x: Länge der Strecke, um die der Balken von der Wand weggezogen wurde, in gi

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1 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** Balken an Wand Auf einer alten babylonischen Keilschrifttafel aus der Zeit von etwa 1700v.Chr. findet sich die folgende Aufgabe: Ein Balken von 1gi Länge (das sind etwa 3m) steht an einer e- benfalls 1gi hohen Wand. Wie weit wurde der Balken von der Wand weggezogen, wenn er von oben 5 1 gi herabgekommen ist? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** x: Länge der Strecke, um die der Balken von der Wand weggezogen wurde, in gi (P) x = 1 x 9 5 = 0 ; L = 3 ; Der Balken wurde 5 3 gi von der Wand weggezogen. 011 Thomas Unkelbach

2 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Baum am Fluss 1 Die obige Zeichnung stammt aus dem handgeschriebenen und reich bebilderten Rechenbuch des Fillipo CA- LANDRI aus dem Jahre Es wird in der Bibliothek von Florenz aufbewahrt. Ein ursprünglich 60 Fuß hoher Baum ist umgeknickt. Er ragt jetzt über den 30 Fuß breiten Fluss. In welcher Höhe ist der Baum umgeknickt? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** h: Höhe des Baumstumpfes in Fuß; (60-h): Höhe des abgeknickten Stückes in Fuß 1 (P) h + 30 = (60 h) h = 0 ; L = { } 1 Der Baum ist in einer Höhe von Fuß abgeknickt Thomas Unkelbach

3 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Baum am Fluss Die folgende Aufgabe stammt aus der Arithmetik des Chinesen CH'IN CHIU-SHAO (13. Jh. n.chr.), die Abbildung aus einem Rechenbuch des 15. Jahrhunderts. Ein ursprünglich 10 Fuß hoher Bambus ist so geknickt, dass seine Spitze 3 Fuß vom unteren Ende des Bambus entfernt den Boden berührt. In welcher Höhe ist der Bambus abgeknickt? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** h: Höhe des Bambus in Fuß; (10-h): Höhe des abgeknickten Stückes in Fuß (P) h + 3 = (10 h) h 4 = 0 ; L = { 4 } 11 Der Bambus ist in einer Höhe von 4 Fuß abgeknickt Thomas Unkelbach

4 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Brunnen zwischen den Türmen 1 Die obige Zeichnung stammt aus dem handgeschriebenen und reich bebilderten Rechenbuch des Fillipo CA- LANDRI aus dem Jahre Es wird in der Bibliothek von Florenz aufbewahrt. Auf einem ebenen Feld stehen zwei Türme, einer 60 Fuß hoch, der andere 80 Fuß hoch. Ihr Abstand beträgt 100 Fuß. Für die beiden Vögel ist der Weg von der Turmspitze bis zu einem Brunnen zwischen den Türmen gleich weit. Wie weit ist der Brunnen von den Türmen entfernt? Tipp: Führe zwei Variablen ein. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** d: Abstand des linken Turms vom Brunnen in Fuß; (100-d): Abstand des rechten Turms vom Brunnen in Fuß s: Abstand der beiden Turmspitzen vom Brunnen in Fuß (P) 60 + d = s 80 + (100 d) = s 60 + d = 80 + (100 d) d 64 = 0 ; L = { 64} Der linke Turm steht 64 Fuß und der rechte 36 Fuß vom Brunnen entfernt. 011 Thomas Unkelbach

5 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Brunnen zwischen den Türmen Die folgende Aufgabe stammt aus der 'Coß' des Christoff RUDOLFF (1553). Zween Thurn stehen auff einer ebenen velde 60 eln von ein ander. Der ein ist 50 eln hoch der ander 40 eln hoch. Zwischen den zweyen Thurnen steht ein Brunne gleych weyt von den spitzen der zweyen Thurnen. Ist die frag wie fern steht der Brunne vnden von yedem Thurn? Tipp: Führe zwei Variablen ein. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** d: Abstand des linken Turms vom Brunnen in Ellen; (60-d): Abstand des rechten Turms vom Brunnen in Ellen s: Abstand der beiden Turmspitzen vom Brunnen in Ellen (P) d = s 40 + (60 d) = s 50 + d = 40 + (60 d) d = ; L = { } Der linke Turm steht Ellen und der rechte 37 Ellen vom Brunnen entfernt. 011 Thomas Unkelbach

6 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * Diagonale im Quadrat a) Ein Quadrat hat die Seitenlänge a = 6cm. Berechne die Diagonalenlänge d. b) Stelle den Term d (a) auf, mit dem man allgemein in einem Quadrat aus der Seitenlänge a die Diagonalenlänge d berechnen kann. Hinweis: Diese Formel findet man in allen Formelsammlungen. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I Anwendungsaufgaben * a) d: Diagonalenlänge in cm (P) = d d 7 = 0 ; L = { 6 ; 6 } Die Diagonalenlänge beträgt 6 cm 8,5cm. b) a: Seitenlängen; d: Diagonalenlänge (P) a + a = d d = a d = a = a Der Term lautet d (a) = a. 011 Thomas Unkelbach

7 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * Diagonale im Rechteck a) Ein Rechteck hat die Seitenlängen a = 6cm und b = 3cm. Berechne die Diagonalenlänge d. b) Stelle den Term d (a;b) auf, mit dem man allgemein in einem Rechteck aus den Seitenlängen a und b die Diagonalenlänge d berechnen kann. Hinweis: Diese Formel findet man in allen Formelsammlungen. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I Anwendungsaufgaben * a) d: Diagonalenlänge in cm (P) = d d 45 = 0 ; L = { 3 5; 3 5} Die Diagonalenlänge beträgt 3 5cm 6,7 cm. b) a, b: Seitenlängen; d: Diagonalenlänge (P) a + b = d d = a + b Der Term lautet d (a;b) + = a b. 011 Thomas Unkelbach

8 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Echolot Ein Schiff bestimmt die Wassertiefe mittels Echolot. Schallsender und Schallempfänger sind im Abstand von 10m am Schiffsboden angebracht. Wie weit über Grund befindet sich dieser, wenn ein ausgesandtes Signal bei einer Schallgeschwindigkeit in m Wasser von 1500 nach 0,1s wieder empfangen s wird? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** m s: Länge des Streckenzugs S-B(oden)-E in m; es gilt s = v t = ,1s = 150m s h: Länge der Strecke SB in m; (150-h): Länge der Strecke BE in m (P) h + 10 = (150 h) h = 74 ; L = { 74 } Das Schiff befindet sich 74 3 m über Grund Thomas Unkelbach

9 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Eckschrank Ein Eckschrank aus einer Anbauserie hat nach dem Prospekt eine Schenkellänge von 70cm und eine seitliche Tiefe von 37cm. Im Prospekt wird die Breite AD mit 100cm und die Breite BC mit 45cm angegeben. Prüfe die Angaben des Prospekts kritisch nach. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** b 1: Breite AD in cm (P) = b b 9600 = 0 ; L = { 70 ; 70 } 1 1 Die Breite AD beträgt 70 cm 99cm. b : Breite BC in cm (P) (70 37) + (70 37) = b b 178 = 0 ; L = { 33 ; 33 } Die Breite BC beträgt 33 cm 46,7cm. 011 Thomas Unkelbach

10 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * Giebel 1 In der obenstehenden Abbildung ist die Giebelseite eines Hauses gezeigt. Berechne die Entfernung der Punkte A und S. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * d: Länge der Strecke AS in m 18 (P) ( ) + (6 + 4) = d d 181 = 0 ; L = { 181; 181} Die Strecke AS ist 181m 13,5m lang. 011 Thomas Unkelbach

11 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Giebel In der obenstehenden Abbildung ist die Giebelseite des Daches eines älteren Hauses gezeigt. Berechne die Längen x und y. Tipp: Berechne zuerst die Längen der beiden eingezeichneten Hilfslinien in Abhängigkeit von x bzw. y. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Für die Länge h 1 der vertikalen Hilfslinie gilt als Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge x und 1 dem Satz des PYTHAGORAS: h 1 = 3 x. Für die Länge h der horizontalen Hilfslinie gilt als Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge y 1 und dem Satz des PYTHAGORAS: h = 3 y. Damit ergibt sich das Lineare Gleichungssystem x + y = 4,80 und 3 y + x = 10,80 = 5, 40 und daraus x = (4,8 3 5,4)m,9 m und y = (5,4 3 4,8)m 4,6 m. 011 Thomas Unkelbach

12 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Glocke In einem Glockenturm hängt das Seil zum Läuten der Glocke. Wenn man das Ende des Seils um m seitlich aus der Ruhelage bewegt, so hebt sich das Seilende dabei um 10cm. Berechne die Länge des Glockenseils. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** l : Länge des Seils in m (P) ( l 0,1) + = l l = 0,05 ; L = { 0,05} Das Seil ist 0,05m lang. 011 Thomas Unkelbach

13 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * Höhe im Gleichschenkligen Dreieck a) Ein Gleichschenkliges Dreieck hat die Seitenlängen a = 6cm und c = 5cm. Berechne die Höhenlänge h. b) Stelle den Term h (a;c) auf, mit dem man allgemein in einem Gleichschenkligen Dreieck aus den Seitenlängen a und c die Höhenlänge h berechnen kann. Hinweis: Diese Formel findet man in allen Formelsammlungen. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I Anwendungsaufgaben * a) h: Höhenlänge in cm 6 (P) h + = 5 h 16 = 0 ; L = { 4; 4} Die Höhenlänge beträgt 4 cm. b) a, c: Seitenlängen; h: Höhenlänge (P) h c + = a h = a c Der Term lautet h(a;c) c = a. 011 Thomas Unkelbach

14 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * Höhe im Gleichseitigen Dreieck a) Ein Gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge a = 6cm. Berechne die Höhenlänge h. b) Stelle den Term h (a;c) auf, mit dem man allgemein in einem Gleichseitigen Dreieck aus der Seitenlänge a die Höhenlänge h berechnen kann. Hinweis: Diese Formel findet man in allen Formelsammlungen. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I Anwendungsaufgaben * a) h: Höhenlänge in cm 6 (P) h + = 6 h 7 = 0 ; L = { 3 3; 3 3} Die Höhenlänge beträgt 3 3cm 5,cm. b) a: Seitenlängen; h: Höhenlänge a a a 4a a 3a a (P) h + = a h = a = a = = = a Der Term lautet h (a) = Thomas Unkelbach

15 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Interessantes zum Parallelogramm Beweise mit Hilfe der Zeichnung, dass in jedem Parallelogramm gilt a + b = e + f. Tipp: b, e und f lassen sich als Hypotenusenquadrate auffassen. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I Anwendungsaufgaben *** In dem Rechtwinkligen Dreieck BFC gilt (P) d = + h b (1) In dem Rechtwinkligen Dreieck AFC gilt (P) ( a = + d) + h e () In dem Rechtwinkligen Dreieck EBD gilt (P) ( a = d) + h f (3) Addieren der Gleichungen () und (3) liefert e + f = (a + d) + h + (a d) + h =... = a + d + h = a + (d + h ) Einsetzen von (1) d = + h b liefert e + f = a + b 011 Thomas Unkelbach

16 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Interessantes zur Raute Beweise mit Hilfe der Zeichnung, dass in jeder Raute gilt 4 a = e + f. Tipp: Es gibt mindestens zwei verschiedene Beweismöglichkeiten; beide sind angedeutet. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I Anwendungsaufgaben *** 1. Möglichkeit: Ist M der Schnittpunkt der beiden Diagonalen der Raute, dann gilt in dem Rechtwinkligen Dreieck AMD (P) e f + = a e 4 f + 4 = a e + f 4 = a 4 e + f = 4a. Möglichkeit: In dem Rechtwinkligen Dreieck AEC gilt (P) e + f = (a) e + f = 4a 011 Thomas Unkelbach

17 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * Leiter an Hauswand A Eine 5m lange Leiter wird auf einen horizontalen Untergrund gestellt und an eine Hauswand gelehnt. Ihr unteres Ende hat von der Wand den Abstand 80cm. In welcher Höhe berührt sie die Wand? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * h: Höhe, in der die Leiter die Wand berührt, in m (P) h + 0,80 = 5,00 h 4,36 = 0 ; L = { 4,36; 4,36} Die Leiter berührt die Wand in einer Höhe von 4,36m 4,94m. 011 Thomas Unkelbach

18 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * Leiter an Hauswand B Eine Leiter von 3,60m Länge ist so an eine Hauswand gestellt, dass ihre unteren Holmenden einen Abstand von 1,00m von der Hauswand haben. In welcher Höhe berührt sie die Wand? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * h: Höhe, in der die Leiter die Wand berührt, in m (P) h + 1,00 = 3,60 h 11,96 = 0 ; L = { 11,96; 11,96} Die Leiter erreicht eine Höhe von 11,96m 3,49m an der Hauswand. 011 Thomas Unkelbach

19 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Leiter an Wand A Bereits in einem altbabylonischen Text um 000 v.chr. findet sich das Problem der 'angelehnten Leiter', die Abbildung stammt aus dem 15. Jahrhundert: Eine Leiter steht an einer Wand, die so hoch wie die Leiter ist. Wird nun die Leiter von der Wand weggezogen, so dass oben 3Ellen frei sind, steht die Leiter am Boden 9Ellen von der Wand entfernt. Wie lang ist die Leiter? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** h: Höhe der Wand und gleichzeitig Länge der Leiter in Ellen. (P) (h 3) + 9 = h h = 15 ; L = { 15} Die Wand ist 15Ellen hoch, die Leiter ebenfalls 15Ellen lang. 011 Thomas Unkelbach

20 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Leiter an Wand B Bereits in einem altbabylonischen Text um 000 v.chr. findet sich das Problem der 'angelehnten Leiter', die Abbildung stammt aus dem 15. Jahrhundert: Eine Leiter steht an einer Wand, die so hoch wie die Leiter ist. Wird nun die Leiter von der Wand weggezogen, 1 1 so dass oben 1 Ellen frei sind, steht die Leiter am Boden 4 Ellen von der Wand entfernt. Wie lang ist die Leiter? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** h: Höhe der Wand und gleichzeitig Länge der Leiter in Ellen. 1 1 (P) ( h 1 1 ) + 4 = h h = 7 ; L = { 7 } 1 1 Die Wand ist 7 Ellen hoch, die Leiter ebenfalls 7 Ellen lang Thomas Unkelbach

21 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Schale A In einer Kugelschale mit dem Radius Berechne die Flüssigkeitstiefe t. R = 1,8 m hat der Flüssigkeitsspiegel den Durchmesser s = 5,1m. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** t: Flüssigkeitstiefe in m 1 (P) ( 5,1) + (1,8 t) = 1,8 t 3,6t + 1,8 = 0 ; L = { 0,4; 3,} Die Flüssigkeitstiefe beträgt 0,4m. 011 Thomas Unkelbach

22 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Schale B In einer Kugelschale mit dem Radius Berechne die Flüssigkeitstiefe t. R = 8cm hat der Flüssigkeitsspiegel den Durchmesser s = 8 3cm. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** t: Flüssigkeitstiefe in m 1 (P) ( 8 3) + (8 t) = 8 t 16t + 48 = 0 ; L = { 4;1} Die Flüssigkeitstiefe beträgt 4 cm. 011 Thomas Unkelbach

23 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Schilfrohr Die folgende Aufgabe stammt aus der Arithmetik des Chinesen CH'IN CHIU-SHAO (13.Jh. n.chr.). 5 Fuß vom Ufer eines Teichs entfernt ragt ein Schilfrohr einen Fuß über das Wasser empor. Zieht man seine Spitze an das Ufer, so berührt sie gerade den Wasserspiegel. Wie tief ist der Teich? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** t: Tiefe des Teichs in Fuß; (t+1): Höhe des Schilfrohres in Fuß (P) t + 5 = (t + 1) t = 1 ; L = { 1} Der Teich ist 1 Fuß tief. 011 Thomas Unkelbach

24 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** Schrank 1 Ein Schrank wurde in ein Dachzimmer getragen, das,0m hoch ist. Der Schrank ist,05m hoch, 95cm breit und 55cm tief. Kann man ihn aufstellen, wenn man ihn a) über die Seitenkante b) über die Vorderkante kippt? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** a) d: Länge der Diagonalen beim Kippen über die Seitenkante in m (P),05 + 0,95 = d d 5,105 = 0 ; L = { 5, 105; 5, 105} Nein, denn die Diagonale beim Kippen über die Seitenkante hat die Länge 5,105m,6m. b) d: Länge der Diagonalen beim Kippen über die Vorderkante in m (P),05 + 0,55 = d d 4,505 = 0 ; L = { 4,505; 4,505} Ja, denn die Diagonale beim Kippen über die Vorderkante hat die Länge 4,505m,1m. 011 Thomas Unkelbach

25 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** Schrank A Wie hoch darf der Schrank in der obenstehenden Abbildung höchstens sein, damit man ihn wie angegeben aufstellen kann? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** h: Höhe des Schranks in m (P) h + 0,6 =,4 h 5,4 = 0 ; L = { 5,4; 5,4} Der Schrank darf höchstens 5,4m,3m hoch oder breit sein. 011 Thomas Unkelbach

26 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * Seil zwischen den Türmen Ein 14m hoher Turm und ein m hoher Turm sollen an ihren höchsten Stellen mit einem Seil verbunden werden. Die Türme stehen 8m voneinander entfernt. Bestimme, wie lang das Seil mindestens sein muss. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * x: Länge des Seils in m (P) 8 + (14 ) = x x 08 = 0; L = { 4 13 ; 4 13} Das Seil muss mindestens 4 13m 14,4m lang sein. 011 Thomas Unkelbach

27 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * Sendemast Um einen Sendemast zu befestigen, werden Stahlseile in 50m Höhe am Mast angebracht und in 40m Entfernung vom Fuß des Mastes verankert. Wie lang sind die Stahlseile in gespanntem Zustand? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * l : Länge der Seile in m (P) = l l 4100 = 0 ; L = { 10 41;10 41} Die Seile sind 10 41m 64m lang. 011 Thomas Unkelbach

28 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** Sichtweite 1 a) Die Erde ist näherungsweise eine Kugel mit dem Radius R = 6370km. Wie weit kann ein Beobachter aus der Höhe h im Idealfall sehen? Zeige, dass für die Sichtweite s gilt s = Rh + h. Warum kann man als 'Faustformel' s = Rh benutzen? b) Berechne die Sichtweiten für die Höhen h = 0,8m (Kajak), h =,m (Segeljacht), h = 1m (Frachtschiff), h = 90m (Bohrinsel) und h = 1000m(Flugzeug). c) Wie weit ist ein Schiff mindestens entfernt, dessen 0m hohe Mastspitze für einen Beobachter mit der Augenhöhe 1,6m gerade 'hinter dem Horizont' verschwindet? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben *** a) (P) R + + s = (R + s) s = Rh h. Da in der Formel s + diese vernachlässigen und es gilt = Rh h die Größe h im Verhältnis zur Größe Rh immer sehr klein ist, kann man s = Rh + h Rh. b) s 3,km ; s 5,3km ; s 8,0km ; s 1km ; s 34km ; s 113km c) s 1 : Länge der Strecke vom Beobachter bis zum Horizont in km s : Länge der Strecke vom Schiff bis zum Horizont in km s = s 1 + s : Länge der Strecke vom Beobachter bis zum Schiff in km Wie in b) errechnen sich s 1 4,5 km, s 16,0km, also s 0,5km. 011 Thomas Unkelbach

29 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** Sperrholzplatte Passt eine,40m lange, 1,85m breite und 3cm starke rechteckige Sperrholzplatte durch eine 1,0m breite und 1,40m hohe rechteckige Fensteröffnung? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** d: Länge der Diagonalen der Fensteröffnung in m (P) 1,0 + 1,40 = d d 3,4 = 0 ; L = { 3,4; 3,4 } Die Spanplatte passt nicht durch die Fensteröffnung, da die Diagonale der Fensteröffnung ist. 3,4m 1,84m lang 011 Thomas Unkelbach

30 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** Steigung A Die Steigung einer ansteigenden Straße AB wird als Verhältnis des Höhenunterschieds h zur horizontal gemessenen Entfernung e angegeben. Ist z.b. h = 0m und e = 800m, so beträgt die Steigung h 0m 1 = = =,5%. e 800m 40 a) Aus einer Karte entnimmt man die horizontale Entfernung e =,5km und die Steigung 8%. Wie groß ist der Höhenunterschied h und wie lang ist die Straße AB? Runde auf Meter. b) Auf einem Straßenschild steht die Länge der Straße AB = 1,4km und die Steigung 5%. Wie groß sind die horizontale Entfernung e und der Höhenunterschied h? Runde auf Meter. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** h a) = 8% h = e 8% h = 0,km ; l : Länge der Straße in km e (P) 0, +,5 = l l 6,9 = 0 ; L = { 6,9; 6,9} Die Länge der Straße beträgt 6,9km,508km. b) e: Horizontale Entfernung in km; 5% e: Höhenunterschied in km (P) (0,05 e) + e = 1,4 e 153,38 = 0 ; L = { 153,38; 153,38} Die Horizontale Entfernung beträgt 153,38km 1,380km, der Höhenunterschied ca. 0,619km = 619m. 011 Thomas Unkelbach

31 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** Steigung B Die Steigung einer ansteigenden Straße AB wird als Verhältnis des Höhenunterschieds h zur horizontal gemessenen Entfernung e angegeben. Ist z.b. h = 0m und e = 800m, so beträgt die Steigung h 0m 1 = = =,5%. e 800m 40 a) Aus einer Karte entnimmt man die horizontale Entfernung e =,5km und die Steigung 4%. Wie groß ist der Höhenunterschied h und wie lang ist die Straße AB? Runde auf Meter. b) Auf einem Straßenschild steht die Länge der Straße AB = 6,km und die Steigung 5%. Wie groß sind die horizontale Entfernung e und der Höhenunterschied h? Runde auf Meter. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** h a) = 4% h = e 4% h = 0,1km ; l : Länge der Straße in km e (P) 01, +,5 = l l 6,6 = 0 ; L = { 6,6; 6,6} Die Länge der Straße beträgt 6,6km,50km. b) e: Horizontale Entfernung in km; 5% e: Höhenunterschied in km (P) (0,05 e) + e = 6, e 38,34 = 0 ; L = { 38,34; 38,34} Die Horizontale Entfernung beträgt 38,34km 6, 190km, der Höhenunterschied ca. 0,310km = 310m. 011 Thomas Unkelbach

32 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** Steigung C Die Steigung einer ansteigenden Straße AB wird als Verhältnis des Höhenunterschieds h zur horizontal gemessenen Entfernung e angegeben. Ist z.b. h = 0m und e = 800m, so beträgt die Steigung h 0m 1 = = =,5%. e 800m 40 a) Aus einer Karte entnimmt man die horizontale Entfernung e = 1km und die Steigung 6%. Wie groß ist der Höhenunterschied h und wie lang ist die Straße AB? Runde auf Meter. b) Auf einem Straßenschild steht die Länge der Straße AB = 6,km und die Steigung 10%. Wie groß sind die horizontale Entfernung e und der Höhenunterschied h? Runde auf Meter. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** h a) = 6% h = e 6% h = 0,7km ; l : Länge der Straße in km e (P) 0,7 + 1 = l l 144,5184 = 0 ; L = { 144,5184; 144,5184} Die Länge der Straße beträgt 144,5184km 1,0km. b) e: Horizontale Entfernung in km; 10% e: Höhenunterschied in km (P) (0,1 e) + e = 6, e 38,06 = 0 ; L = { 38,06; 38,06} Die Horizontale Entfernung beträgt 38,06km 6, 169km, der Höhenunterschied ca. 0,617km = 617m. 011 Thomas Unkelbach

33 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** Steigung D Die Steigung einer ansteigenden Straße AB wird als Verhältnis des Höhenunterschieds h zur horizontal gemessenen Entfernung e angegeben. Ist z.b. h = 0m und e = 800m, so beträgt die Steigung h 0m 1 = = =,5%. e 800m 40 a) Aus einer Karte entnimmt man die horizontale Entfernung e = 1km und die Steigung 9%. Wie groß ist der Höhenunterschied h und wie lang ist die Straße AB? Runde auf Meter. b) Auf einem Straßenschild steht die Länge der Straße AB = 6,km und die Steigung 7,5%. Wie groß sind die horizontale Entfernung e und der Höhenunterschied h? Runde auf Meter. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** h a) = 9% h = e 9% h = 1,080km ; l : Länge der Straße in km e (P) 1, = l l 145,1664 = 0 ; L = { 145,1664; 145,1664} Die Länge der Straße beträgt 145,1664km 1,049km. b) e: Horizontale Entfernung in km; 7,5% e : Höhenunterschied in km (P) (0,075 e) + e = 6, e 38, = 0 ; L = { 38,; 38,} Die Horizontale Entfernung beträgt 38,km 6,183km, der Höhenunterschied ca. 0,464km = 464m. 011 Thomas Unkelbach

34 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** Strohhalm Wie weit ragt ein 0cm langer Strohhalm mindestens aus der Dose, wenn diese 11cm hoch ist und einen Durchmesser von 6cm hat? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** l : Länge des Strohhalms in der Dose in cm (P) = l l 157 = 0 ; L = { 157; 157 } 157cm 1,5cm, also ragen mindestens ca. 7,5cm des Stroh- Die Länge des Strohhalms in der Dose beträgt halms aus der Dose. 011 Thomas Unkelbach

35 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** Tischplatte Kann man eine 3cm dicke kreisförmige Tischplatte von,10m Durchmesser durch eine Türöffnung transportieren, die nur m hoch und 1m breit ist? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** d: Länge der Diagonalen der Türöffnung in m (P) + 1 = d d 5 = 0 ; L = { 5; 5} Die Tischplatte passt durch die Türöffnung, da die Diagonale der Türöffnung der Tischplatte kann man in diesem Fall vernachlässigen. 5m,4m lang ist. Die Dicke 011 Thomas Unkelbach

36 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * Trampelpfad An einer unbebauten Straßenecke ist ein Trampelpfad entstanden. Wie lang ist die Abkürzung von P nach Q? Wie viel Meter spart man durch die Abkürzung? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * d: Länge der Strecke PQ in m (P) = d d 3400 = 0 ; L = { 10 34; 10 34} Die Strecke PQ ist 10 34m 58,3m lang. Man spart durch sie ca. 50 m + 30m 58,3m = 1,7 m 011 Thomas Unkelbach

37 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * Turm am Fluss Die obige Zeichnung stammt aus dem handgeschriebenen und reich bebilderten Rechenbuch des Fillipo CA- LANDRI aus dem Jahre Es wird in der Bibliothek von Florenz aufbewahrt. Ein Turm am Fluss ist 40 Fuß hoch, der Fluss ist 30 Fuß breit. Wie lang ist das Seil? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben * l : Länge des Seils in Fuß (P) = l l 500 = 0 ; L = { 50; 50} Das Seil ist 50 Fuß lang. 011 Thomas Unkelbach

38 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** Wärmeausdehnung Fließt elektrischer Strom durch einen Draht, so wird dieser erwärmt. Dadurch verlängert sich der Draht und ein angehängter Körper sinkt. Berechne die Längenänderung eines ursprünglich 50cm langen Drahtes, wenn der Körper um cm, 4cm bzw. 8cm sinkt. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** l : Länge des erwärmten Drahtes in cm bei einem Absinken des angehängten Körpers um cm 50 l (P) ( ) + = ( ) l 516 = 0 ; L = { 69; 69} Der erwärmte Draht hat eine Länge von 69cm 50,16cm, die Längenänderung beträgt also ca. 0,16cm. Entsprechend ergeben sich bei einem Absinken des angehängten Körpers um 4cm bzw. 8cm Längenänderungen von ca. 0,6cm bzw. ca.,5cm. 011 Thomas Unkelbach

39 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** Zahnradbahn am Pilatus Die steilste Zahnradbahn der Welt fährt auf den Pilatus (Schweiz). Auf einem Streckenabschnitt von 1130m Länge überwindet sie gleichmäßig einen Höhenunterschied von 489m. a) In einer Landkarte sind im Normalfall die horizontalen Abstände von Orten maßstabsgetreu abgebildet. Wie lang erscheint dieser Streckenabschnitt auf einer Karte im Maßstab 1:5000? b) Eine andere Zahnradbahnstrecke erscheint auf einer Karte im Maßstab 1: cm lang. Die wirkliche Streckenlänge beträgt 150m. Wie groß ist der Höhenunterschied? 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** a) x: Länge der horizontalen Strecke in m (P) x = 1130 x = 0 ; L = { ; } Der horizontale Abstand beträgt in der Wirklichkeit 1:5000 ca. 4,1cm m 1019m und auf einer Karte im Maßstab b) Der horizontale Abstand beträgt in der Wirklichkeit 100m. h: Höhenunterschied in m (P) h = 150 h 1500 = 0 ; L = { 350; 350} Der Höhenunterschied beträgt 350m. 011 Thomas Unkelbach

40 Name: Datum: Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Grundwissen Welche Zusammenhänge bestehen zwischen den Streckenlängen in Rechtwinkligen Dreiecken? Aussagen hierüber machen die sogenannten Flächensätze in Rechtwinkligen Dreiecken. Für die Hypotenuse und die beiden Hypotenusenabschnitte (hier c, p und q) gilt p + q = c. Satz des PYTHAGORAS (PYTHAGORAS von Samos, ca v.chr.) In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten inhaltsgleich dem Quadrat über der Hypotenuse, hier a = + b c. Erster Satz des EUKLID oder Kathetensatz (EUKLID, ca v.chr.) In jedem Rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete inhaltsgleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem an der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt, hier a = p c und b = q c. Zweiter Satz des EUKLID oder Höhensatz In jedem Rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe inhaltsgleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten, hier Flächeninhaltsformel h = p q. In jedem Rechtwinkligen Dreieck ergibt sich der Flächeninhalt entweder aus Hypotenuse und Höhe (hier c und h) oder aber aus den Katheten (hier a und b) 1 1 A = c h= a b. Daraus ergibt sich die Höhe durch Katheten und Hypotenuse (hier h, a, b und c) a b h =. c Nach dem Satz des PYTHAGORAS in den rechtwinkligen Teildreiecken (ADC) bzw. (DBC) gilt weiter h = + p a und h = + q b. 011 Thomas Unkelbach Seite 1 von 1

41 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben * Aufgabe 1a Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 19,cm und 5,6cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchte Größe an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben * x: Länge der Hypotenuse in cm (P) 19, + 5,6 = x x 104 = 0 ; L = { 3 ; 3} Die Hypotenuse ist 3cm lang. 011 Thomas Unkelbach

42 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben * Aufgabe 1b Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 51,4cm und eine der Katheten 6,4cm lang. Wie lang ist die andere Kathete? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchte Größe an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben * x: Länge der anderen Kathete in cm (P) 6,4 + x = 51,4 x 601 = 0 ; L = { 51; 51} Die andere Kathete ist 51cm lang. 011 Thomas Unkelbach

43 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** Aufgabe a In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete,4mal so lang wie die andere. Die Länge der Hypotenuse beträgt 39cm. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** x: Länge der kürzeren Kathete in cm (P) (,4x) + x = 39 6,76x 151 = 0 ; L = { 15 ; 15} Die Katheten sind 15cm und 36cm lang. 011 Thomas Unkelbach

44 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** Aufgabe b 1 In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete 1 mal so lang wie die andere. Die Länge der Hypotenuse 3 beträgt 35cm. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** x: Länge der kürzeren Kathete in cm (P) (1 1 7 x) + x = 35 x 15 = 0 ; L = { 1 ; 1} 3 Die Katheten sind 1cm und 8cm lang Thomas Unkelbach

45 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** Aufgabe c In einem rechtwinkligen Dreieck mit einer 40cm langen Hypotenuse ist eine Kathete drei Mal so lang wie die andere. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** x: Länge der kürzeren Kathete in cm (P) (3x) + x = 40 10x 1600 = 0 ; L = { 4 10 ; 4 10} Die Katheten sind 4 10cm und 1 10cm lang. 011 Thomas Unkelbach

46 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** Aufgabe d In einem rechtwinkligen Dreieck mit einer 40cm langen Hypotenuse ist eine Kathete doppelt so lang wie die andere. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** x: Länge der kürzeren Kathete in cm (P) (x) + x = 40 5x 1600 = 0 ; L = { 8 5 ; 8 5} Die Katheten sind 8 5cm und 16 5cm lang. 011 Thomas Unkelbach

47 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** Aufgabe e Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 15:8, d.h. die Länge der längeren Kathete beträgt das 8 15 fache der Länge der größeren Kathete. Die Länge der Hypotenuse beträgt 18,7cm. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** x: Länge der kürzeren Kathete in cm (P) ( x) + x = 18,7 4 x 349,69 = 0 ; L = { 8,8 ; 8,8} 8 64 Die Katheten sind 8,8cm und 16,5cm lang. 011 Thomas Unkelbach

48 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** Aufgabe f Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 3:4, d.h. die Länge der kleineren Kathete beträgt das 3 fache der Länge der größeren Kathete. Die Länge der Hypotenuse beträgt 7,cm. Wie 4 lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** x: Länge der längeren Kathete in cm (P) ( 3 9 x) + x = 7, 1 x 51,84 = 0 ; L = { 5,76 ; 5,76} 4 16 Die Katheten sind 5,76cm und 4,3cm lang. 011 Thomas Unkelbach

49 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** Aufgabe 3a 13 In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete 0,5cm lang, die Länge der Hypotenuse beträgt das 1 fache der Länge der anderen Kathete. Wie lang sind die andere Kathete und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** x: Länge der anderen Kathete in cm 13 5 (P) 0,5 + x = ( x) x 40,5 = 0 ; L = { 49, ; 49,} Die andere Kathete ist 49,cm und die Hypotenuse 53,3cm lang. 011 Thomas Unkelbach

50 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** Aufgabe 3b 17 In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete 5,6cm lang. Die Länge der Hypotenuse beträgt das 15 fache der Länge der anderen Kathete. Wie lang sind die andere Kathete und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ** x: Länge der anderen Kathete in cm (P) 5,6 + x = ( x) x 31,36 = 0 ; L = { 10,5 ; 10,5} 15 5 Die andere Kathete ist 10,5cm und die Hypotenuse 11,9cm lang. 011 Thomas Unkelbach

51 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** Aufgabe 4a Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 3:4, d.h. die Länge der kleineren Kathete beträgt das 3 fache der Länge der größeren Kathete. Die größere Kathete ist um 4cm kürzer als die 4 Hypotenuse. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** x: Länge der größeren Kathete in cm (P) 3 7 x) + x = (x + 4) 9 x 8x 16 = 0 ; L = { 1 ;16} ( Die Katheten sind 16 cm und 1 cm und die Hypotenuse 0 cm lang. 011 Thomas Unkelbach

52 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** Aufgabe 4b Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 5:1, d.h. die Länge der kleineren Kathete beträgt das 15 fache der Länge der größeren Kathete. Die größere Kathete ist um cm kürzer als die Hypotenuse. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** x: Länge der größeren Kathete in cm (P) 5 4 x) + x = (x + ) 5 x 4x 4 = 0 ; L = { ; 4} ( Die Katheten sind 4 cm und 10 cm und die Hypotenuse 6 cm lang. 011 Thomas Unkelbach

53 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** Aufgabe 5a Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 9cm lang. Die Summe der Längen der Katheten beträgt 41cm. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** x: Länge einer der beiden Katheten in cm (P) x + (41 x) = 9 x 8x 840 = 0 ; L = {0 ; 1} Die Katheten sind 0 cm und 1 cm lang. 011 Thomas Unkelbach

54 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** Aufgabe 5b Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 34cm lang. Die Summe der Längen der Katheten beträgt 46cm. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** x: Länge einer der beiden Katheten in cm (P) x + (46 x) = 34 x 9x 960 = 0 ; L = {16 ; 30} Die Katheten sind 16 cm und 30 cm lang. 011 Thomas Unkelbach

55 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** Aufgabe 6a In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete um cm, die andere um 9cm kürzer als die Hypotenuse. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** x: Länge der Hypotenuse in cm (P) (x - ) + (x 9) = x x x + 85 = 0 ; L = {5 ; 17} Die Hypotenuse ist 17 cm und die Katheten 15 cm und 8 cm lang. 011 Thomas Unkelbach

56 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** Aufgabe 6b In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete um cm, die andere um 16cm kürzer als die Hypotenuse. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** x: Länge der Hypotenuse in cm (P) (x - ) + (x 16) = x x 36x + 60 = 0 ; L = {10 ; 6} Die Hypotenuse ist 6 cm und die Katheten 4 cm und 10 cm lang. 011 Thomas Unkelbach

57 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** Aufgabe 7a In einem rechtwinkligen Dreieck ist die größere Kathete um 1cm kürzer als die Hypotenuse und um 17cm länger als die kleinere Kathete. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** x: Länge der größeren Kathete in cm (P) x + (x 17) = (x + 1) x 36x + 88 = 0 ; L = {1 ; 4} Die Katheten sind 4 cm und 7 cm und die Hypotenuse 5 cm lang. 011 Thomas Unkelbach

58 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** Aufgabe 7b In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse um 9cm größer als die eine und um 8cm größer als die andere Kathete. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *** x: Länge der Hypotenuse in cm (P) (x - 9) + (x 8) = x x 34x = 0 ; L = {5 ; 9} Die Hypotenuse ist 9 cm und die Katheten 0 cm und 1 cm lang. 011 Thomas Unkelbach

59 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben * Aufgabe 8a Die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist 39cm und die Hypotenuse 89cm lang. Wie lang ist die andere Kathete? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchte Größe an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben * x: Länge der anderen Kathete in cm (P) 39 + x = 89 x 6400 = 0 ; L = { 80 ; 80} Die andere Kathete ist 80cm lang. 011 Thomas Unkelbach

60 Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben * Aufgabe 8b In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete 65cm und die Hypotenuse 97cm lang. Wie lang ist die andere Kathete? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchte Größe an. 011 Thomas Unkelbach Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben * x: Länge der anderen Kathete in cm (P) 65 + x = 97 x 5184 = 0 ; L = { 7 ; 7} Die andere Kathete ist 7cm lang. 011 Thomas Unkelbach

61 1 Name: Datum: Flächensätze - Textaufgaben - Klapptest 1 Falte zuerst das Blatt entlang Linie 1. Löse dann die Aufgaben. Falls du bei einzelnen Aufgaben keinen Ansatz gefunden hast, so falte das Blatt entlang Linie und arbeite mit der Hilfe weiter. Du erhältst für die Aufgabe einen halben Punkt. Kontrolliere anschließend die Ergebnisse und notiere die Anzahl der richtigen Aufgaben. 1) Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 19,cm und 5,6cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? ) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete,4mal so lang wie die andere. Die Länge der Hypotenuse beträgt 39cm. 3) In einem rechtwinkligen Dreieck mit einer 40cm langen Hypotenuse ist eine Kathete doppelt so lang wie die andere. 4) Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 3:4, d.h. die 3 Länge der kleineren Kathete beträgt das 4 fache der Länge der größeren Kathete. Die Länge der Hypotenuse beträgt 7,cm. 5) In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete 0,5cm lang. Die Hypotenuse und die andere Kathete verhalten sich wie 13:1, d.h. die Länge der Hypotenuse beträgt das 13 fache der Länge der anderen Kathete. 1 6) Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 3:4, d.h. die 3 Länge der kleineren Kathete beträgt das 4 fache der Länge der größeren Kathete. Die größere Kathete ist um 4cm kürzer als die Hypotenuse. 7) Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 9cm lang. Die Summe der Längen der Katheten beträgt 41cm. 8) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete um cm, die andere um 9cm kürzer als die Hypotenuse. 19, + 5,6 = x L = { 3;3 }. Die Hypotenuse hat die Länge 3cm. (,4x) + x = 39 L = { 15; 15 }. Die Katheten haben die Längen 15cm und 36cm. (x) + x = 40 L = { 8 5;8 5 }. Die Katheten 4 haben die Längen 8 5 cm und 16 5cm. + x L { 5,76;5,76 } ( 3 x) = 7, =. Die Katheten haben die Längen 5,76cm und 4,3cm x ( x) L { 49,;49, } 1 0,5 = x = (x L { 1 ;16 } 9 ( 3 x) + 4) =. Die andere Kathete hat die Längen 49,cm, die Hypotenuse die Länge 53,3cm. =. Die Katheten haben die Längen 1cm und 16cm, die Hypotenuse die Länge 0cm. x + (41 x) = 9 L = {0;1 }. Die Katheten haben die Längen 0cm und 1cm. (x -) + (x 9) = x L = {5;17 }. Die Hypotenuse hat die Länge 17cm, die Katheten haben die Längen 15cm und 8cm. 005 Thomas Unkelbach ; nach einer Idee von Maria Niehaves /9

62 1 Name: Datum: Flächensätze - Textaufgaben - Klapptest Falte zuerst das Blatt entlang Linie 1. Löse dann die Aufgaben. Falls du bei einzelnen Aufgaben keinen Ansatz gefunden hast, so falte das Blatt entlang Linie und arbeite mit der Hilfe weiter. Du erhältst für die Aufgabe einen halben Punkt. Kontrolliere anschließend die Ergebnisse und notiere die Anzahl der richtigen Aufgaben. 1) Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 51,4cm und eine der Katheten 6,4cm lang. Wie lang ist die andere Kathete? ) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete mal so lang wie die andere. Die Länge der Hypotenuse beträgt 35cm. 3) In einem rechtwinkligen Dreieck mit einer 40cm langen Hypotenuse ist eine Kathete dreimal so lang wie die andere. 4) Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 15:8, d.h. 15 die Länge der größeren Kathete beträgt das fache der Länge der kleineren Kathete. 8 Die Länge der Hypotenuse beträgt 18,7cm. 5) In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete 5,6cm lang. Die Hypotenuse und die andere Kathete verhalten sich wie 17:15, d.h. die Länge der Hypotenuse beträgt das 17 fache der Länge der anderen Kathete. 15 6) Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 5:1, d.h. 5 die Länge der kleineren Kathete beträgt das 1 fache der Länge der größeren Kathete. Die größere Kathete ist um cm kürzer als die Hypotenuse. 7) Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 34cm lang. Die Summe der Längen der Katheten beträgt 46cm. 8) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete um cm, die andere um 16cm kürzer als die Hypotenuse. 6,4 + x = 51,4 L = { 51;51 }. Die Kathete hat die Länge 51cm. (1 1 x) + x = 35 L = { 1;1 }. Die Katheten haben 3 die Längen 1cm und 8cm. (3x) = 8 + x 40 L { 4 10;4 10 } =. Die Katheten haben die Längen 4 10 cm und 1 10cm. + x L { 8,8;8,8 } ( 15 x) = 18, x ( x) L { 10,5;10,5 } 15 5,6 = 1 + x = (x L { 4 ;4 } 5 ( 5 x) + ) =. Die Katheten haben die Längen 8,8cm und 16,5cm. =. Die andere Kathete hat die Längen 10,5cm, die Hypotenuse die Länge 11,9cm. =. Die Katheten haben die Längen 10cm und 4cm, die Hypotenuse die Länge 6cm. x + (46 x) = 34 L = {16;30 }. Die Katheten haben die Längen 16cm und 30cm. (x - ) + (x 16) = x L = {10;6 }. Die Hypotenuse hat die Länge 6cm, die Katheten haben die Längen 4cm und 10cm. 005 Thomas Unkelbach ; nach einer Idee von Maria Niehaves /8