Tag der Mathematik 2008

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1 Tag der Mathematik 008 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mathematische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner sind nicht zugelassen. Aufgaben bitte nur auf den Aufgabenblättern bearbeiten und abgeben!

2 Aufgabe G (8 Punkte) y Ein regelmäßiges Sechseck (Seitenlänge ) liegt symmetrisch zu den Koordinatenachsen. Jeweils drei Ecken liegen auf zwei Parabeln, die symmetrisch zur x-achse sind. Bestimmen Sie die Gleichungen der Parabeln und berechnen Sie die Fläche des Gebietes, das innerhalb der Parabeln, aber außerhalb des Sechseckes liegt. x Die Ecken des Sechseckes haben die Koordinaten (0, ±) und ( ± 3, ± ). Die Parabeln haben die Form y = ax + b. Da die Ecken auf den Parabeln liegen, gilt y = 3 x + und y = 3 x. Die Nullstellen sind ± 6. Die Fläche zwischen den Parabeln ist: ( x 3 ) dx = 4 [x x3 9 ] 6 0 = Da das Sechseck die Fläche 6 3 hat, ist die gesuchte Fläche: 6 3 ( = 8 ) y ( 3, ) 6 x

3 Aufgabe G (8 Punkte) D C Gegeben ist ein Einheitsquadrat ABCD, der Halbkreis über AB (Mittelpunkt M) und die Tangente EC (Berührpunkt F ). Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks EM C. F Hinweis: Zeigen Sie, dass das Dreieck EM C rechtwinklig ist. E A M B Die Dreiecke MBC und MCF sowie EMF und AME sind kongruent (ssw). Wegen α + β = 80 gilt CME = 80 (α + β) = 90. Im rechtwinkligen Dreieck EM C gilt (Höhensatz): also EF = 4. (MF ) = EF F C D E β α α F β β C Also ist die Fläche von Dreieck EMC A M B entweder oder EC F M = ( + ) 4 = 5 6 ( EM MC = ) ( ) ( ) = 5 6

4 Aufgabe G3 (8 Punkte) Unter den Zahlen,, 3,..., gibt es welche, die nicht als Ziffer enthalten, und solche, die mindestens eine als Ziffer haben. Von welchem Typ gibt es mehr? Berechnen Sie, wie viele es von jeder Sorte gibt..möglichkeit Die Anzahl aller k-stelligen Zahlen, die keine enthalten, ist 8 9 k. Also gibt es von bis ( ) = 9 6 = Zahlen ohne und somit Zahlen mit mindestens einer Eins..Möglichkeit Die Anzahl aller Möglichkeiten, 6 Stellen mit den Ziffern 0,, 3,..., 9 zu besetzen, ist 9 6. Da (= 0) nicht zwischen und liegt, gibt es 9 6 = solche Zahlen. Also gibt es 0 6 (9 6 ) = Zahlen mit mindestens einer Eins.

5 Aufgabe G4 (8 Punkte) Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist der Umfang 60 und die zur Hypotenuse gehörende Höhe. b a Bestimmen Sie die Seitenlängen a, b und c des Dreiecks. c Es gilt: a + b + c = 60 a + b = c ab = c Aus (a + b) = a + b + ab folgt (60 c) = c + 4c, also c = 5. Aus den in a und b symmetrischen Gleichungen a + b = 35 und a b = 5 folgt a = 35 und a a 35a = 0, also a = (35 ± 5). Somit sind die gesuchten Seitenlängen 5, 0 und 5.

6 Aufgabe E (8 Punkte) Lili Marleen, die, 65 m groß ist, steht unter einer Laterne, die 8, 5 m über dem Boden hängt. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich die Spitze ihres Schattens, wenn sie sich mit 4 km /h geradlinig von der Laterne weg bewegt? Sei v km /h die Geschwindigkeit der Schattenspitze. Dann gilt (Strahlensatz!): 8, 5, 65 4 = 8, 5 v also v = 4 8, 5 8, 5, 65 = 5 (km /h), 65 (8, 5, 65) 4 v

7 Aufgabe E (8 Punkte) Gegeben sind die drei Funktionen: h(x) = x, g(x) = h(x) und f(x) = g(x). Berechnen Sie die Fläche des endlichen Gebietes zwischen der x-achse und der Funktion f. h(x) g(x) x 3 3 x f(x) x Die gesuchte Fläche ist 7.

8 Aufgabe E3 (8 Punkte) Es gilt log (xy 3 ) = und log (x y) =. Berechnen Sie log (x y). Aus log (x) + 3 log (y) = und log (x) + log (y) = folgt log (x) = 5 und log (y) = 5. Also log (x y) = log (x) + log (y) = 3 5.

9 Aufgabe E4 (8 Punkte) Die Seiten eines Dreiecks seien 6, 8 und x. Für welche Werte von x ist das Dreieck spitzwinklig? Für die beiden Grenzfälle: 6 x 6 x 8 8 gilt x = 8 6 = 7 und x = = 0. Also sind die Dreiecke spitzwinklig für: 8 < x < 0

10 Aufgabe H (3 Punkte) Ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck hat den Umfang 8. Berechnen Sie seinen Flächeninhalt. s s s Für das Dreieck mit den Katheten s gilt: s + s = 8 also Flächeninhalt: s = 8 (3 ) s = 8 ( + = 9 )

11 Aufgabe H (3 Punkte) Wie viele 5-stellige Zahlen gibt es, bei denen keine Ziffer 0 ist und keine Ziffer mehrfach vorkommt? Wie viele dieser Zahlen sind durch 5 teilbar? Die neun Ziffern (, ), 3,..., 9 ohne Wiederholung auf 5 Stellen zu verteilen, geht auf = 5! = 50 Arten. 5 Von diesen Zahlen sind nur diejenigen durch 5 teilbar, die auf 5 oder 75 enden. Also gibt es = 40 solche Zahlen.

12 Aufgabe H3 (3 Punkte) Wenn x + x = 5 ist, was ist dann x3 + x 3? Aus a 3 + b 3 = (a + b) 3 3ab (a + b) folgt mit a = x und b = x : x 3 + ( x = x + ) 3 3 x ( x + ) = = 0 3 x x x

13 Aufgabe H4 (3 Punkte) Eine Raute mit Seitenlänge 0 hat die Fläche 60. Wie lang sind die Diagonalen? Für die Diagonalen a und b mit a b gilt ( ( ) a b ) ab = 60 und + = 0 0 b 0 a Aus ab = 0 und a + b = 400 folgt: Entweder a 4 400a + 0 = 0 und somit a = 40 (5 ± 4), also ist a = 6 0 und b = 0. Oder (a ± b) = a + b ± ab = 400 ± 40 = 40 (0 ± 6), also a + b = 8 0 und a b = 4 0. Hieraus folgt a = 6 0 und b = 0.

14 Aufgabe H5 (3 Punkte) Gegeben ist die Zahlenfolge 4, 7,, 8, 9, 7, 6,... Für n > ist das n-te Glied die Einerziffer der Summe der beiden vorangegangenen Glieder. a) Welches ist das 008. Folgeglied? b) Sei S n die Summe der ersten n Glieder, z.b. S = =, S 5 = = 9. Für welches kleinste n ist S n > 008? a) Die Folge 4, 7,, 8, 9, 7, 6, 3, 9,,, 3, 4, 7,... ist periodisch mit der Periodenlänge. Wegen 008 = steht 8 an der 008. Stelle. b) Die Summe der ersten Glieder ist 60. Es gilt 008 = und < 8 < Also ist S n > 008 für n = 40.

15 Aufgabe H6 (3 Punkte) Das Alter von zwei Erwachsenen ergibt multipliziert 770. Wie groß ist die Summe? Wegen 770 = 5 7 sind nur und 35 als Erwachsenenalter ( 8) möglich; also ist die Summe 57.

16 Aufgabe H7 (3 Punkte) Auf wie viele Arten kann man 0 AC in Cent und 0 Cent Münzen wechseln, wenn beide Münzen vorkommen sollen?.möglichkeit Im Wechselgeld muss die 0 Cent Münze -mal, -mal, 3-mal,... oder 99-mal vorkommen. Also gibt es 99 Arten zu wechseln..möglichkeit Im Wechselgeld muss die Cent Münze 5-mal, 0-mal, 5-mal,... oder 495-mal vorkommen. Also gibt es 495 = 99 Arten zu wechseln. 5

17 Aufgabe H8 (3 Punkte) Die Felder eines Schachbretts haben jeweils eine Seitenlänge von. Berechnen Sie den Radius r des größten Kreises, der ganz auf dem Schachbrett liegt und kein einziges schwarzes Feld durchquert. r r = 3 + = 0