Didaktik des Sachrechnens
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- Hartmut Meyer
- vor 9 Jahren
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1 Didaktik des Sachrechnens 6. Geometrie in der Anwendung Eine Auswahl Pont de la Caille, Frankreich (eigenes Foto) 1
2 6. Geometrie in der Anwendung Eine Auswahl 6.1 Satzgruppe des Pythagoras 6.2 Ähnlichkeit / Strahlensätze 6.3 Kreislehre 6.4 Weitere Beispiele geometrischer Modellierungen 2
3 6.1 Satzgruppe des Pythagoras Zur Satzgruppe des Pythagoras gehören folgende Sätze: Satz des Pythagoras Kathetensatz Höhensatz 3
4 6.1 Satzgruppe des Pythagoras Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats. Wichtige Anwendungen: Längen- und Abstandsberechnungen 4
5 Anmerkung: 6.1 Satzgruppe des Pythagoras Der Kosinussatz ist die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras für beliebige Dreiecke: c a b ab 2 cos wobei der Winkel zwischen a und b ist. Da der Kosinus von 90 gleich null ist, ergibt sich für ein rechtwinkliges Dreieck der Satz des Pythagoras. 5
6 6.1 Satzgruppe des Pythagoras Satz des Pythagoras: Beispielaufgaben und ihre didaktische Funktion Einführung in den Themenbereich aus: Mathematik heute, Klasse 9, S
7 6.1 Satzgruppe des Pythagoras außermathematische Anwendung aus: Schnittpunkt 9, S. 133 aus: MatheNetz 9, S. 67 7
8 6.1 Satzgruppe des Pythagoras innermathematische Anwendung aus: Mathematik heute, Klasse 9, S
9 6.1 Satzgruppe des Pythagoras Umkehrung des Satzes des Pythagoras Ist für ein Dreieck die Summe der Flächen der Quadrate über den beiden kürzeren Seiten gleich der Fläche des Quadrates über der längsten Seite, so ist das Dreieck rechtwinklig. Wichtige Anwendung: rechte Winkel festlegen/konstruieren 9
10 6.1 Satzgruppe des Pythagoras Umkehrung des Satzes, Beispiel: aus: Schnittpunkt 9, S
11 6.1 Satzgruppe des Pythagoras Anmerkung: rechte Winkel lassen sich in manchen Anwendungsfällen auf andere Weise leichter festlegen. z. B.: Aufbau eines Schranks oder Gartenhauses, bei dem eine rechteckige Fläche leicht verscheren kann. Hier nutzt man die Eigenschaft eines Rechtecks, längengleiche Diagonalen zu haben. (Dies ist bei einem Parallelogramm, das kein Rechteck ist, nicht der Fall.) 11
12 6.2 Strahlensätze, Ähnlichkeit Voraussetzung: g h 1. Strahlensatz: Strecken auf der einen Halbgeraden verhalten sich wie entsprechende Strecken auf der anderen Halbgeraden. (Hölzl 2009) AD AE AC AB ED AE BC AB AD ED AC BC D 2. Strahlensatz: Parallele Querstrecken E verhalten sich wie zugehörige Abschnitte auf den Halbgeraden. A B g C h AD AE CD BE AC AB Wichtige Anwendungen: Längenberechnungen, Feststellen der Parallelität zweier Geraden 12
13 6.2 Strahlensätze, Ähnlichkeit Beispiel, didaktische Funktion: außermathematische Anwendung: aus: Mathematik heute, Klasse 9, S
14 6.3 Kreislehre Wichtige Anwendungen: Berechnung der Kreisfläche und des Kreisumfangs (von denen teils andere Größen, die in Anwendungen betrachtet werden, abhängen) Beispiel, didaktische Funktion: Einführung in den Themenbereich aus: Schnittpunkt 9, S
15 6.3 Kreislehre außermathematische Anwendung, Verlebendigung aus: Schnittpunkt 9, S. 148 (links), S. 156 (rechts) 15
16 6.3 Kreislehre außermathematische Anwendung: aus: Schnittpunkt 9, S
17 6.3 Kreislehre Aufgabe: Leistung von Windkraftanlagen (Brinkmann 2005) Info: Die Leistung einer Windkraftanlage hängt von der Größe der Rotorfläche dieser Windkraftanlage ab (Abbildung 1). Leistung ist die in einer Zeiteinheit umgesetzte Energie und wird in Watt [W] angegeben. Abbildung 1: Abhängigkeit der Leistung einer Windkraftanlage von dem Durchmesser der Rotorfläche (1 kw = 1000 W) 17
18 6.3 Kreislehre Aufgabe: Leistung von Windkraftanlagen ff. a) Kommentiere die Abbildung 1. Was wird hier ersichtlich? b) Zeige die Abhängigkeit der Leistung einer Windkraftanlage von dem Durchmesser der Rotorfläche von der Rotorfläche mittels Graphen in einem Koordinatensystem. c) Gib für die unter b) dargestellten Abhängigkeiten jeweils eine Funktionsgleichung an. d) Welche Rotorfläche ist für eine Windkraftanlage mit einer Leistung von 3 MW nötig? Begründe. (Hinweis: 1 MW = 1000 kw.) Welche Länge haben dann die Rotorblätter? 18
19 6.3 Kreislehre Aufgabe: Leistung von Windkraftanlagen ff. Info: Die Energie, die bei einer Leistung von einem Kilowatt (kw) in einer Stunde (h) umgesetzt wird, beträgt eine Kilowattstunde (kwh). In Deutschland ist durchschnittlich 2000 Stunden im Jahr ausreichend Wind vorhanden, damit Windkraftanlagen Energie (entsprechend ihrer Leistung) produzieren können. Ein durchschnittlicher Haushalt in Deutschland hat einen Jahresverbrauch von näherungsweise 4000 kwh elektrische Energie pro Jahr. e) Berechne die durchschnittliche Energiemenge in kwh, die von einer Windkraftanlage mit einer Leistung von 1,5 MW im Laufe eines Jahres in Deutschland produziert wird. Wie viele durchschnittliche Privathaushalte könnten in Deutschland theoretisch von einer 1,5 MW Windkraftanlage mit elektrischer Energie ausreichend versorgt werden? Warum handelt es sich bei der errechneten Anzahl nur um einen theoretischen Wert? 19
20 6.3 Kreislehre Aufgabe: Leistung von Windkraftanlagen ff. f) Angenommen, eine 600 kw Windkraftanlage erbringt volle Leistung bei einer Windgeschwindigkeit von 15 m/s gemessen an der Rotorachse. Wie schnell bewegen sich dann die Spitzen der Rotorblätter, wenn die Rotorblätter 15 Umdrehungen pro Minute durchführen? Gib diese Geschwindigkeit sowohl in m/s als auch in km/h an und vergleiche mit der Windgeschwindigkeit. 20
21 6.3 Kreislehre didaktische Funktionen: Außermathematische Anwendung (Erwerb von Wissen im Bereich des Sachkontextes), Innermathematisch: Quadratische Funktionen mit einem Funktionsterm der Form ax 2 + b lassen sich durch Substitution von x 2 linearisieren (wichtig für Modellierungsprozesse). 21
22 6.4 Weitere Beispiele geometrischer Modellierungen Besondere Linien im Dreieck (z. B. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende) 22
23 6.4 Weitere Beispiele geometrischer Modellierungen Besondere Linien im Dreieck (z. B. Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende) Mathematik plus 7, S. 62, Aufgabe 7 23
24 Literatur Brinkmann, Astrid & Brinkmann, Klaus Mathematikaufgaben zum Themenbereich Rationelle Energienutzung und Erneuerbare Energien. Hölzl, Reinhard Ähnlichkeit. In: Weigand, Hans-Georg (Hrsg.): Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, S Schulbücher: Schnittpunkt 9, 1. Auflage, Klett-Verlag, Stuttgart MatheNetz 9, Auflage A1, Bildungsverlage Westermann, Schroedel, Diesterweg, Schöningh Winklers GmbH, Braunschweig Mathematik heute, Klasse 9, Auflage A2, Bildungsverlage Westermann, Schroedel, Diesterweg, Schöningh Winklers GmbH, Braunschweig Mathematik plus, Gymnasium Klasse 7, Nordrhein-Westfalen, Volk und Wissen, Berlin
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