I N H A L T S V E R Z E I C H N I S. 1.Zielsetzung der Seminararbeit Didaktischer Kommentar für Schüler und Lehrer...

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1 I N H A L T S V E R Z E I C H N I S 1.Zielsetzung der Seminararbeit Didaktischer Kommentar für Schüler und Lehrer Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung Ober- und Untersumme Flächenbilanz Integralfunktion Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Unbestimmtes Integral Flächenberechnungen mit dem Integral Flächeninhalt unter dem Graphen einer Funktion Flächeninhalt zwischen den Graphen zweier Funktionen Ausblicke und Anwendungen Literaturverzeichnis Erklärung zur Seminararbeit Anhang mit CD-ROM

2 1. Zielsetzung der Seminararbeit Im Rahmen meiner Seminararbeit wollte ich einen Lernpfad zur Integralrechnung für nachfolgende Schüler entworfen. Das Verfahren der Integration ist ein zentrales Thema der Mathematik und zählt mit der Differentiation zum Bereich der Analysis. Der gymnasiale Lehrplan sieht diese abiturrelevanten Inhalte für die 12. Jahrgangsstufe vor. Mithilfe meines Lernpfads sollten Schüler die Zusammenhänge der Integralrechnung auf eine dynamische und anschauliche Art selbst verstehen und durch Übungen auch aktiv anwenden und vertiefen können und so eine Alternative oder Ergänzung zum Schulbuch haben. Die Verwirklichung des Projekts gelang mir mithilfe des dynamischen Mathematik-Programms Geogebra 1, sowie HTML- und JavaScript-Kenntnissen, sodass eine interaktive Internetseite entstand. Diese begleitet den Schüler auf dem Weg vom Integral als Gesamtänderung über den Hauptsatz der Differential und Integralrechnung bis hin zur Flächenberechnung mit dem Integral. Meine schriftliche Seminararbeit wird sich dagegen mit der Entwicklung des Lernpfads und den mathematischen Hintergründen befassen Didaktischer Kommentar für Schüler und Lehrer Die Internetseite dient sowohl für den Einsatz im Unterricht als auch als Ergänzung oder Wiederholung des Themas in Eigenarbeit. Dabei werden nur Vorkenntnisse in der Differentialrechnung und eine Computerstation mit dem Programm Java 2 vorausgesetzt. Einige Übungen erfordern Rechnungen auf einem gesonderten Blatt, weshalb neben dem Computer Platz zum Schreiben vorhanden sein sollte. Außerdem können so Definitionen in einem Heft festgehalten werden. Im Unterricht ist die Benützung in Einzel- und Partnerarbeit an einem Computer vorstellbar, wobei der Lehrer als Hilfestellung fungiert und nach jedem Thema innerhalb einer Diskussion die Ergebnisse beobachtet. 1 Freeware: kostenlos herunterladbar auf 2 Freeware: kostenlos herunterladbar auf

3 2. Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung Anfangs wird anstelle des Integrals der Begriff der Gesamtänderung eines Prozesses eingeführt. Da zunächst nur stetige Funktionen mit positiven Funktionswerten zugelassen werden, gilt: Ist der Verlauf der lokalen (momentanen) Änderungsrate einer Größe durch einen Graphen ( ) gegeben, so kann man die Gesamtänderung der Größe in einem Intervall [a;b] als Maßzahl des Flächeninhalts A zwischen dem Graphen und der x-achse innerhalb des Intervalls deuten und somit ermitteln. 3 Im Lernpfad beschreibt der Graph die Veränderung der Geschwindigkeit eines Radfahrers in einer bestimmten Zeit und vom Schüler wird die Berechnung des zurückgelegten Wegs (=Gesamtänderung) verlangt. Unter Verwendung der physikalischen Formel kann dieser bei konstanter Geschwindigkeit ermittelt werden, wobei das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit auch graphisch als Fläche unter dem Graphen gedeutet werden kann. Ist die Geschwindigkeit nicht mehr konstant, d.h. oben genannte Formal unbrauchbar, kann der Schüler nun wieder die Verbindung zwischen Fläche unter dem Graphen und Gesamtänderung (=Weg) herstellen. Die Errechnung dieser gesuchten, krummlinig begrenzten Fläche führt zum nächsten Thema, der Oberund Untersumme. 3 Götz u.a. 2010, S

4 3. Ober- und Untersumme Im 19. Jhd. gelang dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann die Berechnung des Flächeninhalts unter krummlinigen Graphen mittels der Approximation durch eine Treppenfunktion. Abb. 1 Demnach wird das Intervall [a;b] einer monotonen Funktion (f(x)>0) in n gleichlange Teilabschnitte mit der Länge zerlegt und an jedem Teilpunkt Parallelen zur y-achse gezogen. Zieht man durch die Kurvenpunkte noch Parallelen zur x- Achse, so erhält man eine untere Treppenfläche U n (Untersumme), welche ganz in der gesuchten Fläche enthalten ist und eine obere O n (Obersumme), die die gesuchte Fläche vollständig enthält. 4 (Abb. 1) Bei Erhöhung der Anzahl an Teilabschnitt verhalten sich Unter- bzw. Obersumme monoton wachsend bzw. abnehmend und konvergieren deshalb beide gegen den gesuchten Flächeninhalt A. Es gilt folgende Ungleichung: 4 nach Degen 1977, S

5 Wenn bei der Grenzwertbildung Ober- und Untersumme denselben Wert besitzen, entspricht dieser dem gesuchten Flächeninhalts A und wird als das bestimmtes Integral der Funktion f zwischen den Grenzen a und b bezeichnet. ( ) = A (lies: Integral von f(x) von a bis b) a wird untere und b obere Integrationsgrenze genannt; f(x) bezeichnet den Integranden und x ist die Integrationsvariable, welche durch das dx hinter dem Integranden ausgezeigt wird. Dieser Grenzwert kann (jedoch) nicht für alle Funktionen oder Integralgrenzen explizit berechnet werden. 5 Die Schreibweise des Integrals, von G.W. Leibniz eingeführt, zeigt dessen Berechnung Approximation durch eine Treppenfunktion. Das geht aus einem S (lat. für Summa ) hervor und zeigt die Bildung der Summe, während dx (abkürzend für Delta x ) für die kleiner werdenden Teilabschnitte steht. Diese werden symbolisch mit dem Funktionswert f(x) multipliziert, um die Größe des Flächeninhalts einer Treppenstufe zu erhalten. Statt der Integrationsvariable x kann auch jeder beliebige andere Buchstabe verwendet werden: ( ) ( ) ( ) In dem gleichnamigen Kapitel auf der Internetseite erlangt der Schüler die Fähigkeit Ober- und Untersummen zu charakterisieren und zu berechnen. Des Weiteren sieht er dynamisch die Annäherung an den tatsächlichen Flächeninhalt und erfährt die Bedeutung und Errechnung des Grenzwertes. Das bestimmte Integral wird als gemeinsamer Grenzwert von Ober- und Untersumme definiert und die Schreib- 5 Wikipedia-Community 2011, S

6 weise erläutert. Es wird auch darauf hingewiesen, dass dieser Grenzwert nicht immer vorhanden ist. Dennoch wird auf diese Tatsache nicht näher eingegangen, da der Schüler mit derartigen Funktionen oder Aufgabenstellungen in der Schule nicht konfrontiert wird. 4. Flächenbilanz Bis jetzt wurde nur auf Graphen eingegangen, welche oberhalb der x-achse verlaufen, d.h. f(x)>0 im Intervall [a;b]. Nach Auflösung dieser Bedingung wird deutlich, dass das Integral den orientierten Flächeninhalt (auch die Flächenbilanz) widerspiegelt. Dieser wird abhängig von der Orientierung des Randes einer Fläche definiert: Jene zusammenhängenden Teile der Fläche, die ( ) im Gegenuhrzeigersinn, der mathematisch positiven Umlaufrichtung, umrundet werden, tragen mit ihrem Flächeninhalt bei. Jene zusammenhängenden Teile der Fläche, die ( ) im Uhrzeigersinn, der mathematisch negativen Umlaufrichtung, umrundet werden, tragen mit dem Negativen ihres Flächeninhalts bei. 6 Auf das bestimmte Integral bezogen, bewegt man sich von der unteren Integralgrenze a zur oberen b an der x-achse entlang und dann in y- Richtung bis zum Punkt f(b). Dem Graphen anschließend weiter bis zum Punkt f(a) folgen und wieder zum Anfangspunkt (a,0) zurück- Abb. 2 6 Embacher, S

7 kehren. (Abb. 2) Daraus ergibt sich, dass Flächeninhalte unterhalb der x-achse mit einem negativen Vorzeichen und oberhalb der x-achse mit einem positiven Vorzeichen in das Integral eingehen. (Abb. 2) Als weitere Konsequenz ändert sich das Vorzeichen des Integrals beim Vertauschen der Grenzen (a>b), da die vom Graphen eingeschlossene Fläche nun in der entgegengesetzten Richtung umrundet wird: ( ) ( ) Die Ober- und Untersummen stellen genau diesen orientierten Flächeninhalt dar, indem bei Graphen unterhalb der x-achse der Funktionswert f(x) und bei Vertauschen der Grenzen die Breite eines Teilintervalls ein negatives Vorzeichen annimmt. Bei einer Funktion ( ), welche im Intervall [a;b] sowohl über, als auch unterhalb der x-achse verläuft, folgt für das Integral von f(x) von a bis b: ( ) Abb. 3 Dem Schüler werden die Definition und die Bestimmung des orientierten Flächeninhalts im Lernpfad anhand des Graphen einer Durchflussrate, bei dem auch Funktionswerte kleiner null auftreten, nahegebracht. So erkennt er den Unterschied zwischen dem Integral und der Fläche unter dem Graphen. Deutlicher wird das negative Vorzeichen für Flächeninhalte unterhalb der x-achse noch durch die Argumentation über die Gesamtänderung. Abschließend gibt es die - 8 -

8 Möglichkeit unter Benützung von Geogebra festzustellen, dass die Ober- und Untersumme ebenfalls die Flächenbilanz widergeben. 5. Integralfunktion Ausgehend vom bestimmten Integral, welches jeder beliebigen Integralgrenze a und b einen eindeutigen Wert zuordnet, wird nun eine Integralfunktion I a (x) definiert (auch Funktion zur oberen Grenze). Dazu behält die untere Grenze einen festen Wert a, während als obere Grenze die Variable gewählt wird. Um gleichnamige Buchstaben zu vermeiden, wird die Integrationsvariable x durch t ersetzt und man erhält zur Funktion x f(x) mit dem Definitionsbereich D f folgende Integralfunktion: ( ) ( ) Die Integralfunktion ordnet jedem x-wert den Wert des bestimmten Integrals von f von a bis x zu. Der Schüler kann im Lernpfad den Graphen einer Integralfunktion durch eine Spur anzeigen lassen und Veränderungen bei verschiedenen unteren Grenzen beobachten (Abb. 4). Anhand eines Multiple-Choice Tests wird er zur Vermutung geführt, dass es sich um eine Stammfunktion des Integranden handelt, wobei die untere Grenze die Konstante c der Stammfunktion vorgibt. Damit wird, vorerst ohne einen Beweis, ein Integral erstmals ohne numerische Integration berechnet. Abb

9 6. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Die vorhergehende Vermutung soll jetzt bewiesen werden. Man nehme eine beliebige Integralfunktion ( ) ( ) (f sei stetig) im Intervall [a,b] und erhöhe x um i. Dadurch ändert sich der Funktionswert von I(x) auf I(x+i) und die Differenz I(x+i)-I(x) beschreibt das Flächenstück unter f im Intervall [x,x+i], also das bestimmte Integral von f von x bis x+i. Da f stetig vorausgesetzt wurde, sind sich die Funktionswerte bei kleinem i ähnlich und das Flächenstück kann so durch ein Rechteck mit den Seitenlängen i und f(x) approximiert werden. (Abb. 5) ( ) ( ) ( ) Abb. 5 Diese Näherung wird bei kleiner werdendem i immer genauer. Aus diesem Grund bilden wir den Grenzwert : ( ) ( ) ( ) Dividiert man beide Seiten durch i, erkennt man die Verbindung zwischen der Differenzial- und der Integralrechnung: ( ) ( ) ( ) Die Ableitung der Integralfunktion ( ( ) ( ) ) ist der Integrand f(x) selbst

10 ( ( ) ) ( ) Daraus folgt, dass die Integralfunktion I a (x) irgendeine Stammfunktion F der Ausgangsfunktion f ist. Vereinfacht ausgedrückt ist die Integration die Umkehrung der Differentiation 7. ( ) ( ) Die Stammfunktion einer Funktion f läßt sich im allgemeinen nur bis auf eine additive Konstante c bestimmen. 8 Nach dem Finden einer passenden Stammfunktion F(x) unterscheidet sich diese also nur noch durch die sogenannte Integrationskonstante c von der Integralfunktion I a (x). Jedoch kann c berechnet werden: ( ) ( ) ( ) Daraus ergibt sich eine weitaus leichtere Methode zur Berechnung von bestimmten Integralen (vorausgesetzt eine Stammfunktion kann gefunden werden). Satz zur Berechnung von bestimmten Integralen: ( ) ( ) ( ) Oftmals auch folgendermaßen geschrieben: ( ) ( ) ( ) Dieser Beweis findet sich genauer im Lernpfad wieder. Die Schüler lernen so die Grundideen des Hauptsatzes kennen und können dies mit einem Beispiel praktisch 7 Götz u.a. 2010, S Blaha, S

11 anwenden. Außerdem wird der Satz zur Berechnung eines bestimmten Integrals am Graphen einer Stammfunktion auch graphisch dargestellt und auf diese Weise die Bedeutung des Integrals als Gesamtänderung hervorgehoben. 7. Unbestimmtes Integral Die enge Verknüpfung von Integralrechnung und Stammfunktionen wird in der Definition des unbestimmten Integrals wieder deutlich. Dieses besitzt im Gegensatz zum bestimmten Integral keine Grenzen und bezeichnet die Menge aller Stammfunktionen F der Funktion f. Der Vorgang der Suche nach einer Stammfunktion wird deshalb auch unbestimmte Integration genannt. Man schreibt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) Abb. 6 Aus der Existenz einer Stammfunktion zu f folgt aufgrund der Integrationskonstante c, dass es eine Menge an Stammfunktionen gibt, welche geometrisch eine Kurvenschar bilden und aus einer einzigen Kurve durch Parallelverschiebung (in y-richtung) hervorgehen. Diese Kurvenschar kann auf der Website bei verschiedenen Funktionen untersucht werden. Außerdem wird das unbestimmte Integral definiert und mit Geogebra wird eine Möglichkeit gegeben, von frei wählbaren Funktionen die Menge an Stammfunktionen zu finden und anhand von Aufgaben zu analysieren. Dies kann auch für später auftretende Probleme bei der Suche nach Stammfunktionen als Hilfe genommen werden

12 8. Flächenberechnungen mit dem Integral 8.1. Flächeninhalt unter dem Graphen einer Funktion Im Folgenden wird aus praktischen Gründen nicht zwischen Zahlenwert des Flächeninhaltes und Flächeninhalt unterschieden, obwohl der Flächeninhalt A des Flächenstücks F ( ) genaugenommen das Produkt aus dem Zahlwert A(F) (der Flächenmaßzahl) und der der Flächenmessung zugrunde gelegten Flächeneinheit 9 ist. Nun kommt man wieder zur anfänglichen Problemstellung, der Flächenberechnung unter dem Graphen, zurück. Im Gegensatz zur Bestimmung einer Gesamtänderung oder Flächenbilanz, gehen bei der Flächenberechnung alle Flächenstücke F, welche vom Funktionsgraphen f, der x-achse und den beiden Ordinaten in den Intervallenden [a,b] begrenzt werden, mit positivem Vorzeichen in den Flächeninhalt A(F) ein. Dies hat zur Folge, dass der Flächeninhalt einer Fläche nicht durch das Bestimmte Integral von a bis b ermittelt werden kann, sobald sich Flächenstücke sowohl oberhalb, als auch unterhalb der x-achse finden. Man muss das Intervall [a,b] in Teilintervalle mit konstantem Vorzeichen von f(x) zerlegen, welche sich durch die Nullstellen des Funktionsgraphen im Intervall [a,b] ergeben (Abb.7): Somit erhält man allgemein für den ( ) Flächeninhalt im Intervall [a;b]: ( ) ( ) 10 9 Blaha, S Blaha, S

13 Abb Flächeninhalt zwischen den Graphen zweier Funktionen Für die Berechnung des Flächenstücks, welches von den Graphen zweier Funktionen f(x) und g(x) im Intervall [a,b] gegeben ist, soll die Differenzfunktion f(x)- g(x) gebildet werden. Mit dieser kann anschließend genauso verfahren werden wie im Kapitel 9.1 Flächeninhalt unter dem Graphen einer Funktion beschrieben. Das Intervall [a,b] wird demnach wieder an den Nullstellen der Differenzfunktion mit Vorzeichenwechsel 11 aufgeteilt und in jedem Teilintervall der Betrag des bestimmten Integrals ermittelt (Abb. 8): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Die Betragsstriche können jeweils entfallen, wenn das Flächenstück in einem Teilintervall einen positiven orientierten Flächeninhalt hat. In der Praxis ist dies der Fall, wenn der Graph von f(x) über dem Graphen von g(x) in diesem Teilintervall verläuft (bei ). Ansonsten kann der Betrag durch ein Minuszeichen ersetzt werden: 11 an den x-koordinaten der Schnittpunkte der beiden Funktionen f(x) und g(x)

14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Abb. 8 Die Internetseite vermittelt dem Schüler den Gegensatz zwischen dem Flächeninhalt und dem bestimmten Integral mittels des Graphen einer Cosinus- Funktion. Das bestimmte Integral übersteigt bei auseinandergehenden Grenzen nämlich nie einen bestimmten Wert, während der Wert des Flächeninhalts kontinuierlich steigt. Der Schüler kann so eigenständig die Aufteilung in Teilintervalle und die Betragsstriche nachvollziehen. Nebenbei wird im mit der Cosinus-Funktion ein Beispiel für die Suche nach einer Stammfunktion gezeigt. Hieran kann die Fläche, welche von zwei Graphen im Intervall [a,b] eingeschlossen wird, dynamisch auf das von der Differenzfunktion und der x-achse gegebenen Flächenstück verschoben werden. Der Schüler versteht dadurch die Hintergründe bei der Berechnung der von zwei Graphen eingeschlossenen Fläche über das bestimmte Integral der Differenzfunktion und sieht wieder die Notwendigkeit von Beträgen und Teilintervallen

15 9. Ausblicke und Anwendungen Der Lernpfad endet bei der Flächenberechnung mit dem Integral. Abschließend findet sich noch eine Seite über die grundlegenden Eigenschaften von Integralen. Da diese jedoch ohne Beweis stehen und nur für die Lösung einiger Beispielaufgaben enthalten sind, wird hier von einer genaueren Erklärung abgesehen. Für Interessierte empfiehlt es sich jedoch, sich mit diesen Eigenschaften intensiver zu befassen und als nächstes mit dem uneigentlichem Integral 12 und den erweiterten Integrationsregeln 13 fortzufahren. Denn die Möglichkeiten der Integralrechnung erstrecken sich über eine Fülle von mathematischen, technischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen. So spielt die Integartion eine entscheidende Rolle bei der Volumenberechnung von Rotationskörpern, bei der Theorie der Fourierreihen, bei physikalischen Anwendungen (z.b. Berechnung der Spannungsarbeit bei einer Feder), bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung in Form der kontinuierliche Verallgemeinerung des Mittelwerts und vielen anderen Themen. 12 Ein bestimmte Integral, bei dem entweder eine Integrationsgrenze oder der Integrand unendlich wird 13 Beispielsweise partielle Integration, Substitutionsmethode oder Partialbruchzerlegung

16 10. Literaturverzeichnis Blaha, Michael: Einführung in die Integralrechnung. (Stand: ) Degen, Kurt: Analysis 2, München Eisentraut, Franz/ Schätz, Ulrike: Delta Mathematik für Gymnasien, 1. Auflage, Bamberg 2010 Embacher, Franz/ Oberhuemer, Petra: Orientierter Flächeninhalt. (Stand: ) Embacher, Franz/ Oberhuemer, Petra: Integrieren-Mathematische Hintergründe. (Stand: ) Götz, Herbert u.a.: Lambacher Schweizer 12, Stuttgart Hackenbracht, Dieter: Integralrechnung für Funktionen einer Variablen. (Stand: ) Hohenwarter, M./Jauck, G./ Lindner A. (2007): Flächeninhaltsfunktion. /Dorfmayr/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/ (Stand: ) Modler, Florian (2005): Einführung in die Integralrechnung. (Stand: ) Reinold, K. (2006): Integralfunktion und bestimmtes Integral. (Stand: ) Wikipedia-Community (2011): (Stand: )

17 11. Erklärung zur Seminararbeit Erklärung zur Seminararbeit Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe verfasst und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel verwendet habe. Insbesondere versichere ich, dass ich alle wörtlichen und sinngemäßen Übernahmen aus anderen Werken als solche kenntlich gemacht habe. Rosenheim, Unterschrift