier kannst du x ausklammern = 0 ist erfüllt für = 0 oder = 0 = 0 oder = 0 = 12 6 = 12 : 6 = 2 0 = ; = WENN = 0 ist, gibt es allerdings einen leichteren und weniger fehleranfälligen Weg als die p-q- Formel. Du kannst die Nullstellen durch Ausklammern berechnen: = 0 Achtung: Ausklammern wird nur gelingen, wenn schon in der Ausgangsfunktionn Null ist. Ansonsten nicht! Welche der beiden Möglichkeiten du wählst bleibt dir überlassen. Eine von beiden reicht.

10 Thema: Quadratische Funktionen LE 2.1 Ich kann die Nullstellen quadratischen Funktion berechnen durch - p-q-formel - Ausklammern - Umformen Seite 9 Gibt es immer zwei Nullstellen? - Ganz klar: NEIN! Hier ein für eine Funktion mit zwei Nullstellen: zwei Nullstellen = =! = 0 : = 0, = - ±. - / 5, = 1,5 ± 2,69 0 = 0, 01; = 2, 01. Hier ein Beispiel für eine Funktionn mit einer doppelten Nullstelle: = =! 0 eine (doppelte) Nullstelle = 0 : = 0, = 2 ± = 2 ± 0 0 = ; =. Hier ein Beispiel für eine Funktionn ohne Nullstellen: = =! 0 keine Nullstelle = 0 : = 0, = 2 ± = 2 ± 2 aus einer negativen Zahl kann keinee Wurzel gezogen werden hat keine Nullstellen.

11 Thema: Quadratische Funktionen LE 2.1 Seite 10 Ich kann die Nullstellen quadratischen Funktion berechnen durch - p-q-formel - Ausklammern - Umformen Übungen: Teste Dein Wissen! - Bearbeite mindestens so viele Aufgaben, wie unten angegeben! Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen. Verwende das angegebene Verfahren. Aufgabe 1: Umformen (bearbeite mindestens 4 Aufg.) a)* = 4 b)* = 9 c)* = 16 d)* = = e)* = >? Aufgabe 2: Ausklammern (bearbeite mindestens 3 Aufg.) a)* = + b)** = 2 4 c)** = 2 15 d)** = = + 5 e)** f)** = 3 12 g)** = 2?A > h)** = i)** = 0,5 + 8 Aufgabe 3: p-q-formel (bearbeite mindestens 3 Aufg.) a)* = b)** = c)** = 0,5 + 0,5 6 d)** = + e)*** = - 2 f)*** = 4 4

12 Thema: Quadratische Funktionen LE 2.1 Seite 11 Ich kann die Nullstellen quadratischen Funktion berechnen durch - p-q-formel - Ausklammern - Umformen Lösungen Aufgabe 1 Aufgabe 2 a) = 2; = 2 a) = 0; = 1 b) = 3; = 3 b) = 0; = 2 c) = 4; = 4 c) = 0; = 7,5 d) = ; = d) = 0; = 20 e) = > - ; = > - e) = 0; = f) = 2; = 2 g) = B > ; = B > h) keine Lösung -> keine Nullstellen i) keine Lösung -> keine Nullstellen Aufgabe 3 a) = 2; = 2 b) = 2; = 5 c) = 4; = 3 d) = ; = = e) keine Lösung -> keine Nullstellen f) = 2; = 2 (doppelte Nullstelle)

13 Thema: Quadratische Funktionen LE 2.2: Ich kann die Bedeutung der Diskriminante erklären. Was ist die Diskriminante und welche Bedeutung hat sie? Seite 12 Die Diskriminante ist der Teil der p-q-formel, der auf der rechten Seite unter der Wurzel steht (hier rot eingefärbt): + + = 0, = 2 ± 4. 2 / C =. / C stehtt für Diskriminante Wie du an den Beispielen oben bestimmt schon erkannt hast gilt: Wenn C ( 0, dann hat zwei Nullstellen. (Also wenn unter der Wurzel eine positive Zahl steht.) Wenn C = 0, dann hat einee (doppelte) Nullstelle. (Also wenn unter der Wurzel 0 (Null) steht.) Wenn C ) 0, dann hat keine Nullstelle. (Also wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht.) Was hat es mit einer doppelten Nullstelle auf sich? Eine doppelte Nullstelle hast du, wenn du in der p-q-formel unter der Wurzel 0 (Null) herausbekommst. Nach der p-q-formel rechnest du jetzt = 0 = und = + 0 =. Wie du siehst, bekommst du zwei mal das gleiche Endergebnis und somit eine doppelte Nullstelle. Dies ist zum einen für die Linearfaktordarstellung relevant (zur Linearfaktordarstellung siehe nächster Abschnitt): = D. /E D. /E = D. /E Zum anderen ist es für die Skizze der Funktion relevant: Bei einer doppelten Nullstelle berührt der Graph die x-achse nur, schneidet sie aber nicht. Außerdem sind bei doppelten Nullstellen und x-koordinate des Scheitelpunktes identisch.

14 Thema: Quadratische Funktionen LE 2.3: Ich kann die Linearfaktordarstellung einer quadratischen Funktion bilden. Seite 13 Was ist die Linearfaktordarstellung der quadratischen Funktion und wie kann ich sie bilden? Die Linearfaktordarstellung ist eine weitre Darstellungsform für quadratische Funktionen, die es neben der Normalform gibt. Sie wird nach folgendem Muster gebildet: =. Dabei sind und die Nullstellen der Funktion. Beispiel: Gegeben ist die Funktion = Die Nullstellen sind = 5 und = 2 (zur Überprüfung kannst du dies mit der p-q-formel ja einmal selbst ausrechnen). Du liest aus der Normalform (Ausgangsfunktion) noch den Vorfaktor ab ( = 2) und setzten alles ein: = mit = 2; = 5; = 2 = 2F 5G 2 = Vereinfacht: Das Vorzeichen der Nullstellen muss für die Linearfaktordarstellung umgedreht werden. Der Vorfaktor wird unverändert aus der Normalform übernommen. Wenn dir umgekehrt die Linearfaktordarstellung gegeben wird, kannst du die Nullstellen ohne Rechnung ganz einfach ablesen. Beispiel: = 0, Die Nullstellen der Funktion sind = 4 und = 3. Achte darauf, dass du beim Ablesen der Nullstellen das Vorzeichen wieder umdrehst! Wozu braucht man die Linearfaktordarstellung überhaupt? Während du aus der Normalformm ohne große Mühe den y-achsenabschnitt ablesen kannst, kannst du aus der Linearfaktordarstellung ohne große Mühe die Nullstellen ablesen. Durch einfaches Ausmultiplizieren kannst du die Linearfaktordarstellung wieder in die Normalform überführen. = 0, = 0, = 0,5 12 = 0,5 + 0,5 + 6 Wenn du in der Lage bist zwischen den einzelnen Darstellungsformen zu wechseln, kommst du also schnell an Informationen über die Funktion.

15 Thema: Quadratische Funktionen LE 2.3 Seite 14 Ich kann die Linearfaktordarstellung einer quadratischen Funktion bilden. Übungen: Teste Dein Wissen! - Bearbeite mindestens so viele Aufgaben, wie unten angegeben! 1) Bilde die Linearfaktorform und berechne daraus die Normalform. (bearbeite mind. 3 Aufg.) a) * = 2; = 3; = 2 b) * = 4; = 0,5; = 3 c) * = ; = 4; = d) * = = ; = 8; = - e) ** = = 3 ; = 1 2) Lies die Nullstellen ab und gib sie an. (bearbeite mind. 3 Aufg.) a)* = b)* = c)** = 2 6 d)* =. / + e)** = >B - A-. /. + / -B =? =B Lösungen: Aufgabe 1 a) = = b) = 3 4 0,5 = 3 B + 6 c) = 0,5 4 0,5 = 0,5? = + 1 d) = - = 8 = - = + - e) = = 6 9 Aufgabe 2 a) = 2; = 1 b) = 4; = 3 c) = 0; = 6 d) = ; = 5 e) = - =? ; = A- =B

16 Thema: Quadratische Funktionen LE 3: Ich kann die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion bilden. Seite 15 Für die LE 3 solltest du dir maximal 90 Minuten schulische Lernzeit einplanen. Den Rest solltest du zu Hause bearbeiten! Notiere Dir Beginn, Ende und Dauer Deiner Bearbeitungszeit! 90 Was ist die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion und wie kann ich sie bilden? Die Scheitelpunktform ist eine weitere Darstellungsform quadratischer Funktionen (die letzte, die ich dir zeige). Aus ihr kannst du leicht den Scheitelpunkt ablesen. Beim Scheitelpunkt handelt es sich um den höchsten oder niedrigsten Punkt einer quadratischen Funktion. Begin Ende Bearb nn : Datum, Uhrzeit e: Datum, Uhrzeit beitungszeit:... Die allgemeine Formel für die Scheitelpunktform lautet = H + I H Dabei sind H und I H einfach nur die Koordinaten des Scheitelpunktes J H I H. Der Vorfaktor kann wieder aus der Normalform abgelesen werden. Beispiel: Eine quadratische Funktion hat den Vorfaktor = 2. Ihr Scheitelpunkt ist J 3 2. Geben Sie die Scheitelpunktform der Funktion an. = H + I H mit = 2; H = 3; I H = 2 = 2F 3G 2 = Damit du die Scheitelpunktform bestimmen können. aufstellen kannst, musst du also unbedingt den Scheitelpunkt

17 Thema: Quadratische Funktionen LE 3: Ich kann die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion bilden. Seite 16 Um ihn zu errechnen gibt es mehrere Möglichkeiten: Quadratische Ergänzungg p-q-formel Mitte der beiden Nullstellen Wenn du dich für die quadratische Ergänzung interessierst, informiere dich hierüber bitte selbstständig z. B. im Internet oder mit Hilfe von Büchern. Die Mitte der beiden Nullstellen kann nur berechnet werden, wenn es zwei Nullstellen gibt. Wie du gesehen hast, hat aber nicht jedee quadratische Funktion zwei Nullstellen. Darum möchte ich diese Methode nicht erklären. Der Königsweg ist die Anwendung der p-q-formel, die du zur Berechnung der Nullstellen ohnehin anwenden musst. Berechnung des Scheitelpunktes durch Anwendung der der p-q-formel Erinnerst du dich noch an das Beispiel für die p-q-formel? Es sah so aus: = = 0 : 2 :2, damit allein steht = 0 somit ist = 3 und = 5; dies setzt du in die rechte Seite der p-q- Formel ein:, = 7 ±. - / 5 dies tippst du in deinen Taschenrechner und erhältst:, = 1,5 ± 2,69 0 = 0, 01; = 2, 01. Ich habe in der Rechnung = - diesmal grün eingefärbt. ist nämlich nichts anderes als die x-koordinate des Scheitelpunktes H. Du kannst für die Funktion = also schon einmal festhalten das H = - ist. Nun brauchst du noch die y-koordinate des Scheitelpunktes I H. Diese bekommst du, indem du einfach H berechnest: I H = H = D 3 2 E = 2 D 3 2 E + 6 D 3 E 10 = 14,5 2 Dein Scheitelpunkt J H I H ist hier also J. - K 14,5/.

18 Thema: Quadratische Funktionen LE 3: Ich kann die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion bilden. Seite 17 Nun liest du noch aus der Ausgangsfunktion ab ( = 2) und setzt alles in die Scheitelpunktform ein: = H + I H mit = 2; H = - ; I H = 14,5 = 2 L D 3 2 EM 14,5 = 2 D E 14,5 Auch die Scheitelpunktform kannst du in die Normalform zurück überführen, indem du einfach ausmultiplizierst: = 2 D E 14,5 = ,25 14,5 = ,5 14,5 = was genau die Ausgangsfunktion ist

19 Thema: Quadratische Funktionen LE 3 Seite 18 Ich kann die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion bilden. Übungen: Teste Dein Wissen! - Bearbeite mindestens 2 Aufgaben! Berechne den Scheitelpunkt der folgenden Funktionen. Stell die Scheitelpunktform auf. a)* = b)** = c)** = 0,5 + 0,5 6 d)** = + Lösung: a) J 2 0 = + 2 b) J1,5 24,5 = 2 1,5 24,5 c) J 0,5 6,125 = 0,5 + 0,5 6,125 d) J. A K > = / =. + A / + > =

20 Thema: Quadratische Funktionen LE 4: Ich kann zwischen der Normalform, Linearfaktordarstellung und der Scheitelpunktform wechseln. Seite 19 Für die LE 4 solltest du dir maximal 90 Minuten schulische Lernzeit einplanen. Den Rest solltest du zu Hause bearbeiten! Notiere Dir Beginn, Ende und Dauer Deiner Bearbeitungszeit! 90 Bearbeitungszeit:... Wie kann ich das bisher gelerntee Kombinieren und miteinander in Verbindung bringen? Von den quadratischen Funktionen kennst die Normalform = + + & Beg End ginn : Datum, Uhrzeit de: Datum, Uhrzeit Linearfaktordarstellung = Scheitelpunktform = H + I H Je nachdem welche Informationen du über eine Funktion hast, kannst sie in einer der drei Formen aufstellen und in die jeweils anderen Formen umstellen. ausmultiplizieren Nullstellen berechnen = Kann aufgestellt werden wenn,, bekannt sind. Linearfaktordarstellung Normalform = + + & Kann nicht direkt aufgestellt werden Nicht direkt möglich. Via Normalform. Sc he ite lp un kt be re au sm ult ipli zie re n = H + I H Kann aufgestellt werden wenn, H, I H bekannt sind. Scheitelpunktform

21 Thema: Quadratische Funktionen LE 4 Seite 20 Ich kann zwischen der Normalform, Linearfaktordarstellung und der Scheitelpunktform wechseln. Teste Dein Wissen! Bearbeite mindestens 3 Aufgaben! Funktionsgleichung allgemeine Form Funktionsgleichung Scheitelpunktform Funktionsgleichung Faktorform Scheitelpunkt (Koordinaten) Öffnung, Streckung/Stauchung und Verschiebung im Vergleich zur Normalparabel 1.* = = = J 2 9 nach unten geöffnet, keine Streckung/ Stauchung, um zwei nach rechts und 9 nach oben verschoben 2.* = ,5 Nullstellen = 1; = 5 3.** = ** = 1,5 + 0,5 3,375 5.** Streckung um Faktor 3, = 3; = 8 6.*** 1,5 nach rechts und 6,25 nach unten, Stauchungsfaktor 0,4 7.*** J1 4 Keine Streckung/Stauchung S. 20

22 Thema: Quadratische Funktionen LE 4 Seite 21 Ich kann zwischen der Normalform, Linearfaktordarstellung und der Scheitelpunktform wechseln. S. 21

23 Thema: Quadratische Funktionen LE 5: Ich kann die Schnittpunkte von quadratischen Funktionen mit anderen Funktionen berechnen. Seite 22. Für die LE 5 solltest du dir maximal 90 Minuten schulische Lernzeit einplanen. Den Rest solltest du zu Hause bearbeiten! Notiere Dir Beginn, Ende und Dauer Deiner Bearbeitungszeit! 90 Beginn Ende: Bearbei : Datum, Uhrzeit Datum, Uhrzeit itungszeit:... Wie kann ich die Schnittpunkte von quadratischen Funktionen mit anderen Funktionen berechnen? Die Berechnung von Schnittpunkten von Funktionen gelingt unabhängig vom Funktionstyp, indem du die Funktionsgleichungen gleich setzt und nach x auflöst. Beispiel: Berechnen Sie die Schnittpunkte der Funktionen = N = 0, ,5 Rechnung: = N = 0, ,5 +0, ,5 2,5 5 7,5 = = 0 : 2,5 jetzt mit der p-q-formel nach x auflösen, = O ±. O / 3 0 = 0; = 7 Nun berechnest du noch die y-koordinaten der beiden Schnittpunkte und gibst die Punkte an: 1 = = 0 3 = = P

24 Thema: Quadratische Funktionen LE 5: Ich kann die Schnittpunkte von quadratischen Funktionen mit anderen Funktionen berechnen. Seite 23 Achtung: Je nach dem Wert der Diskriminante gibt es zwei Schnittpunkte, einen oder keinen Schnittpunkt. zwei Schnittpunkte ein Berührpunkt kein Schnittpunkt

25 Thema: Quadratische Funktionen LE 5 Seite 24 Ich kann die Schnittpunkte von quadratischen Funktionen mit anderen Funktionen berechnen. Teste Dein Wissen! - Bearbeite mindestens 3 Aufgaben! Berechne die Schnittpunkte der folgenden Funktionen. a) ** = mit N = 4 10 b) * = 5 6 mit N = 3 c) * = + 5 mit N = 3 6 d) ** = A mit N = 4 4 e) ** = mit N = f) *** = 2 mit N = = Lösungen a) J 4 6; J 1 6 b) J 3 9; J 2 6 c) J / 1 3 d) J / 4 12 e) J 1,43 6,11; J 0,23 2,1 f) Keine Lösung -> es gibt keine Schnittpunkte

26 Thema: Quadratische Funktionen LE 6: Ich kann eine quadratische Funktionn aus drei gegebenen Punkten aufstellen. Seite 25 Für die LE 6 solltest du dir maximal 90 Minuten schulische Lernzeit einplanen. Den Rest solltest du zu Hause bearbeiten! Notiere Dir Beginn, Ende und Dauer Deiner Bearbeitungszeit! 90 Wie kann ich eine quadratische Funktion aus drei beliebigen Punkten aufstellen? Gesucht wird ist eine quadratische Funktion der Form = ² + + &. Da = I ist, müssen die Koordinatenpaare jedes gegebenen Punktes I die Funktionsgleichung erfüllen, d.h. I =. Wenn du die Koordinaten der drei Punkte nacheinander in die Funktionsgleichung einsetzt, erhältst du drei (lineare!) Gleichungen mit jeweils drei Unbekannten (a, b und c). Dies ist ein lineares Gleichungssystem. Dieses kannst du lösen. Beispiel Eine quadratische Funktion verläuft durch die Punkte T 1 12, U2 15, V5 18. Geben Sie die Normalform der Funktion an. 1. Schritt: Aufstellen der Gleichungen Die Normalform in allgemeiner Form ist = ² + + &. Setze die Koordinaten von A in die Funktion ein: 12 = W 1² + W 1 + & 12 = + & Setze die Koordinaten von B in die Funktion ein: 15 = W 2² + W 2 + & 15 = & Setze die Koordinaten von C in die Funktion ein: 18 = W 5² + W 5 + & 18 = & Begin Ende: Bearb nn : Datum, Uhrzeit : Datum, Uhrzeit beitungszeit: Schritt: Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems (mit Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren) Achtung: Die Erfahrung zeigt, dass das Additionsverfahren am besten geeignet ist! Q: + & = 12 QQ: & = 15 QQQ: & = 18 QQ Q: QR: = 3 : 3 QR: + = 1

27 Thema: Quadratische Funktionen LE 6: Ich kann eine quadratische Funktionn aus drei gegebenen Punkten aufstellen. Seite 26 QQQ Q: R: = 30 : 6 R: 4 + = 5 R QR: 3 = 6 : 3 = 2 XY QR: 2 + = 1 +2 = 3 ZY[ XY Q: & = & = Schritt: Aufstellen der Funktionsgleichung = 2² Schritt: Probe machen (musst du nicht) Für Punkt A: 2 W 1² + 3 W = = 12 ]^ Für Punkt B: 2 W 2² + 3 W = = 15 ]^ Für Punkt C: 2 W 5² + 3 W = = 18 ]^

28 Thema: Quadratische Funktionen LE 6: Ich kann eine quadratische Funktionn aus drei gegebenen Punkten aufstellen. Seite 27 Zum Abschluss noch eine Anleitung zum Aufstellung einer quadratischen Funktionsgleichung mit einem weiteren Beispiel:

29 Thema: Quadratische Funktionen LE 6 Seite 28 Ich kann eine quadratische Funktion aus drei gegebenen Punkten aufstellen. Übungen: Teste Dein Wissen! - Bearbeite mindestens 2 Aufgaben! Berechne die Funktionsgleichungen der quadratischen Funktionen, die durch die genannten Punkte verlaufen. a. **T 2 1; U 1 0; V 4 3 b. *T 2 1; U 1 2,5; V0 7 c. T0 1; U1 0; V2 3 d. **T 4 8; U1 3; V2 14 Lösung a. = b. = 1,, c. = d. =