Mathematische Grundlagen der Vermessung

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1 Mathematische Grundlagen der Vermessung Univ.-Prof. Dr.-Ing. Monika Jarosch Universität Siegen Stand:

2 Mathematik Algebra Analysis Geometrie Arithmetik Diffentialrechnung Planimetrie Zahlentheorie Integralrechnung Trigonometrie Gruppentheorie Reihenlehre Stereometrie Mengenlehre Funktionentheorie analytische Geometrie Invariantentheorie Variationsrechnung nichteuklidische G. Differentielgeometrie Topologie Taschenrechner Geodreieck Zirkel 2

3 Inhaltsverzeichnis Mathematik - Algebra/Analysis/Geometrie Inhalt Anwendungen Literatur Maßeinheiten - Länge/Fläche/Volumen - Konstanten - Ebener Winkel: Grad, Gon, Bogenmaß - Drehsinn von Koordinatensystemen - Koordinatensystem: mathematisch und geodätisch - Ebener Winkel: Umrechnung Planimetrie = ebene Geometrie (griechisch: Flächenmessung) Figuren in einer Ebene wie Kreis, Dreieck, Vieleck, Kegelschnitte - beliebige und rechtwinklige Dreiecke - Lehrsätze - Darstellung der Lehrsätze - abgeleitete Größen - Flächenberechnungen im allg. Dreieck Trigonometrie (griechisch: Dreiecksmessung) Berechnung von Seiten, Winkel und Flächen von Dreiecken aus 3 bekannten Größen über trigonometrische Winkelfunktionen Grundlage: rechtwinklige Dreiecke, in die alle ebenen Dreiecke zerlegt werden können. Vektorrechnung - Rechtwinkliges Dreieck - Winkelfunktionen - Goniometrische Gleichungen - Dreieckstypen - schiefwinkliges Dreieck 3

4 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Vektoren Linearkombinationen Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt und ein praktisches Anwendungsbeispiel! 4

5 Anwendungen Seneca-Zitat: vor ca Jahren (Lucius Annäus Seneca, römischer Philosoph, Berater v. Nero) Lange ist der Weg durch Lehren... und wirksam durch Beispiele... und wozu dies alles? früher Brückenkurs heute Tutorium Vorbereitung und Begleitung des Studiums! 5

6 Literatur Schneider: Bautabellen für Ingenieure, 16. (aktuelle) Auflage, Werner-Verlag, Kahmen, Heribert: Vermessungskunde. De Gruyter Lehrbuch, 19. Auflage, Berlin, Torge, Wolfgang: Geodäsie. De Gruyter Lehrbuch, 2. Auflage, Berlin, (1. Auflage 1975) Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, (1979). (uralt... heute aktuellere Auflage!) 6

7 Maßeinheiten Länge 1 km = 1000 m 1 dm = 0,1 m = 10 cm 1 cm = 0,01 m 1 mm = 0,001 m m Fläche m 2 1 km 2 = 1000 m * 1000 m = 10 6 m 2 1 ha = 100 m * 100 m = 10 4 m 2 1 a = 10 m * 10 m = 10 2 m 2 Volumen m 3 1 Kubikmeter = 1m 3 = 10 6 cm 3 1 Liter = 1 l = 1 dm 3 1 gallon (brit) = 1 gal = 4,546 dm 3 1 gallon (usa) = 1 gal = 3,786 dm 3 7

8 Maßeinheiten Konstanten π = 3, gon / π = 63, gon (früher ρ rho in Gon) 180 o / π = 57, o (früher ρ rho in Grad) Lichtgeschwindigkeit: im Vakuum also ca: c V = m/s km/s 1 Seemeile = 1852 m 1 mile = 1 mi = 1609,344 m 1 yard = 1 yd = 3 ft = 0,9144 m 1 foot = 1 ft = 12 in = 0,3048 m 1 inch = Zoll oder in = 0,0254 m 1 8

9 Maßeinheiten Ebener Winkel 1 Vollkreis aus 4 rechten Winkeln Zählung rechtsläufig! (r 2 > r 1 ) α = r 2 -r 1 U S r α b Richtung r 1 zu P 1 Richtung r 2 zu P 2 Grad (Altgrad) Sexagesimalteilung: 4 * 90 o = 360 o 1 o = 60 ; 1 = 60 Gon (Neugrad) Dez. Gonteilung: 4*100 gon=400 gon 1 gon = 100 c ; 1 c = 100 cc ; 1 gon = 1000 mgon Bogenmaß dimensionslos * unabhängig von Kreisradius r * nur! abhängig von Größe des Winkels α b/r = const = Arc α = Bogenmaß von α b = r arcα Der Radiant ist derjenige Winkel, für den das Längenverhältnis Kreisbogen b zu Radius r den Zahlenwert 1 hat! Einheitenzeichen: rad (SI-Einheit) b/r = 1 rad Winkel rad[gon]: 1 rad=200gon/π 9

10 Maßeinheiten Ebener Winkel Beispiele 1 Vollkreis aus 4 rechten Winkeln Zählung rechtsläufig! (r 2 > r 1 ) α = r 2 -r 1 U S r α b Richtung r 1 zu P 1 Richtung r 2 zu P 2 Grad (Altgrad) Sexagesimalteilung: = 123, Gon (Neugrad) Dez. Gonteilung: 123, 4561 gon = 123 gon + 456,1 mgon = 123 gon + 45 c Neuminuten 61 cc Neusekunden 2 10

11 Maßeinheiten Drehsinn von Koordinatensystemen y Regel: x dreht über kürzeren Winkel nach y... links herum x 12 Uhr y x entgegen Uhrzeigersinn Achsbezeichnung Quadrantenzählung Dreifingerregel Daumen Ringfinger Spitze von Zeigefinger Betrachtung von oben 11

12 Maßeinheiten Koordinatensysteme II y 90 o 100 gon π/2 I Mathematisches System positiver Winkel entgegen Uhrzeigersinn 180 o 200 gon π III α 0 o 360 o x 0 gon 400 gon 0 2 π IV 270 o = 300 gon = 3π/2 Geodätisches System IV x 0 o 360 o I 0 gon 400 gon 0 2 π positiver Winkel im Uhrzeigersinn 270 o 300 gon α y 90 o 100 gon π/2 3π/2 III II 180 o = 200 gon = π 12

13 Maßeinheiten Koordinatensysteme Mathematisches System Geodätisches System x dreht über den kürzeren Winkel zu y... x dreht über den kürzeren Winkel zu y... entgegen dem Uhrzeigersinn linksrum Konventionelle Systembezeichnung: Linkssystem Entspricht: Schraube rausdrehen dh. z-achse zeigt ins Blatt hinein!!! (Mechanik) Systematische Systembezeichnung: Rechtssystem dh. z-achse zeigt aus Blatt heraus!!! im Uhrzeigersinn rechtsrum Konventionelle Systembezeichnung: Rechtssystem Entspricht: Schraube eindrehen dh. z-achse zeigt ins Blatt hinein!!! (Mechanik) Systematische Systembezeichnung: Linkssystem dh. z-achse zeigt aus Blatt heraus!!! y x x = Hochwert y = Rechtswert 13

14 Maßeinheiten Ebener Winkel Umrechnung: Grad-Gon-Bogenmaß (dimensionslos) mit U=2 πr folgt: U / 400 gon = 2 πr / 400 gon = U / 360 o = 2 πr / 360 o = b / α gon = b / α gon = b / α o b / α o umgestellt nach b/r folgt: b/r = const = Arc α = π / 200 gon * α gon = π / 180 o * α o speziell für r=1: Bogenmaß arc α = Länge des Kreisbogenstückes b! für beliebigen Radius gilt: arc α = b 1 /r 1 = b 2 /r 2 =... 1 Vollwinkel = 360 o... entsprechen 400 gon... entsprechen 2 π (in Einheit rad) 3 14

15 Planimetrie Beliebiges Dreieck Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180 o = 200 gon: α + β + γ = 180 o = 200 gon Rechtwinkliges Dreieck: γ = 90 o A b α C γ c a β B b γ C. h a A α p c q β B Katheten: a,b... schließen den rechten Winkel ein Hypotenuse: c... liegt dem rechten Winkel gegenüber Hypotenusenabschnitte: p,q... Projektion der Katheten auf Hyp. Höhe: h 15

16 Planimetrie Lehrsätze Satz des Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2 Kathetensatz (Euklid): b 2 = p * c und a 2 = q * c Höhensatz (Euklid): h 2 = p * q 1. und 2. Binomische Formel: (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a-b) 2 = a 2-2ab + b

17 Planimetrie Darstellung der Lehrsätze Satz des Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2 b 2 a 2 1. und 2. Binomische Formel: (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a-b) 2 = a 2-2ab + b 2 b a*b b2 b 2 a-b c 2 a 2 b a a 2 a*b a (a-b) 2 a-b a b a 17

18 Planimetrie Darstellung der Lehrsätze Satz des Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2 b 2 a 2 Beweis mit 1. Binomischer Formel: (a + b) 2 = a a 2 + 2ab + b 2 = b aus Zeichnung... c 2 + 4(ab/2) = c 2 + 2ab a b c 2 c 2 b a 5 a b 18

19 Planimetrie abgeleitete Größen Hypotenusenabschnitte: p = (b 2 -a 2 + c 2 )/(2c) q = (c 2 -b 2 + a 2 )/(2c) Kontrolle: p + q = c Höhe: h = (b 2 -p 2 ) 1/2 h = (a 2 -q 2 ) 1/2 19

20 Planimetrie Flächenberechnungen Quadrat: F = a 2 Rechteck: F = a * b Parallelogramm: F = a * h c d h b a Trapez: c F= h(a+c)/2 h a 20

21 Planimetrie Flächenberechnungen allgemeines Dreieck Heron sche Flächenformel: F= ( s(s-a)(s-b)(s-c) ) 1/2 mit s = (a+b+c)/2 Höhenformel: F= ( a * h a )/2 mit h a Höhe mit Fußpunkt auf Seite a F= ( b * h b )/2 mit h b Höhe mit Fußpunkt auf Seite b F= ( c * h c )/2 mit h c Höhe mit Fußpunkt auf Seite c 6 21

22 Trigonometrie Rechtwinkliges Dreieck: β = 90 o C b C b a a A α c. β c B B Wird ein Strahlenbüschel (Strahl A-B-B und Strahl A-C-C ) durch eine Parallelenschar (Linie B-C und Linie B -C ) geschnitten, so entstehen ähnliche Dreiecke. 22

23 Trigonometrie Ähnliche Dreiecke 2 Figuren sind ähnlich, wenn sie in der Form ihrer Fläche übereinstimmen! 2 Winkel Übereinstimmung im Verhältnis zweier Seiten u. eingeschl. Winkel. Übereinstimmung im Verhältnis zweier Seiten u. Gegenwinkel der größeren Seite. Übereinstimmung im Verhältnis der drei Seiten. 23

24 Trigonometrie Rechtwinkliges Dreieck: β = 90 o C b b Hypotenuse C a a Gegenkathete A α c Ankathete. β c B B In diesen Dreiecken ist das Verhältnis der Seiten zueinander gleich, nur von α (Winkel im Schnittpunkt des Strahlenbüschels) abhängig! und unabhängig vom Dreieck! für α: a/b = a /b =... = Gegenkathete/Hypotenuse c/b = c /b =... = Ankathete/Hypotenuse a/c = a /c =... = Gegenkathete/Ankathete 24

25 Trigonometrie Winkelfunktionen Definition: Für 0 < α < 90 o sin α := a/b = Gegenkathete/Hypotenuse cos α := c/b = Ankathete/Hypotenuse α tan α := a/c = Gegenkathete/Ankathete = sin α A/ cos α cot α := 1/ tan α = c/a = Ankathete/Gegenkathete b c C a. B Funktionswerte: α o gon sin α Merke! cos α /2 0 1 π/6 30 o 200/6 1/2 1/2 1 1/2 3 π/4 45 o 50 1/2 2 1/2 2 1/2 2 π/3 60 o 200/3 1/2 3 1/2 3 1/2 π/2 90 o /2 4 0 Periode: sin u. cos: Funktionsbild wiederholt sich nach 2π/ 360 o / 400 gon sin (x+2π ) = sin x und cos (x+2π ) = cos x tan u. cot: Funktionsbild wiederholt sich nach π/ 180 o / 200 gon 7 25

26 Trigonometrie Goniometrische Gleichungen (Goniometrie (Goniometrie = Trigonometrie, Trigonometrie, die die sich sich mit mit Winkelfunktionen Winkelfunktionen befaßt!) befaßt!) Trigonometrischer Pythagoras: b sin 2 α + cos 2 α = 1 Additionstheoreme: α c A C a. B sin (α+β) sin (α β) cos (α+β) cos (α β) = sin α cos β + cos α sin β = sin α cos β cos α sin β = cos α cos β sin α sin β = cos α cos β + sin α sin β tan (α+β) = (tan α + tan β)/(1 tan α tan β ) tan (α β) = (tan α tan β)/(1+ tan α tan β ) 26

27 Trigonometrie Goniometrische Gleichungen (Goniometrie (Goniometrie = Trigonometrie, Trigonometrie, die die sich sich mit mit Winkelfunktionen Winkelfunktionen befaßt!) befaßt!) hieraus folgt: A α b c C a. B sin 2α = 2 sin α cos α doppeltes Argument sin α = 2 sin α/2 cos α/2 cos 2α = 1 2 sin 2 α doppeltes Argument = cos 2 α sin 2 α = 2cos 2 α 1 tan 2α = 2 tan α / (1 tan 2 α) doppeltes Argument (analog: Formeln für halbes Argument und n-faches Argument) sin α + sin β sin α sin β cos α + cos β cos α cos β = 2 sin (α+β)/2 cos (α β)/2 = 2 cos (α+β)/2 sin (α β)/2 = 2 cos (α+β)/2 cos (α β)/2 = 2 sin (α+β)/2 sin (α β)/2 27

28 Trigonometrie Dreieckstypen rechtwinklig:. spitzwinklig: stumpfwinklig: gleichseitig: gleichschenklig: 28

29 Trigonometrie Schiefwinkliges Dreieck Sinussatz: a/b = sin α / sin β a/c = sin α / sin γ b/c = sin β / sin γ A α b γ a C Cosinussatz: c β a 2 =b 2 +c 2-2bc cosα b 2 =a 2 +c 2-2ac cos β c 2 =a 2 +b 2-2ab cosγ B bzw. cos α = (b 2 +c 2 - a 2 )/(2bc) cos β = (a 2 +c 2 - b 2 )/(2ac) cos γ = (a 2 +b 2 - c 2 )/(2ab) 8 29

30 Trigonometrie Schiefwinkliges Dreieck Projektionssatz: Berechnung einer Dreiecksseite (z.b. c), wenn die beiden anderen Dreiecksseiten (z.b. a und b) und ihre Gegenwinkel (z.b. α und β) gegeben sind. a = b cos γ + c cos β b = a cos γ + c cos α c = a cos β + b cos α b γ C A α a c β B 9 30

31 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Vektoren Linearkombinationen Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt und ein praktisches Anwendungsbeispiel! 31

32 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Vektoren allgemein Notation alternativ - v (fett) im weiteren verwendet! - v mit darüber - v mit ~ darunter 32

33 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Ortsvektor eines Punktes in der Ebene, aufgespannt durch die Einheitsvektoren e 1, e 2 - Einheitsvektoren e 1, e e 2 2 v = v 1 e 1 + v 2 e 2 - v = [v 1 v 2 ] e 1 e 1 e 2 e 1 v 1 v 2 e 2 33

34 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Ortsvektor eines Punktes im Raum, aufgespannt durch die Einheitsvektoren e 1, e 2, e 3 - Einheitsvektoren e 1, e 2, e 3 e 3 e 2 e 1 - v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 - v = [v 1 v 2 v 3 ] e 1 e 2 e 3 e 3 e 2 v 3 e 1 34

35 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Vektoren Linearkombinationen Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt und ein praktisches Anwendungsbeispiel! 35

36 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Linearkombination: Addition von Vektoren in der Ebene - a = a 1 e 1 + a 2 e 2 - b = b 1 e 1 + b 2 e 2 - a+b = [a 1 +b 1 a 2 +b 2 ] e 1 e 2 b a Parallel zu b e 2 e 1 36

37 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Linearkombination: Zahlenbeispiel für Addition von Vektoren in der Ebene - a = 1 e e 2 - b = 0 e e 2 - a+b = [1 1] e 1 b e 2 e 2 Parallel zu b e 1 a 37

38 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Linearkombination: Subtraktion von Vektoren in der Ebene - a = a 1 e 1 + a 2 e 2 - b = b 1 e 1 + b 2 e 2 - a-b = [a 1 -b 1 a 2 -b 2 ] e 1 e 2 e 2 b e 1 a Parallel zu b umgekehrte Richtung 38

39 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Linearkombination: Zahlenbeispiel für Subtraktion von Vektoren in der Ebene - a = 2 e e 2 - b = 1 e e 2 - a-b = [1 0] e 1 e 2 a e 2 b Parallel zu b umgekehrte Richtung e 1 39

40 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Linearkombination: Addition und Subtraktion von Vektoren im Raum analog - a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 - b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 - a+b = [a 1 +b 1 a 2 +b 2 a 3 +b 3 ] e 1 e 2 e 3 - a-b = [a 1 -b 1 a 2 -b 2 a 3 -b 3 ] e 1 e 2 e 3 40

41 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Vektoren Linearkombinationen Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt und ein praktisches Anwendungsbeispiel! 41

42 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Skalarprodukt - a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 - b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 - a * b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a b cosα mit α= eingeschlossener Winkel von a und b! v Betrag (Länge) des Vektors a Interpretation: = 0 : Vektoren stehen senkrecht! Verwendung zur Berechnung des eingeschlossenen Winkels zweier Vektoren! 42

43 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Vektoren Linearkombinationen Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt und ein praktisches Anwendungsbeispiel! 43

44 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Vektorprodukt - a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 - b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 - a b = (a 2 b 3 -a 3 b 2 ) e 1 + (a 3 b 1 -a 1 b 3 ) e 2 + (a 1 b 2 -a 2 b 1 ) e 3 mit ^ oder für Kennzeichnung der Operation Kreuzprodukt Interpretation: Das Vektorprodukt zweier Vektoren in einem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) auf der von a und b aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten a und b. 44

45 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Vektoren Linearkombinationen Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt und ein praktisches Anwendungsbeispiel! 45

46 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Spatprodukt - a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 - b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 - c = c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3 V = c (a b) Interpretation: Skalarprodukt eines Vektors mit dem Vektorprodukt zweier anderer Vektoren Wir erhalten einen Skalar, der auch Spatprodukt genannt wird. Der resultierende Skalar ergibt das Volumen des von den drei Vektoren gebildeten Parallelepipeds. 46

47 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie Vektoren Linearkombinationen Skalarprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt und ein praktisches Anwendungsbeispiel! 47

48 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie ein praktisches Anwendungsbeispiel! 1. Die Aufgabe Kiste Kiste2 Bestimme die Länge der Basis (rot) und ihre Komponenten in einem Koordinatensystem, welches durch die Lage von Kiste1 definiert ist! Weder das Zentrum von Kiste1 noch das von Kiste2 sind direkt zugänglich. Das Koordinatensystem ist in Kiste1 gelagert. Die Lösung soll für jede beliebige Lagerung von Kiste1 Gültigkeit besitzen. Für die Lösung verwendet werden sollen Beobachtungen mit einer Totalstation und elementare Vektorrechnung. 48

49 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie ein praktisches Anwendungsbeispiel! 2. Lösungskonzept 5 Kiste Kiste2 1 Instrumentensystem Definition eines übergeordneten Bezugssystems, von dem aus sowohl Kiste1 als auch Kiste2 sichtbar sind := Instrumentensystem Bestimmung der Koordinaten der Kiste1 und der Kiste2 mit einer Totalstation und geeigneten Reflektoren im Instrumentensystem Berechnung des Basisvektors im Instrumentensystem Transformation des Basisvektors in das System von Kiste1. 49

50 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie ein praktisches Anwendungsbeispiel! 3. Instrumentensystem 5 Kiste Kiste2 1 Instrumentensystem 50

51 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie ein praktisches Anwendungsbeispiel! 4. Messpunkte Kiste2 Oberfläche Kiste2 Grundriss: Kiste2 4 Reflektorstandpunkte Aufriss: z 2 Mal halbe Diagonale + Mittelung + z 51

52 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie ein praktisches Anwendungsbeispiel! 5. Kiste1 4 Grundriss: Kiste Aufriss: 5 ( oben ) 6 ( unten ) Kiste1 völlig beliebige Lage im Raum!

53 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie ein praktisches Anwendungsbeispiel! 6. Kiste1 Systemorientierung 5 Kiste1 1 2 Zentrum innerhalb über Konstruktionsbeschreibung eindeutig definiert, Jedoch nicht unmittelbar zugänglich! 4 Grundriss: Aufriss: 5 ( oben ) 6 ( unten ) 53

54 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie ein praktisches Anwendungsbeispiel! 7. Kiste1-Messpunkte 5 Achsen des Systems von Kiste1! Kiste1 1 2 Definition durch Koordinaten der Messpunkte in diesem System. 4 Grundriss: Aufriss: 5 ( oben ) 6 ( unten ) 54

55 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie ein praktisches Anwendungsbeispiel! 8. Klassifikation der Bestimmungsgrößen 5 Kiste1 1 2 Unterscheidung: Systemspezifische Komponenten (abh. von Einbau der Kiste1) Koordinaten von im System der Kiste1 Messgrößen (Koordinaten aus Messung mit Totalstation) Koordinaten von im Instrumentensystem Forderung: Systemspezifische Komponenten Messgrößen werden als Input angeboten 55

56 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie ein praktisches Anwendungsbeispiel! 9. Beurteilung der Bestimmungsgrößen 5 Kiste1 1 2 Wertung: Systemspezifische Komponenten *(Mess-)fehlerfrei* Messgrößen werden als Input angeboten *(Mess-)fehlerbehaftet* Instabile Definition des Systems!! 56

57 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie ein praktisches Anwendungsbeispiel! 10. Komposition der definierten Elemente: Berechnung des Basisvektors im Instrumentensystem 5 Kiste1 1 2 Basisvektor Instrumentensystem Ortsvektor der Projektion des Zentrums von Kiste1 auf Oberfläche Konstruierter Normalenvektor der Oberfläche von Kiste1 Ortsvektor des Diagonalenschnittpunkts der Messpunkte auf Kiste2 Konstruierter Normalenvektor der Fläche der Messpunkte auf Kiste1 57

58 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie ein praktisches Anwendungsbeispiel! 11. Transformation des Basisvektors vom Instrumentensystem in das System von Kiste1 5 Kiste1 1 2 Passpunkte: Systemspezifische Komponenten (abh. von Einbau der Kiste1) Koordinaten von im System Kiste1 Messgrößen (Koordinaten aus Messung mit Totalstation) Koordinaten von im Instrumentensystem 58

59 Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie ein praktisches Anwendungsbeispiel! 12. Kontrollkriterien 5 Kiste1 1 2 Realisierung der Oberfläche von Kiste1 Basisidentität bei simulierten (fehlerfreien) Messpunkten und hieraus vorgegebenen Koordinaten im Instrumentensystem (Demodaten) Genauigkeitsaussage bei realen (fehlerbehafteten) Messpunkten und hieraus ermittelten Koordinaten im Instrumentensystem 59