R. Brinkmann Seite

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1 R. Brinkmann Seite 9..8 Linearen Funktion Aus der Sekundarstufe I sind Ihnen die Graphen linearer Funktionen als Geraden bekannt und deren Funktionsgleichungen als Geradengleichungen. Proportionale Zusammenhänge lassen sich durch Geraden darstellen. Am Fischstand auf dem Wochenmarkt kosten g Schillerlocken,5. Frau Barsch möchte g kaufen. Sie muss also,5 =,5 zahlen. Herr Dorsch kauft 5 g und muss,5 5 =,5 zahlen. Allgemein lässt sich sagen, die Kosten K bei konstantem Preis p. für die gekaufte Menge betragen K = p Die Kosten K sind also von der Menge abhängig und somit eine Funktion von. Dafür schreibt man K = p. K() wird auch Kostenfunktion genannt. Für den Kauf von Schillerlocken lautet die Kostenfunktion K() =,5, wobei,5 der Preis pro Mengeneinheit in und die Anzahl der Mengeneinheiten in Vielfachen von g ist. Ersetzt man K() durch, dann entsteht die bekannte Gleichung =,5. Im Koordinatensstem ist das eine Gerade durch den Nullpunkt. Sven hat einen Handvertrag mit monatlichen Grundgebühren von. Für jede Minute die er telefoniert fallen, an. a) Welche Kosten entstehen monatlich, wenn Sven min, 6 min, 9 min, min telefoniert? Stellen Sie die Werte in einer Wertetabelle dar. b) Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensstem. c) Wie lautet die Funktionsgleichung für die Kostenrechnung? Lösung a) Die Kosten setzen sich additiv aus einem festen ( ) und einem variablen Anteil (, ) zusammen, wobei die Anzahl der telefonierten Minuten ist. Gesprächsdauer in min 6 9 Kosten in 6 8 Erstellt von R. Brinkmann p_lin_fkt_.doc..7 : Seite von

2 R. Brinkmann Seite 9..8 b) Graph 6 5 Kosten in f( ) =, Gesprächsdauer in min c) ist die unabhängige Variable für die Gesprächsdauer in Minuten. = f() ist die abhängige Variable für die monatlichen Gesamtkosten in. Bei folgender Rechnung werden die Einheiten min und weggelassen. Ansatz für die Funktionsgleichung: min: = f ( ) =, + = die Grundgebühren fallen immer an min: = f ( ) =, + = 6 6 min: = f ( 6) =, 6 + =... min: = f =, + Funktionsgleichung für Minuten Gesprächsdauer Beispiele zum aufstellen von Funktionsgleichungen: Ein Abwasserschacht enthält Liter Wasser. Jeden Tag kommen Liter dazu. Funktionsgleichung für die Wassermenge in Liter: f ( ) = +. Thorsten verdient jeden Monat netto. Funktionsgleichung für den Nettoverdienst in : Funktionsgleichung für den Nettoverdienst in : f ( ) = Ein Tank enthält Liter Diesel. Jede Woche verbraucht ein Motor 5 Liter. Funktionsgleichung für den Tankinhalt in Liter: f = 5 +. Soll für einen proportionalen Zusammenhang die Funktionsgleichung aufgestellt werden, ist zuerst zu überlegen: - Gibt es einen Anfangswert a - Wie groß ist die Änderungsrate (z.b. Änderung pro Tag, Minute, Stück oder Gewicht). - Ist die Änderungsrate positiv oder Negativ (positiv = Zunahme, negativ = Abnahme). Erstellt von R. Brinkmann p_lin_fkt_.doc..7 : Seite von

3 R. Brinkmann Seite 9..8 Sie kennen die Funktionsgleichung der Geraden in der Form: = m + b oder = m + n Da Geradengleichungen zur Familie der ganzrationalen Funktionen gehören, die ein zentrales Thema der Oberstufenmathematik sind, soll deren Darstellungsart von Anfang an auf diese übertragen werden. Definition Ganzrationale Funktion n ten Grades n n n Eine Funktion f ( ) mit f ( ) = an + an + an a + a + a heißt ganzrationale Funktion n - ten Grades. Die Zahlen a ; a ; a ;... a ; a ; a heißen Koeffizienten n n n Da die beiden letzten Summanden a + a zum Funktionsterm der Geradengleichung gehören, folgt die Definition: Definition Ganzrationale Funktion. Grades Eine Funktion f mit f = a + a und a, a heißt ganzrationale Funktion. Grades oder lineare Funktion Der Grad der Funktion wird durch den höchsten Eponenten von (hier also, denn = ) bestimmt. Der Koeffizient a steht für m und a steht für b oder n. Die Bezeichnung lineare Funktion rührt daher, dass der Graph einer linearen Funktion im rechtwinkligem Koordinatensstem eine Gerade darstellt. Merke Der Graph einer linearen Funktion stellt eine Gerade dar. Beispiele für Funktionsgleichungen linearer Funktionen: f( ) = f( ) = + f( ) = π f( ) = 5 f( ) = + a f( ) = a U Stellen Sie für die ganzzahligen Werte von D eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen. f ( ) = Definitionsmenge D = { 5} Bestimmen Sie die Wertemenge W für die Definitionsmenge D. In welchen Punkten schneidet der Graph die Koordinatenachsen? Erstellt von R. Brinkmann p_lin_fkt_.doc..7 : Seite von

4 R. Brinkmann Seite 9..8 Lösung f ( ) = D = { 5} f( ) = ( ) = = =,75 f( ) = = 9 f() = = = = =,5 6 f = = = = =,5 9 9 f = = = = =,75 f( ) = = = 5 5 f( 5) = 5 = = = =,75 5 f,75,75,5,75,75 5 = { } ( ) W,75,75 P und P f( ) Achsenschnittpunkte Achsenschnittpunkte sind die Punkte, in denen der Graph die Koordinatenachsen schneidet. Diese Werte lassen sich mehr oder weniger genau aus dem Graphen ablesen. Oft besteht auch die Möglichkeit, der Wertetabelle diese Daten zu entnehmen. Nun soll es darum gehen, diese Werte durch Rechnung, ohne Wertetabelle und Graph zu nutzen zu bestimmen. = f P (? ) P (? ) Schnittpunkt mit der - Achse (Ordinate) P : Die - Werte aller Punkte, die auf der - Achse liegen haben den Wert =. = + Allgemeine Gleichung der linearen Funktion: f a a Bedingung: = f = a + a = + a = a P a Der Schnittpunkt mit der Ordinate ist durch den Koeffizienten a bestimmt. Beispiel f P hat die Koordinaten. Wir schreiben: P = ( ) ( ) Merke Der Schnittpunkt mit der - Achse kann für alle lineare Funktionen der Form f = a + a direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden P a. Erstellt von R. Brinkmann p_lin_fkt_.doc..7 : Seite von

5 R. Brinkmann Seite Schnittpunkt mit der - Achse (Abszisse) P : Die - Werte (Funktionswerte) aller Punkte, die auf der - Achse liegen, haben den Wert. Lösungsansatz: P f = wegen P f Beispiel: Bestimmen Sie von folgender Funktion die Achsenabschnitte und zeichnen Sie den Graphen. f( ) = + Schnittpunkt mit der - Achse: f( ) P Schnittpunkt mit der - Achse: f( ) = + = + = 9 = s = = 8 9 P =,5 8 f( ) Die - Koordinate des Schnittpunktes mit der - Achse wird auch Nullstelle genannt. Denn für diesen - Wert (an dieser Stelle ) ist der Funktionswert Null. U Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen für f( ) = + Kontrollieren Sie die Nullstelle durch Einsetzen in f(). Erstellt von R. Brinkmann p_lin_fkt_.doc..7 : Seite 5 von

6 R. Brinkmann Seite Lösung f( ) = + Schnittpunkt mit der Achse : f( ) = P Schnittpunkt mit der Achse : f( ) = + = 9 9 = P 8 8 f( ) Probe: f 8 = + = + = + = 8 Die Steigung Die meisten Schienen oder Straßenfahrzeuge können nur geringe Steigungen überwinden. Im Gebirge setzt man daher Zahnradbahnen oder Seilbahnen ein, diese eignen sich auch für steile Strecken. % Das Verkehrsschild % Steigung bedeutet: Auf m horizontaler Strecke steigt die Straße um m an. Es wird ein Höhenunterschied von m überwunden. Steigungsdreieck m m Das Verhältnis zwischen Höhenunterschied und horizontaler Strecke wird Steigung genannt. Im dargestellten Fall beträgt die Steigung m : m =, % Definition Das Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck für das gilt: Gegenkathete Steigung = m = = tan( α) Ankathete Der Winkel α wird auch Steigungswinkel genannt. α Ankathete Gegenkathete Erstellt von R. Brinkmann p_lin_fkt_.doc..7 : Seite 6 von

7 R. Brinkmann Seite In der nebenstehenden Grafik ist eine Ursprungsgerade, durch die Punkte P und P abgebildet. Die Steigung der Geraden soll mit Hilfe der Koordinaten von P und P ermittelt werden. Die Längen von Gegenkathete und Ankathete sind durch die Koordinatendifferenzen der beiden Punkte festgelegt. Für die Differenzen schreibt man: Δ = bzw. Δ = = f( ) = f() = f P α Δ = P Δ = Aus dem Steigungsdreieck lässt sich die Steigung der Geraden ablesen: ( ) f f Steigung = m = = = = tan( α) Die Steigung einer Geraden im Koordinatensstem ist das Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks (Steigungsdreieck), dessen Hpotenuse Teil des Funktionsgraphen ist. Die Vermutung liegt nahe, dass der Koeffizient a der Geradengleichung f() = a + a für die Steigung der Geraden verantwortlich ist. Das soll nun bewiesen werden. Behauptung: Die Steigung m entspricht dem Koeffizienten a der Geradengleichung: f( ) = a+ a Beweis: f = a + a f = a m = = = + a Δ f( ) f( ) a + a ( a + a) Δ a + a a a a a a( ) a m a = = = = = Satz Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion f = a + a a = = = = tan α Kurzfor der durch die Punkte P und P verläuft wird durch den Koeffizienten a bestimmt. f( ) f( ) m: a = Erstellt von R. Brinkmann p_lin_fkt_.doc..7 : Seite 7 von

8 R. Brinkmann Seite Sind also zwei Punkte einer Geraden durch ihre Koordinaten gegeben, so kann man:. Die Gerade zeichnen indem man die beiden Punkte miteinander verbindet und die so entstandene Gerade über die Punkte hinaus verlängert.. Die Steigung der Geraden mit Hilfe des Steigungsdreiecks errechnen. Beispiel P( ) und P( ) sollen Punkte einer Geraden sein, deren Steigung zu bestimmen ist. α P ( ) P ( ) P( ) = und = P ( ) = und = a + = = = = = tg α + α= arctg mit dem Taschenrechner (TI): : = nd TAN α 6,87 Funktionsgraphen zeichnen. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Um eine Gerade zeichnen zu können, sind zwei Punkte nötig. Ist die Funktionsgleichung bekannt, kennen wir auch den Schnittpunkt mit der Achse P. Den zweiten Punkt erhalten wir durch die Steigung (Steigungsdreieck). Beispiel f =,5 a =,5 = a = Der Graph schneidet die Achse in P ( ). Diesen Punkt zeichnen wir in das Koordinatensstem. Von P aus gehen wir zwei Einheiten nach rechts und Einheit nach unten. Wir erhalten P ( ). Nun verbinden wir P mit P und verlängern die Gerade nach beiden Seiten. P ( ) P Um von einem bestimmten Punkt der Geraden über das Steigungsdreieck zu einem zweiten Punkt zu gelangen, kann man sich in Kurzform folgendes merken: Erstellt von R. Brinkmann p_lin_fkt_.doc..7 : Seite 8 von

9 R. Brinkmann Seite Merke Nennereinheiten nach rechts, Zählereinheiten in Abhängigkeit vom Vorzeichen nach oben oder nach unten. Dabei gilt: für + nach oben, für nach unten. Liegen die beiden Punkte zu nahe beieinander, dann kann das Verfahren mehrfach angewendet werden. Auch wenn der Steigungsfaktor a eine ganze Zahl ist, lässt sich der zweite Punkt auf diese Weise bestimmen, denn jede Zahl lässt sich in einen Bruch verwandeln. Beispiel Der Punkt P( ) liegt auf einer Geraden mit der Steigung a =. a = = Geht man in vier Schritten vor, so liegen beide Punkte weit genug auseinander um eine saubere Gerade zeichnen zu können. Von P gehen wir vier mal jeweils einen Schritt nach rechts und einen Schritt nach unten und erhalten den Punkt P. Vier Schritte nach rechts und Schritte nach unten führt auf das gleiche Ergebnis. P( ) P ( ) Beispiel = f( ) = + a = = a = Der Graph schneidet die - Achse in P ( ). Diesen Punkt zeichnen wir in das Koordinatensstem. Von P aus gehen wir eine Einheit nach rechts und Einheiten nach oben. Wir erhalten P ( 5 ). Nun verbinden wir P mit P und verlängern die Gerade nach beiden Seiten. f( ) Erstellt von R. Brinkmann p_lin_fkt_.doc..7 : Seite 9 von

10 R. Brinkmann Seite 9..8 Training :LINFKT_ Zeichnen Sie die Graphen folgender Geraden möglichst ohne Wertetabelle. Benutzen Sie dazu den Schnittpunkt mit der Achse und das Steigungsdreieck. Berechnen Sie den Schnittpunkt mit der Achse und überprüfen Sie das Ergebnis anhand des Graphen..) f( ) = 5.) f( ) = + f f f 5.) f( ) = +.) 5.) = 6.) 7.) = + 8.) 9.) = +.) Begriffe und Darstellungsarten f = f = + f = f 5 = 7 Der Graph einer Funktion f() wird auch Schaubild K f genannt. Im rechtwinkligen Koordinatensstem hat jeder Punkt P eine und eine Koordinate P ( ). Die Koordinate entspricht der unabhängigen Variablen der Funktion f(). Die Koordinate entspricht dem jeweiligen Funktionswert von f(). Deshalb verwendet man oft die Schreibweise = f(). Speziell bei linearen Funktionen sind auch folgende Schreibweisen üblich: = f( ) = m+ b wird Geradengleichung genannt und ist nur eine andere Schreibweise für f = a + a wobei gilt: m = a und b = a Eine Geradengleichung kann in unterschiedlicher Form auftreten: Allgemeine Form der Geradengleichung: A + B + C = Beispiel : + + = Achsenabschnittsform der Geradengleichung: + = Beispiel: + = a b Zur weiteren Berechnung ist es sinnvoll, diese Gleichungen in die bekannte Form: = f = m + b oder = f = a + a zu bringen. Erstellt von R. Brinkmann p_lin_fkt_.doc..7 : Seite von

11 R. Brinkmann Seite 9..8 U K f ist das Schaubild der linearen Funktion f mit f =,5 ;. Statt Schaubild einer Funktion K f sagt man auch Graph einer Funktion f. a) Liegt der Punkt P(,5,75 ) auf der Geraden K f? Die Punkte A und B liegen auf K. Bestimmen Sie und. b) A B f A B c) Berechnen Sie die Nullstelle von f(). d) Für welche - Werte gilt f() >? e) * Bestimmen Sie den Wertebereich von f(), wenn D = gewählt wird. f) Der Graph g entsteht durch Verschiebung von K f in - Richtung und verläuft durch N( ). + Lösung f =,5 a) Punktprobe: = = f f P,5,75 : f(,5),5,5,75 P liegt auf der Geraden K oder P K b) A : f( ) =,5 = B : f( ) =,5 = A A A B B, 5 = + A A A B,5 = 6 :,5 =,5 = 5 = c) Nullstelle: f =,5 =,5 = + : P = = = d) f( ) =,5 > > + > > Für > ist f() > e) * * f ( ) =,5 D f = + ( + bedeutet > ) { } f > W = = f > f) Verschiebubg in - Richtung durch N( ) f parallele Gerade g( ) = + a Punktprobe mit: N : g = + a = 6+ a = 6 a = 6 g( ) = 6 verläuft parallel zu f ( ) = durch N( ) Erstellt von R. Brinkmann p_lin_fkt_.doc..7 : Seite von

12 R. Brinkmann Seite 9..8 Beispiel Der Schnellimbiss MC- Pommes benötigt für die Fritteusen täglich 9 kg frisches Fett. Momentan sind noch 5 kg im Lager vorhanden. a) Stellen Sie die Funktionsgleichung auf und zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensstem. b) Bei einem Lagerbestand von 95 kg soll der Filialleiter nachbestellen. Nach wie viel Tagen muss die Bestellung erfolgen? c) Wie lange reicht das Fett, wenn nicht nachbestellt wird? Lösung a) Die unabhängige Variable steht für die Zeit in Tagen. Die abhängige Variable f() steht für die verbleibende Menge Fett in kg. Der Anfangswert beträgt 5 kg. Die Änderungsrate ist negativ und beträgt 9kg/Tag. Da ein linearer Zusammenhang besteht gilt: f = a+ a mit a = 9 und a = 5 wird f = Menge in kg f( ) 95 kg 6 8 Zeit in Tagen b) Da bei 95 kg nachbestellt werden soll, gilt der Ansatz: f = = = = 55 : 9 55 = 8,56 9 Die Bestellung muss in etwa 8 Tagen erfolgen. c) Zu bestimmen ist der Schnittpunkt des Graphen mit der - Achse: f = 9+ 5 = 9 5 = = 5 : 9 5 =,58 9 Das Fett reicht noch etwa Tage. Erstellt von R. Brinkmann p_lin_fkt_.doc..7 : Seite von