VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK

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1 VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK KLAUSUR 1, (1) Verwandle die folgenden Zahlen in Keilschrift bzw. in unsere Schreibweise: a) 14 b) 30 c) 100 d) 1 2 e) (2) a) Begründe, warum für kleine x die Näherungsformel 1 + x 1 + x 2 gilt. b) Benutze diese Formel, um Näherungen für 1, 04 und 4, 2 zu finden. c) Berechne eine Näherung für 50 und leite daraus eine Näherung für 2 her. d) Finde eine analoge Näherungsformel für 4 + x für kleine Werte von x. Von den beiden folgenden Tafeln ist nur eine Transkription anzufertigen; es soll aber von beiden Tafeln angegeben werden, um was für eine Tabelle es sich jeweils handelt.

2 2 KLAUSUR 1, (3) Untersuche die Tafel HS 222. Fertige eine Transkription an (alle Zeilen, mit Ausnahme des Zeichens ) sind in Keilschrift abzuschreiben) und ergänze die fehlenden Zahlen. Was bedeutet das Zeichen? Abbildung 1. HS 222

3 VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK 3 (4) Durch Betrachten der ersten beiden der drei Spalten auf der Tafel HS 224 kann man erraten, worum es hier gehen muss. Bestätige Deine Vermutung durch Berechnung der vollständigen Tafel (es sind also alle Zeilen der Tafel in Keilschrift nachzurechnen) und Vergleich mit dem Original. Abbildung 2. HS 224

4 4 KLAUSUR 1, (5) Gegeben ist ein Drachen mit Diagonalen der Länge e und f. Gib zwei verschiedene Beweise dafür, dass dessen Flächeninhalt durch F = e f 2 gegeben ist, indem Du a) die Flächen der vier Teildreiecke berechnest; b) den Drachen geschickt zu einem Rechteck mit Kantenlängen e und f verdoppelst. (6) a) Beweise den Kathetensatz, also die beiden Formeln a 2 = pc und b 2 = qc, durch mehrfache Anwendung des Satzes von Pythagoras. Hinweis: verwende den Satz des Pythagoras für die beiden Teildreiecke und eliminiere h. Addiere zu der resultierenden Gleichung den Satz des Pythagoras für das Gesamtdreieck und benutze p + q = c. b) Zeige, dass man durch Addition der beiden Formeln des Kathetensatzes den Satz des Pythagoras zurückerhält.

5 (7) Beweise nacheinander: VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK 5 a) In einem gleichschenkligen Dreieck ABC (mit AC = BC) sei E der Mittelpunkt von AB und D irgendein Punkt auf der Strecke AB. Zeige EB 2 = ED 2 + AD DB. Hinweis: setze x = BE und y = ED und berechne x 2 y 2. b) Zeige AD DB = BC 2 CD 2. Hinweis: Addiere EC 2 auf beiden Seiten und benutzen den Satz des Pythagoras.

6 6 KLAUSUR 1, Lösungen (1) Verwandle die folgenden Zahlen in Keilschrift bzw. in unsere Schreibweise: a) 14 b) 30 c) 100 d) 1 2 e) (2) a) Begründe, warum für kleine x die Näherungsformel 1 + x 1 + x 2 gilt. Es ist (1 + x 2 )2 = 1 + x + x2 x2, und für kleine x ist sehr klein, 4 4 sodass näherungsweise (1 + x 2 )2 1 + x und damit 1 + x x gilt. b) Benutze diese Formel, um Näherungen für 1, 04 und 4, 2 zu finden. 1, 04 = 1 + 0, , 02 = 1, 02. 4, 2 = 4 1, 05 = 2 1, 05 2(1 + 0, 025) = 2, 05. c) Berechne eine Näherung für 50 und leite daraus eine Näherung für 2 her. 50 = = (1 + 1 ) = , Um daraus eine Näherung für 2 zu erhalten, rechnet man = 2 25 = 5 2 und findet = d) Finde eine analoge Näherungsformel für 4 + x für kleine Werte von x. 1. Wenn x sehr klein ist, ist 4 + x 2. Wir machen also den Ansatz 4 + x = 2 + h und Quadrieren; dies ergibt 4 + x = 4 + 4h + h 2. Da h klein ist, darf man h 2 vernachlässigen und findet x 4h oder h = x 4. Also ist 4 + x 2 + x 4.

7 VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK 7 2. Es ist 4 + x = 4(1 + x 4 ) = x 4 2(1 + x 8 ) = 2 + x Die Tangente an das Schaubild von f(x) = 4 + x in x = 0 ist y = 1 4 x + 2. (3) Untersuche die Tafel HS 222. Fertige eine Transkription an (alle Zeilen, mit Ausnahme des Zeichens ) sind in Keilschrift abzuschreiben) und ergänze die fehlenden Zahlen. Was bedeutet das Zeichen? Dies war eine Multiplikationstabelle von 2, für die Zahlen von 1 bis 20, sowie 30, 40 und 50. Das Zeichen steht offenbar für unser mal. (4) Durch Betrachten der ersten beiden der drei Spalten auf der Tafel HS 224 kann man erraten, worum es hier gehen muss. Bestätige Deine Vermutung durch Berechnung der vollständigen Tafel (es sind also alle Zeilen der Tafel in Keilschrift nachzurechnen) und Vergleich mit dem Original. Hier handelt es sich um eine Tabelle der Quadratzahlen, wie oben von 1 bis 20, danach folgen die Quadrate von 30, 40 und 50. (5) Gegeben ist ein Drachen mit Diagonalen der Länge e und f. Gib zwei verschiedene Beweise dafür, dass dessen Flächeninhalt durch F = e f 2 gegeben ist, indem Du a) die Flächen der vier Teildreiecke berechnest; b) den Drachen geschickt zu einem Rechteck mit Kantenlängen e und f verdoppelst.

8 8 KLAUSUR 1, Offenbar haben die vier rechtwinkligen Teildreiecke die Flächen 1 wx, 1wx, 1wy und 1 wy, sodass sich F = 1 2 (wx + wx + wy + wy) = wx + wy = w(x + y) = ef 2 ergibt wegen w = f 2 und x + y = e. Alternativ kann man den Drachen un zwei Teildreiecke der Flächen 1fx und 1 fy zerlegen, woraus wieder 2 2 folgt. F = 1 2 fx fy = 1 2 f(x + y) = ef 2 b) Zeichnet man um den Drachen ein Rechteck, dann taucht jedes Teildreieck des Drachen im Rechteck doppelt auf. Also hat der Drachen die halbe Fläche des Rechtecks: F = 3f 2. (6) a) Beweise den Kathetensatz, also die beiden Formeln a 2 = pc und b 2 = qc, durch mehrfache Anwendung des Satzes von Pythagoras. Hinweis: verwende den Satz des Pythagoras für die beiden Teildreiecke und eliminiere h. Addiere zu der resultierenden Gleichung den Satz des Pythagoras für das Gesamtdreieck und benutze p + q = c. b) Zeige, dass man durch Addition der beiden Formeln des Kathetensatzes den Satz des Pythagoras zurückerhält. a) Es ist a 2 = p 2 + h 2 und b 2 = q 2 + h 2. Subtraktion der Gleichungen ergibt a 2 b 2 = p 2 q 2. Addition von a 2 + b 2 = c 2

9 ergibt VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK 9 2a 2 = p 2 q 2 + c 2 = (p q)(p + q) + c 2 = (p q)c + c 2 = (p q + c)c = (p q + p + q)c = 2pc. Division durch 2 liefert die Behauptung a 2 = pc. Die andere Behauptung folgt, indem man a und b vertauscht. Eine andere Variante beweist zuerst den Höhensatz: addiert man a 2 = p 2 +h 2 und b 2 = q 2 +h 2, so folgt a 2 +b 2 = p 2 +q 2 +2h 2. Nach Pythagoras ist a 2 + b 2 = c 2 = (p + q) 2 = p 2 + 2pq + q 2, und Einsetzen liefert 2pq = 2h 2, also den Höhensatz h 2 = pq. Jetzt folgt a 2 = h 2 + p 2 = pq + p 2 = p(p + q) = pc. b) Addition liefert a 2 + b 2 = pc + qc = (p + q)c = c 2. (7) Beweise nacheinander: a) In einem gleichschenkligen Dreieck ABC (mit AC = BC) sei E der Mittelpunkt von AB und D irgendein Punkt auf der Strecke AB. Zeige EB 2 = ED 2 + AD DB. Hinweis: setze x = BE und y = ED und berechne x 2 y 2. Es ist x 2 y 2 = (x y)(x+y) = (BE ED)(BE+ED) = BD(AE+ED = BD DB. b) Zeige AD DB = BC 2 CD 2. Hinweis: Addiere EC 2 auf beiden Seiten und benutzen den Satz des Pythagoras.

10 10 KLAUSUR 1, Addition von EC 2 zur obigen Gleichung liefert EB 2 + EC 2 = ED 2 + EC 2 + AD DB. Pythagoras liefert einerseits EB 2 + EC 2 = BC 2, andererseits ED 2 + EC 2 = V D 2. Einsetzen ergibt also die Behauptung. BC 2 = V D 2 + AD DB,