Lösungsblatt Aufgabe 1.32

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1 Aufgabenstellung: Die Geschwindigkeit eines Körpers ist für t 1 durch v t = gegeben. t 1. Schätze die Länge des im Zeitintervall [1 4] zurückgelegten Weges durch Ober- und Untersumme ab, wobei das Zeitintervall gar nicht bzw. in 3 bzw. 6 Teilintervalle zerlegt wird.. Ermittle die Differenz von Ober- und Untersumme bei Zerlegung von [1 4] in n gleich lange Intervalle. Wie groß muss n gewählt werden, damit diese Differenz kleiner als 0,01 wird? Lösung der Aufgabe: Die Geschwindigkeit ist definiert als v = Weg. Wir tragen die Geschwindigkeit als Funktion in Zeit einem Graphen ein und bilden auf der Zeitachse Teilintervalle. Mit den Funktionswerten bilden diese Teilintervalle Rechtecke, deren eine Seite die benötigte Zeit und deren andere Seite die zugehörige Geschwindigkeit bilden. Das Produkt aus v Zeit = Weg Zeit Zeit = Weg ergibt den in der Zeit zurückgelegten Weg. Dieser Weg entspricht der Fläche des betrachteten Rechtecks. Die Länge des insgesamt zurückgelegten Weges können wir damit näherungsweise als Ober- bzw. Untersumme der Funktion der Geschwindigkeit bestimmen. ad 1) Erstellt von Seite 1 von 9

2 Das Intervall [1 4] hat die Länge 3, d.h. wenn wir das Intervall nicht in Teilintervalle teilen, hat das zu betrachtende Teilintervall die Länge 3. Für die Berechnung der Obersumme ist der Funktionswert an der Stelle x = 1 3 zu berechnen: f 4 = = 7,5 Berechnung der Obersumme: O = f 4 3 =,5 Für die Berechnung der Untersumme ist der Funktionswert an der Stelle x = 1 zu berechnen: f 1 = = 0 Berechnung der Untersumme: U = f 0 3 = 0 Erstellt von Seite von 9

3 Das Intervall [1 4] hat die Länge 3, d.h. wenn wir das Intervall in drei gleich lange Teile teilen, hat jedes Teilintervall die Länge 1. Für die Berechnung der Obersumme sind die Funktionswerte an den Stellen x = 1 1, x = 1 und x = 1 3 zu berechnen: f = f 3 = f 4 = = 5 = 6,6667 = 7,5 Berechnung der Obersummen: O 1 = f 1 = 5 O = f 3 1 = 6,6667 O 3 = f 4 1 = 7,5 O = O 1 O O 3 = 19,1667 Für die Berechnung der Untersumme sind die Funktionswerte an den Stellen x = 1, x = und x = 3 zu berechnen: Erstellt von Seite 3 von 9

4 f 1 = f = f 3 = = 0 = 5 = 6,6667 Berechnung der Untersummen: U 1 = f 1 = 0 U = f 3 1 = 5 U 3 = f 4 1 = 6,6667 U = U 1 U U 3 = 11,6667 Erstellt von Seite 4 von 9

5 Das Intervall [0 3 ] hat jedes Teilintervall die Länge 1. hat die Länge 3, d.h. wenn wir das Intervall in sechs gleich lange Teile teilen, Für die Berechnung der Obersumme sind die Funktionswerte an den Stellen x = 1.5,,.5, 3, 3.5, 4 zu berechnen: f 1,5 = ,5 f = f,5 = 10 10,5 f 3 = f 3,5 = ,5 f 4 = = 3,3333 = 5 = 6 = 6,6667 = 7,149 = 7,5 Berechnung der Obersummen: Erstellt von Seite 5 von 9

6 O 1 = = 1,6667 1,5 O = =,5 O 3 = = 3,5 O 4 = = 3,3333 O 5 = = 3,5714 3,5 O 6 = = 3,75 O = O 1 O O 6 = 17,814 Für die Berechnung der Untersumme sind die Funktionswerte an den Stellen x = 1, 1.5,,.5, 3, 3.5 zu berechnen: f 1 = f 1,5 = ,5 f = f,5 = 10 10,5 f 3 = f 3,5 = ,5 = 0 = 3,3333 = 5 = 6 = 6,6667 = 7,149 Berechnung der Untersummen: Erstellt von Seite 6 von 9

7 U 1 = 1 f 1 = 0 U 1 = 1 f 1,5 = 1,6667 U = 1 f =,5 U 3 = 1 f,5 = 3 U 4 = 1 f 3 = 3,3333 U 5 = 1 f 3,5 = 3,5714 U = U 1 U U 6 = 14,0714 Erstellt von Seite 7 von 9

8 ad ) Teilen wir das Intervall [1 4] in n gleich lange Teile, hat ein Teilintervall die Länge 4 1 n = 3 n Zur Berechnung der Obersumme benötigen wir die Funktionswerte an den Stellen x = 1 i 3 n, i = 1,,, n. Damit ergibt sich für die Obersumme: O = 3 n [ f 1 3 n f 1 3 n f 1 n 1 3 n f 4 ] Zur Berechnung der Untersumme benötigen wir die Funktionswerte an den Stellen x = 1 i 3 n, i = 0,,, n 1. Damit ergibt sich für die Untersumme: U = 3 n [ f 1 f 1 3 n f 1 n 1 3 n ] Wir berechnen nun die Differenz von Ober- und Untersumme: O U = = = = 3 n [ f 1 3 n f 1 3 n f 1 n 1 3 n f 4 ] 3 n [ f 1 f 1 3 n f 1 n 1 3 n ] = 3 [f 4 f 1 ] = n 3 n [7,5 0 ] =,5 n Die Differenz zwischen Ober- und Untersumme soll kleiner als 0,01 sein, d.h. es soll gelten: Erstellt von Seite 8 von 9

9 O U 0,01,5 0,01 n n 0,01,5 n 0,01 50 n Wenn n 50 ist, dann wird die Differenz zwischen Ober- und Untersumme kleiner als 0,01. Erstellt von Seite 9 von 9