Geschichte von Pythagoras

Transkript

1 Satz von Pythagoras

2 Inhalt Geschichte von Pythagoras Entdeckung des Satzes von Pythagoras Plimpton 322 Lehrsatz Beweise Kathetensatz und Höhensatz Pythagoreische Tripel Kosinussatz Anwendungen des Satzes

3 Geschichte von Pythagoras Pythagoras lebte von ca v. Chr. Er war der erste der großen Philosophen und auch Lehrer des antiken Griechenland Er beeinflusste Sokrates, Platon und Aristoteles wurde geboren auf der griechischen Insel Samos unternahm viele Reisen als Jugendlicher eine Zeitlang soll auch THALES VON MILET sein Lehrer gewesen sein

4 Geschichte von Pythagoras neues Zuhause fand er in der griechischen Kolonie Kroton in Süditalien er gründete den Geheimbund der Pythagoreer Ziel war Aufbau der Welt zu ergründen und die Geheimnisse der Natur zu entschleiern Alles ist Zahl war ihr Grundsatz suchte nach Zahlen die gleich der Summe ihrer echten Teiler sind Seitenlängen die in einem einfachen Verhältnis stehen ergeben harmonische Töne

5 Geheimes Zeichen vom Bund der Pythagoreer Pentagramm Pentagramm brachte die Philosophie der Pythagoreer ins Wanken Geheimniskrämerei der Pythagoreer und ihre ungewöhnliche Lebensweise erregten den Unmut der Bevölkerung Aussagen von Pythagoras: Die Zahl ist das Wesen aller Dinge. Geometrie ist ewiges Wissen.

6 Entdeckung des Satzes von Pythagoras Pythagoras hat den Lehrsatz nur wieder entdeckt Ägyptern und Chinesen waren diese Zusammenhänge schon bekannt In Ägypten beispielsweise wurde ein Seil durch Knoten in 12 gleich große Teile geteilt

7 Plimpton 322 geheimnisvolle babylonische Tontafel mit Zahlen in Keilschrift 1800 v.chr verfasst und listet pythagoreische Tripel auf nach dem New Yorker Verleger George Plimpton benannt Tafel entstammt der altbabylonischen Zivilisation in Mesopotamien Babylonier ritzten ihre Texte mit Hilfe eines Griffels oder Keils in feuchten Ton

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9 Plimpton 322 Zahlensystem wurde die 1 mit einem einzigen Strich geschrieben und die Zahlen 2 bis 9 bildeten Kombinationen aus mehreren Einzelstrichen Zahlen 1 9 Zahlen 10, 20, 30, 40, 50 Zahl 11

10 Satzgruppe von Pythagoras Entdeckung wird meist Pythagoras zugeschrieben was nicht richtig ist 1. Lehrsatz von Pythagoras: a²+b²=c² 2. Kathetensatz: a 2 = c * p, b 2 = c * q 3. Höhensatz: h 2 = p * q

11 1. Lehrsatz von Pythagoras a²+b²=c²

12 1. Lehrsatz von Pythagoras - Definitionen In allen rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Fläche der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypothenusenquadrates. In einem rechtwinkligen Dreieck gilt, 1. Kathete zum Quadrat plus 2. Kathete zum Quadrat gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Ist das Quadrat aus der Summe der Katheten in einem Dreieck gleich dem Quadrat der Fläche über der Hypothenuse, so handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.

13 1. Lehrsatz von Pythagoras - Beweise Ob der Beweis wirklich von Pythagoras erbracht worden ist, kann nicht nachgewiesen werden Beweise für den Lehrsatz wurden erst von Pythagoras Schülern gefunden Mittlerweile weit über 300 unterschiedliche Beweise

14 1. Lehrsatz von Pythagoras - Beweise Elisha Scott Loomis: amerikanischer Lehrer & Mathematiker Buch Pythagorean Proposition mit 370 Beweisen 1.Auflage Auflage 1940

15 1. Lehrsatz von Pythagoras Beweis 1

16 1. Lehrsatz von Pythagoras Beweis 2

17 2. Kathetensatz a 2 = cp, b 2 = cq Das Quadrat der Kathete ist gleich dem Produkt aus Hypotenuse und anliegenden Hypotenusenabschnitt

18 3.Höhensatz h 2 = pq Aus dem Satz des Pythagoras folgt der Höhensatz: Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächeninhaltsgleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten

19 Pythagoreisches Zahlentripel Ein Tripel (a, b, c) von natürlichen Zahlen heißt Pythagoreisches Zahlentripel, wenn a 2 + b 2 = c 2 gilt. Mit einem Pythagoreischen Zahlentripel kann man rechtwinkelige Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen konstruieren. kleinste und bekannteste Zahlentripel ist (3, 4, 5) Tripel 3, 4, 5 und 5, 12, 13 waren bereits den alten Ägyptern bekannt

20 Pythagoreisches Zahlentripel griechische Philosoph und Mathematiker PLATON gab zum Auffinden pythagoreischer Zahlentripel diese Beziehungen an: n 2 1 2n 1 + n 2 n = 4 erhält man das Zahlentripel 15, 8, 17

21 Pythagoreisches Zahlentripel Seien m und n natürliche Zahlen (m>n) a = m 2 - n 2 b = 2mn c = m 2 + n 2 primitives pythagoreisches Tripel ist ein pythagoreisches Tripel bei dem die drei Zahlen teilerfremd sind ggt(a, b, c) = 1 Primitive pythagoreische Tripel enthalten immer zwei ungerade Zahlen und eine gerade. Beispiel: m=2,n=1 a=3, b=4, c=5

22 Kosinussatz Kosinussatz drückt eine Beziehung zwischen den drei Seiten und einem Winkel im Dreieck aus In jedem Dreieck ist das Quadrat über einer Seite gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels. a² = b² + c² 2bc cos(α) b² = a² + c² 2ac cos(β) c² = a² + b² 2ab cos(γ)

23 Kosinussatz - Beweis

24 Kosinussatz - Beweis Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes, denn für γ = 90 und somit cos 90 = 0 ergibt sich: a²+b²=c²

25 Anwendungen des Satzes a 2 = h 2 + (c/2 ) 2

26 Anwendungen des Satzes a 2 = h 2 + (a/2) 2

27 Anwendungen des Satzes h² = b² - x² h² = a² - y²

28 Anwendungen des Satzes Das Parallelogramm Gegeben: a, b, h Gesucht: Diagonale e b 2 = h 2 + x 2 e 2 = h 2 + (a+x) 2

29 Anwendungen des Satzes b 2 = h 2 + x 2 e 2 = h 2 + (c+x) 2

30 Anwendungen des Satzes Das Deltoid Das Quader Die Pyramide

31 Aufgaben zur Anwendung in der Schule Berechne bei den rechtwinkligen Dreiecken die fehlenden Seitenlängen Wie lang muss die Feuerwehrleiter sein, falls es im obersten Stockwerk des Hochhauses brennen sollte?

32 Aufgaben zur Anwendung in der Schule Berechne für jedes abgebildete Gebäude die Länge eines Dachsparren. Jeder Dachsparren soll dabei 40 cm überstehen. Wie hoch darf der Schrank höchstens sein, damit man ihn wie angegeben aufstellen kann?

33 Danke für Eure Aufmerksamkeit!