In diesem Arbeitsblatt behandeln wir die Grundlagen linearer Funktionen.

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1 In diesem Arbeitsblatt behandeln wir die Grundlagen linearer Funktionen. Zwei mögliche Schreibweisen einer linearen Funktion lauten f ( x) = k x + d y = k x + d Die Bedeutung von k und d wird unten ausgeführt. x kann jeder Wert der Definitionsmenge D sein, meisten wird die Menge der reellen Zahlen als Definitionsmenge angenommen (oder eine andere Menge, je nach Kontext eines Beispiels); das bedeutet, alle Zahlen sind auf der x-achse erlaubt. f(x)=2x + 0 Zum Zeichnen des Graphen nehmen wir einige willkürlich ausgewählte x-werte und bestimmen durch Einsetzen in den Funktionsterm die zugehörigen Funktionswerte f(x): x f(x) Anschließend zeichnen wir die Punkte und verbinden sie. 1

2 f(x)=2x + 3 Der Graph von f(x) schneidet die y-achse an der Stelle 3. Das erhält man sehr schnell, wenn im Funktionsterm für x den Wert Null einsetzt. Erkenntnis: d ist der Wert auf der y-achse, bei dem der Graph der linearen Funktion f ( x) = k x + d die y-achse schneidet. Bedeutung von k k bedeutet die Steigung der linearen Funktion. Die Steigung kann auf mehrere Arten verstanden werden. Zur Bestimmung von k könnenn Sie ein beliebig großes Dreieck in dieser Form zeichnen: 2

3 Die Steigung k ist das Verhältnis von Δy zu Δx. y Also k = x Beim obigen Beispiel f(x)=2x + 3 ist eines dieser möglichen Steigungsdreicke in der Graphik gezeichnet. Die Steigung ist hier also 2 Sie können aber auch jedes ähnliche Dreieck zur Bestimmung von k verwenden. 3

4 Die Bedeutung von k kann auch so verstanden werden: geht man um 1 nach rechts (bessser:( erhöht man x um 1) so geht man die Steigung k rauf (oder runter, wenn k negativ ist). Man erhält so den wichtigen Zusammhang Z bei linearen Funktionen (sozusagen ein charakte- ristisches Merkmal): f(x+1)=f(x)+k Geht man um 2 nach rechts, soo geht man 2 mal die Steigung nach oben (oder unten): f(x+2)=f(x)+2k und allgemein: f(x+δx)=f(x)+k Δx oder umgeformt: k = f ( x + x) x f ( x ) y oder eben k = x 4

5 Anwendung: Bestimmung von k und d, wenn 2 Punkte gegeben sind (lineare Funktion vorausgesetzt). k = y 3 1 = x = 6 2 Man setzt nun einen beliebigen Punkt der Geraden in die Funktionsgleichung ein: Ich wähle hier den Punkt P. 1 y = x + d = 1+ d 2 daraus folgt d=1,5 Lösung: 1 y = x + 1,5 2 Anwendung von f(x+δx)=f(x)+k Δx f(x)=2x + 3, 1 7 P Q 5,? x=6, also f(1+ 6) = = 17 also 7 Q 17 natürlich könnte man auch einfach f(7) bestimmen, was wiederum 17 ergibt. 5

6 Hätten Sie in der Angabe nur die d Steigung 2 gegegen, aber nicht den ganzen Funktionsterm, so ist die obige Formel sehr hilfreich. Eine weitere, sehr praktische Schreibweise S von linearen Funktionen ist die sogenannte Achsenabschnittsform x y + = 1 a b a und b sind die eingezeichneten Achsenabschnitte Die Steigung einer in der Achsenabschnittsform gegebenen Geraden lautet b b b oder oder a a a Übung: Begründen Sie das mit Hilfe der Graphik: 6

7 x + y = 1 x y + = 1 Umformen zu x y + = 1 7

8 x + y = 2 Umformen, bis rechts gleich 1 x + y = x + 4y = x + y = 1 20 : 20 Nullstellen einer linearenn Funktion Nullstellen bedeuten y=0, also Schnittpunkte des Graphen mit der x-achse. Wiederum ist hier die Achsenabschnittsform sehr praktisch: x + y = 1 Daraus folgt Nullstelle bei 4 (= =a). Ist die Funktion gegeben als f ( x) = k x + d oder y = k x + d so setzt man die Funktion Null, schreibt also statt f(x) den Wert 0. f(x)=2x+4 0=2x+4, woraus x=-2 folgt. Die Nullstelle liegt also beim Punkt 2 N 0. Wann hat eine lineare Funktion keine Nullstelle? Wenn k=0 und d ungleich 0. 8

9 Verwendete GeoGebra-Arbeitsblätter: auf: abendgymnasium.schule.at Mathematik/Dominik/math&comp/lineare Funktion 9