Aufgaben mit Lösungen zum Themengebiet: Geometrie bei rechtwinkligen Dreiecken

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1 Übungsaufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras: 1) Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? Verbessere, wenn notwendig! Die Katheten grenzen an den rechten Winkel. Die Hypotenuse liegt den rechten Winkel gegenüber. Die beiden Katheten können gleich lang sein. Bei einem rechtwinkligen Dreieck können alle Seiten gleich lang sein. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite. Die Summe der Hypotenusenabschnitte ergibt die Hypotenuse. 2) Kathetensatz Berechne die Länge der Dreiecksseiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Hypotenusenabschnitten a) p = 10 cm; q = 20 cm b) p = t; q = 3t 3) Satz des Pythagoras a) Bei einer Triangel handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck. Berechne Länge und Breite einer rechteckigen Schachtel, in die eine Triangel, deren Seiten 10 cm beträgt, hineinpasst. b) Gib die Länge der Diagonale eines Quadrats (Seitenlänge: 2a) in Abhängigkeit von a an. Wie verändert sich die Diagonale, wenn die Seitenlängen des Quadrats verdoppelt werden? 4) Satzgruppe des Satz des Pythagoras Berechne die fehlenden Größen für ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse c und trage diese anschließend in die Tabelle ein. Katheten Hypotenuse Hypotenusenabschnitte Höhe auf c Flächeninhalt a b c p q hc A a) 1,25dm 5cm b) 60cm 1,8m c) 3,4cm 0,08m d) 4,5cm 45mm

2 Lösungen: 1) Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? Verbessere, wenn notwendig! Die Katheten grenzen an den rechten Winkel. (richtig) Die Hypotenuse liegt den rechten Winkel gegenüber. (richtig) Die beiden Katheten können gleich lang sein. (richtig) Bei einem rechtwinkligen Dreieck können alle Seiten gleich lang sein. (falsch, das wäre ein gleichseitiges Dreieck mit 60 -Winkeln an allen Ecken) Die Hypotenuse ist immer die längste Seite. (richtig) Die Summe der Hypotenusenabschnitte ergibt die Hypotenuse. (richtig) 2) Kathetensatz a) p = 10 cm; q = 20 cm c = p + q = 30 cm a 2 = cp a = cp = 300cm = 17,32cm b 2 = cq b = cq = 600cm = 24,5cm b) p = t; q = 3t c = p + q = 4t a 2 = cp a = cp = 4t 2 = 2t b 2 = cq b = cq = 12t² = t 12 3) Satz des Pythagoras a) Breite b: b = 10cm Länge l: (5cm)² + l² = (10cm)²; l² = (10cm)² - (5cm)² = 5cm²; l = 8,66cm b) d² = (2a)²+(2a)² =2(2a)² d = 2(2a)² = 2 2a Wenn sich a verdoppelt, verdoppelt sich auch d. 4) Satzgruppe des Satz des Pythagoras Katheten Hypotenuse Hypotenusenabschnitte Höhe auf c Flächeninhalt a b c p q hc A a) 7,9cm 9,7cm 1,25dm 5cm 7,5cm 6,1cm 38,3cm² b) 5,7m 1,9m 6m 5,4m 60cm 1,8m 5,4m² c) 3,4cm 7,2cm 0,08m 1,4cm 6,6cm 3,1cm 12,2cm² d) 6,4cm 6,4cm 9cm 4,5cm 45mm 4,5cm 20,5cm²

3 Übungsaufgaben zur Trigonometrie: 1) Namen der Katheten Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? Die Ankathete von α ist gleichzeitig die Gegenkathete von β. Die Hypotenuse grenzt sowohl an die Ankathete von α als auch an die Ankathete von β. 2) Rechnen mit sin, cos und tan a) Berechne die fehlenden Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ABC und trage sie in die Tabelle ein. Katheten Hypotenuse Spitze Winkel a b c α β a) 48mm 42 b) 7,3cm 72 c) 37mm 28,2 d) 1,21dm 20,5 e) 1,9cm 3,5cm f) 33mm 5,7 b) Vereinfache: sin(α) sin(α) cos 2 (α) con 2 (α) + cos²(α) tan²(α) c) Berechne aus sin(α) = 0,6 die Werte für cos(α) und tan(α).

4 Lösungen 1) Namen der Katheten Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? Die Ankathete von α ist gleichzeitig die Gegenkathete von β. (richtig) Die Hypotenuse grenzt sowohl an die Ankathete von α als auch an die Ankathete von β. (richtig) 2) Rechnen mit sin, cos und tan a) Katheten Hypotenuse Spitze Winkel a b c α β a) 5,3cm 48mm 7,2cm b) 6,9cm 2,3cm 7,3cm c) 37mm 2,0cm 4,2cm 61,8 28,2 d) 1,21dm 4,5cm 12,9cm 65,5 20,5 e) 2,9cm 1,9cm 3,5cm 57,1 32,9 f) 3,3mm 32,8mm 33mm 5,7 84,3 b) Vereinfache: sin(α) sin(α) cos 2 (α) = sin (α) (1 cos²(α) sin²(α) cos²(α) = sin³(α) con 2 (α) + cos 2 (α) tan 2 (α) = cos 2 (α) + cos 2 (α) sin²(α) cos ²(α) = 1 c) sin(α) 2 + cos(α) 2 = 1 cos 2 (α) = 1 sin 2 (α) = cos(α) = 0,8 sin (α) tan(α) = cos (α) = 0,75

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