Differenzialrechnung. Zusammenfassung. 1 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
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- Martina Weber
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1 Differenzialrechnung Zusammenfassung 1 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
2 2.1 Funktionen Funktion: jeder reellen Zahl x aus einer Definitionsmenge D wird eine ganz bestimmte Größe, der Funktionswert y oder f(x) zugeordnet. 2 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
3 2.1 Funktionen Funktionsterm: f x = 1 6 x3 7 4 x2 + 5x Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
4 2.2 Ableitung Die Steigung der Tangente an der Stelle x 0 nennt man auch Ableitung, Schreibweise f x 0 4 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
5 2.2 Ableitung Die Steigung der Tangente an der Stelle x 0 nennt man auch Ableitung, Schreibweise f x Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
6 2.2 Ableitung Die Steigung der Tangente an der Stelle x 0 nennt man auch Ableitung, Schreibweise f x f 1 = 2 6 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
7 2.2 Ableitung Beispiele: 7 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
8 2.3 Interpretation der Ableitung Änderungsrate: Änderung der y-werte Δy im Intervall Δx Änderungsrate = Δy Δx 8 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
9 2.3 Interpretation der Ableitung Lokale Änderungsrate: Änderungsrate an einer Stelle x 0 = Steigung der Tangente bei x 0 Lokale Änderungsrate = f (x 0 ) 9 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
10 2.3 Interpretation der Ableitung Änderungsrate und lokale Änderungsrate Die Änderungsrate Δy Δx gibt an, wie schnell sich die Funktionswerte im Intervall Δx ändern. Die lokale Änderungsrate f x 0 gibt an, wie schnell sich die Funktionswerte an einer Stelle x 0 ändern. 10 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
11 2.3 Interpretation der Ableitung Weg-Zeit-Diagramm Δy = Δs = Wegdifferenz Δx Δt Zeitdifferenz Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall Δt f x 0 Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt x 0 11 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
12 2.3 Interpretation der Ableitung Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm Δy = Δv = Gescw. differenz Δx Δt Zeitdifferenz Durchschnittsbeschleunigung im Zeitintervall Δt f x 0 Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt x 0 12 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
13 2.3 Interpretation der Ableitung Beispiele für Änderungsraten x y bzw. f(x) Änderungsrate Δy Δx Lokale Änderungsrate f (x 0 ) Zeit Weg Durchschnitts-Geschw. Momentan-Geschwindigkeit Zeit Geschwindigkeit Durchschnitts-Beschl. Momentan-Beschleunigung Zeit Zeit Weg Höhe Flughöhe Wassermenge Benzinvolumen Luftdruck 13 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
14 2.3 Interpretation der Ableitung Beispiele für Änderungsraten x y bzw. f(x) Änderungsrate Δy Δx Lokale Änderungsrate f (x 0 ) Zeit Weg Durchschnitts-Geschw. Momentan-Geschwindigkeit Zeit Geschwindigkeit Durchschnitts-Beschl. Momentan-Beschleunigung Zeit Flughöhe Durchschnittliche Steigbzw. Sinkgeschwindigkeit Zeit Wassermenge Momentane Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit Weg Höhe Benzinvolumen Luftdruck 14 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
15 2.3 Interpretation der Ableitung Beispiele für Änderungsraten x y bzw. f(x) Änderungsrate Δy Δx Lokale Änderungsrate f (x 0 ) Zeit Weg Durchschnitts-Geschw. Momentan-Geschwindigkeit Zeit Geschwindigkeit Durchschnitts-Beschl. Momentan-Beschleunigung Zeit Flughöhe Durchschnittliche Steigbzw. Sinkgeschwindigkeit Zeit Wassermenge Durchschnittliche Zuflussgeschwindigkeit Weg Benzinvolumen Momentane Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit Momentane Zuflussgeschwindigkeit Höhe Luftdruck 15 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
16 2.3 Interpretation der Ableitung Beispiele für Änderungsraten x y bzw. f(x) Änderungsrate Δy Δx Lokale Änderungsrate f (x 0 ) Zeit Weg Durchschnitts-Geschw. Momentan-Geschwindigkeit Zeit Geschwindigkeit Durchschnitts-Beschl. Momentan-Beschleunigung Zeit Flughöhe Durchschnittliche Steigbzw. Sinkgeschwindigkeit Zeit Wassermenge Durchschnittliche Zuflussgeschwindigkeit Weg Benzinvolumen Durchschnittliche Benzinverbrauch Höhe Luftdruck Momentane Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit Momentane Zuflussgeschwindigkeit Momentaner Benzinverbrauch 16 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
17 2.3 Interpretation der Ableitung Beispiele für Änderungsraten x y bzw. f(x) Änderungsrate Δy Δx Lokale Änderungsrate f (x 0 ) Zeit Weg Durchschnitts-Geschw. Momentan-Geschwindigkeit Zeit Geschwindigkeit Durchschnitts-Beschl. Momentan-Beschleunigung Zeit Flughöhe Durchschnittliche Steigbzw. Sinkgeschwindigkeit Zeit Wassermenge Durchschnittliche Zuflussgeschwindigkeit Weg Benzinvolumen Durchschnittliche Benzinverbrauch Höhe Luftdruck Durchschnittliche Luftdruckänderung Momentane Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit Momentane Zuflussgeschwindigkeit Momentaner Benzinverbrauch Momentane Luftdruckänderung 17 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
18 2.4 Ableitung berechnen m = Δy = f x 0+ f x 0 Δx 18 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
19 2.4 Ableitung berechnen m = Δy = f x 0+ f x 0 Δx 19 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
20 2.4 Ableitung berechnen m = Δy = f x 0+ f x 0 Δx 20 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
21 2.4 Ableitung berechnen m = Δy = f x 0+ f x 0 Δx Grenzfall: 0 21 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
22 2.5 Ableitungsfunktion Formeln für die Ableitung an der Stelle x 0 : Funktion Ableitung an der Stelle x 0 Ableitungsfunktion f x = x f x 0 = 1 f x = 1 f x = x 2 f x 0 = 2x 0 f x = 2x f x = x 3 f x 0 = 3x 0 2 f x = x 4 f x 0 = 4x 0 3 f x = 3x 2 f x = 4x 3 f x = 1 x f x 0 = 1 x 0 2 f x = 1 x 2 f x = 1 x 2 f x 0 = 2 x 0 3 f x = 2 x 3 f x = x f x 0 = 1 2 x 0 f x = 1 2 x 22 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
23 2.5 Ableitungsfunktion Die Ableitungsfunktion f der Ausgangsfunktion f ordnet jeder Stelle x die Ableitung der Ausgangsfunktion f an dieser Stelle zu. Funktion Ableitungsfunktion f x = x f x = 1 f x = x 2 f x = 2x f x = x 3 f x = 3x 2 f x = x 4 f x = 4x 3 23 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
24 2.6 Ableitungsregeln Potenzregel Funktion Ableitungsfunktion f x = x f x = 1 f x = x 2 f x = 2x f x = x 3 f x = 3x 2 f x = x 4 f x = 4x 3 Die Funktion f x Ableitung f x = x r hat die = r x r 1 f x = 1 x f x = 1 x 2 f x = 1 x 2 f x = 2 x 3 f x = x f x = 1 2 x 24 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
25 2.6 Ableitungsregeln Potenzregel: f x = x r hat die Ableitung f x = r x r 1 Beispiel: f x = x 7 f x = 7x 6 Faktorregel: f x = k g(x) hat die Ableitung f x = k g(x) Beispiel: f x = 9x 3 f x = 9 3x 2 = 27x 2 Summenregel: f x = u x + v(x) hat die Ableitung f x = u x + v (x) Beispiel: f x = 4x 3 + x f x = 12x Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
26 2.7 Ableitung mit dem GTR Berechnen von f (2): Funktion f als Y1 eingeben Im RUN-Modus d/dx(y1,2) über OPTN-Menü eintippen Graph von f zeichnen: Funktion f als Y1 eingeben Im GRAPH-Modus Y2=d/dx(Y1,X) über OPTN-Menü eintippen 26 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
27 2.8 Tangente Gegeben: f x = 2x 3 5x Gesucht: Tangente y = m x + c an der Stelle x 0 = 2. Ableitung und Punkt P 2 f 2 berechnen: f x = 6x 2 10x f 2 = = 3 P(2 3) Steigung m der Tangente über Ableitung bestimmen: m = f (2) f x = 6x 2 10x f 2 = = 4 y-achsenabschnitt c der Tangente bestimmen durch Einsetzen y = m x + 2 y = 4 x + c (mit 2.) 3 = c c = = 5 y = 4 x 5 ist die Tangente 27 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
28 2.8 Tangente mit Formel Tangente an die Funktion f im Punkt P x 0 f(x 0 )) : y = f x 0 x x 0 + f(x 0 ) In diesem Fall: f x = 2x 3 5x f x = 6x 2 10x x 0 = 2 y = f 2 x 2 + f 2 = 4 x = 4x = 4x 5 y = 4 x 5 ist die Tangente! 28 Mathematik Kl. 10 Walahfrid-Strabo-Gymnasium Rheinstetten
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