Prüfungsaufgaben zum Realschulabschluss - Flächenberechnung

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1 Prüfungsaufgaben zum Realschulabschluss - Flächenberechnung Die Giebelseite eines 4,8 m breiten Gebäudes soll verbrettert werden. Die Dachsparren auf der einen Seite sind 7 m, auf der anderen Seite m lang. Wie teuer wird das Material, wenn 5% für Verschnitt hinzugerechnet werden müssen und m² Bretter,30 kostet? Berechne die Fläche eines Grundstücks, das die Form eines unregelmäßigen Vierecks hat: a = 5 m; b = 40 m; c = 85 m; d = 65 m und a = 7,5 0. Fertige eine Planfigur an. In einem rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete 9 cm und die Hypotenuse 4 cm lang. In einem stumpfwinkligen Dreieck sind die Seite a = 0 cm, die Seite b = 5 cm und die Seite c = cm lang. a) Berechne jeweils den Flächeninhalt der beiden Dreiecke. b) Um wie viel Prozent ist die eine Fläche kleiner als die andere? In einem rechtwinkligen Dreieck sind gegeben: a = 30 cm, b = 40 cm, c = 50 cm. a) Berechne die Höhe h c = h ohne trigonometrische Hilfsmittel. b) Berechne die Höhe h c = h mit trigonometrischen Hilfsmitteln. Das Ausgangsdreieck wird durch h in ein größeres und ein kleineres rechtwinkliges Dreieck geteilt. In dem größeren davon teilt wiederum die Höhe h das Dreieck in ein größeres und ein kleineres rechtwinkliges Dreieck. In dem größeren davon teilt wiederum h 3... usw. c) Zeichne die Höhen h und h 3 in die Planfigur ein! d) Die Höhe h wird auf h, h auf h 3, h 3 auf h 4 usw. verkürzt. Berechne den konstanten Verkürzungsfaktor k und die Länge von h 3. Gegeben sei ein Parallelogramm mit a = 6, cm, b = 4,3 cm und e = 8, cm. a) Zeichne eine Planfigur. b) Berechne die Winkel des Parallelogramms. c) Berechne die Länge der fehlenden Diagonalen. d) Berechne den Flächeninhalt. e) Berechne ASB. S sei der Diagonalenschnittpunkt. Von einem Parallelogramm sind gegeben: a = 6, cm; b = 4,3 cm; e = 8, cm Berechne die fehlende Diagonale, die Winkel und den Flächeninhalt. Von dem allgemeinen Trapez ABCD sind folgende Stücke bekannt: a = 8,5 cm; α = 7,4 0 ; ß = 55 0 ; d = 5,3 cm a) Fertige eine Zeichnung an. b) Berechne alle fehlenden Seiten und Winkel sowie die Diagonalen und den Flächeninhalt. Seite

2 Die Diagonalen e und f eines Parallelogramms (e = 65 cm; f = 5 cm) schneiden sich unter einem Winkel von 3 0. Dieser Winkel liegt der Seite a gegenüber. a) Zeichne das Parallelogramm im Maßstab : 0. b) Berechne die Seiten a und b, die beiden Innenwinkel α und ß, die Höhe h a und den Flächeninhalt des Parallelogramms. Drei Kreise mit den Radien 3 cm, 4 cm und 5 cm berühren sich. a) Fertige eine genaue Zeichnung an. b) Welchen Flächeninhalt hat das von den drei Kreislinien begrenzte Kreisdreieck? Gegeben sind drei Kreise mit den Radien r = 3, cm, r =,3 cm und r 3 =,8 cm. Jeder Kreis berührt die beiden anderen von außen. Die Mittelpunkte bilden ein Dreieck. a) Zeichne eine Planfigur. b) Berechne die Innenwinkel des Dreiecks. c) Wie groß ist sein Flächeninhalt? d) Berechne den Anteil der Kreisfläche, die nicht im Dreieck liegt. Ein Grundstück hat die Form eines Parallelogramms. Die beiden Seiten sind 49 m und 7 m lang, die Diagonale e beträgt 60 m. a) Unter welchen Winkeln stehen die Seiten zueinander? b) Wie hoch liegt der Grundstückspreis, wenn für m² 70 veranschlagt werden? Berechne die fehlenden Winkel und die Diagonale f in einem Viereck, wenn AB = a = 856 m; BC = b = 735 m; CD = c = 000 m; DA = d = 97 m; BD = f = 796 m. Seite

3 en Die Giebelseite eines 4,8 m breiten Gebäudes soll verbrettert werden. Die Dachsparren auf der einen Seite sind 7 m, auf der anderen Seite m lang. Wie teuer wird das Material, wenn 5% für Verschnitt hinzugerechnet werden müssen und m² Bretter,30 kostet? Berechnung von α: ² = 7² + 4,8² 7 4,8 cosα ² 7² 4,8² cosα= ( ) 7 4,8 α 44,79 0 Berechnung der Fläche und der Kosten: A = b c sinα = 36,50[m²] Kosten = A,3,5 = 56,0 [ ] Für das Material müssen 56,0 ausgegeben werden. Seite 3

4 Berechne die Fläche eines Grundstücks, das die Form eines unregelmäßigen Vierecks hat: a = 5 m; b = 40 m; c = 85 m; d = 65 m und a = 7,5 0. Fertige eine Planfigur an. Berechnung von f: f² = a² + d² a d cosα f =,3 [m] Berechnung von γ: b² + c² f² cos γ= bc 0 γ= 4,38 Berechnung von A und A : a d sinα A = = 3874 [m²] b c sin γ A = = 856[m²] A ges = 435 [m²] Seite 4

5 In einem rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete 9 cm und die Hypotenuse 4 cm lang. In einem stumpfwinkligen Dreieck sind die Seite a = 0 cm, die Seite b = 5 cm und die Seite c = cm lang. c) Berechne jeweils den Flächeninhalt der beiden Dreiecke. d) Um wie viel Prozent ist die eine Fläche kleiner als die andere? : Fläche des rechtwinkligen Dreiecks: b² = c² - a² b = 0,738 [cm] a b A = 48,3 [cm²] Fläche des stumpfwinkligen Dreiecks: b² + c² a² cosα= bc 0 α= 6,05 A = bc sinα A 69, [cm²] Berechnung des Prozentsatzes: 48,3 p% = 0,698 69,8% 69, Der Unterschied beträgt ca. 30,%. Seite 5

6 In einem rechtwinkligen Dreieck sind gegeben: a = 30 cm, b = 40 cm, c = 50 cm. e) Berechne die Höhe h c = h ohne trigonometrische Hilfsmittel. f) Berechne die Höhe h c = h mit trigonometrischen Hilfsmitteln. Das Ausgangsdreieck wird durch h in ein größeres und ein kleineres rechtwinkliges Dreieck geteilt. In dem größeren davon teilt wiederum die Höhe h das Dreieck in ein größeres und ein kleineres rechtwinkliges Dreieck. In dem größeren davon teilt wiederum h 3... usw. g) Zeichne die Höhen h und h 3 in die Planfigur ein! h) Die Höhe h wird auf h, h auf h 3, h 3 auf h 4 usw. verkürzt. Berechne den konstanten Verkürzungsfaktor k und die Länge von h 3. : Gegeben: a = 30 cm; b = 40 cm; c = 50 cm a) Berechnung von p und h : a² = c p h ² = a² p² a² 30² p = = = 8 [cm] h = 4 [cm] c 50 b) Berechnung mit Hilfe trig. Hilfsmittel: a h sinα= cosα= c a 30 sinα= h = acosα α= 36,9 h = 30 cos36,9 4 [cm] c) s. Planfigur d) Berechnung des Verkürzungsfaktors: h h3 sinß = = =... h3 = h (sinß),64[cm] h h Verkürzungsfaktor k = sinß 0,8 Seite 6

7 Gegeben sei ein Parallelogramm mit a = 6, cm, b = 4,3 cm und e = 8, cm. f) Zeichne eine Planfigur. g) Berechne die Winkel des Parallelogramms. h) Berechne die Länge der fehlenden Diagonalen. i) Berechne den Flächeninhalt. j) Berechne ASB. S sei der Diagonalenschnittpunkt. a = c = AB = 6,cm; b = d = BC = 4,3cm;e = AC = 8,cm Berechnung von ß: a² + b² e² cosß = ab ß = 99,37 Berechnung von a: a = 80 0 ß = 80,63 0 Berechnung von f: f² = a² + b² a b cosα f = 6,95 [cm] Berechnung von A: A = a b sinß = 6,30 [cm²] Berechnung von ε: e f ( )² + ( )² a² cosε= e f ε= 0,78 Seite 7

8 Von einem Parallelogramm sind gegeben: a = 6, cm; b = 4,3 cm; e = 8, cm Berechne die fehlende Diagonale, die Winkel und den Flächeninhalt. : Berechnung von ß: 8,² = 6,² + 4,3² 6, 4,3 cosß 6,² + 4,3² 8,² cosß = 6, 4,3 ß = 99,37 α = 80 0 ß = 80,63 0 Berechnung von f: BD² = 6,² + 4,3² 6, 4,3 cosα BD = f = 6,95 [cm] Berechnung von h: h sinα= 4,3 h= 4,4 [cm] Berechnung der Fläche: A = a h A = 6,88 [cm²] Seite 8

9 Von dem allgemeinen Trapez ABCD sind folgende Stücke bekannt: a = 8,5 cm; α = 7,4 0 ; ß = 55 0 ; d = 5,3 cm c) Fertige eine Zeichnung an. d) Berechne alle fehlenden Seiten und Winkel sowie die Diagonalen und den Flächeninhalt. Gegeben: a = 8,5 cm; α = 7,4 0 ; ß = 55 0 ; d = 5,3 cm b) Berechnung der fehlenden Größen: b) Berechnung von f: f² = a² + d² a d cosα f 8,55 [cm] b) Berechnung von h: b3) Berechnung von b: h h sinα= sinß = d b h= d sinα h b = h= 5,05 [cm] sinß b 6,7 [cm] b4) Berechnung von γ: b5) Berechnung von δ : γ = 80 - ß = 5 δ = 80 α = 07,6 b6) Berechnung von e: e² = a² + b² a b cosß e 7,08 [cm] b7) Berechnung von a : b8) Berechnung von a : a² = d² h² a cosß = a,6 [cm] b a = 3,54 [cm] b9) Berechnung von c: b0) Berechnung von A: c = a a a = 3,37 [cm] a+ c A = h= 9,96 [cm²] Seite 9

10 Die Diagonalen e und f eines Parallelogramms (e = 65 cm; f = 5 cm) schneiden sich unter einem Winkel von 3 0. Dieser Winkel liegt der Seite a gegenüber. c) Zeichne das Parallelogramm im Maßstab : 0. d) Berechne die Seiten a und b, die beiden Innenwinkel α und ß, die Höhe h a und den Flächeninhalt des Parallelogramms. Gegeben: e = 65 cm; f = 5 cm; δ = 3 0 ; γ = δ = 57 0 b) Berechnung von b: b) Berechnung von a: e f e f b² = cos + γ b = 8,49 [cm] e f e f a² = cos + δ a = 5,5 [cm] b3) Berechnung von ß: b4) Berechnung von α: a² + b² e² α = 80 ß = 75 cosß = ab ß = 05 b5) Berechnung von h a : b6) Berechnung von A: ha A = a ha = 47 [cm²] sinα= b h = b sinα = 7,5 [cm] a Seite 0

11 Drei Kreise mit den Radien 3 cm, 4 cm und 5 cm berühren sich. c) Fertige eine genaue Zeichnung an. d) Welchen Flächeninhalt hat das von den drei Kreislinien begrenzte Kreisdreieck? (Zeichnung nicht im Maßstab) Gegeben: a = 9 cm; b = 8 cm; c = 7 cm b) b) Die Fläche Kreisdreieck ist gleich der Fläche des Dreiecks vermindert um die 3 Sektorflächen. c² + b² a² c² + a² b² cosα= cosß = bc ac α= 73,4 ß = 58,4 γ = 80 0 α ß = 48, 0 Dreiecksfläche: A = b c sinα = 6,83 [cm²] Kreisdreieck: α ß γ AK = AD πr 0 ² πr 0 ² π r 0 3² =,34 [cm²] Das Kreisdreieck hat einen Flächeninhalt von,34 cm². Seite

12 Gegeben sind drei Kreise mit den Radien r = 3, cm, r =,3 cm und r 3 =,8 cm. Jeder Kreis berührt die beiden anderen von außen. Die Mittelpunkte bilden ein Dreieck. e) Zeichne eine Planfigur. f) Berechne die Innenwinkel des Dreiecks. g) Wie groß ist sein Flächeninhalt? h) Berechne den Anteil der Kreisfläche, die nicht im Dreieck liegt. a) (Zeichnung nicht im Maßstab) Gegeben: a = r + r 3 = 4, cm; b = r + r 3 = 5 cm; c = r + r = 5,5 cm b) Berechnung der Innenwinkel: b² + c² a² cosα= bc α= 45,7 auf gleichem Weg: ß = 60,7 0 ; γ = 73,6 0 c) Berechnung der Fläche: A = a b sinγ = 9,84 [cm²] d) Berechnung der Kreisfläche, die nicht im Dreieck liegt: A = A A = π (r ² + r ² + r ²) 9,84 = 49, [cm²] Kr 3 Dreieck 3 49, cm² liegen nicht im Dreieck. Seite

13 Ein Grundstück hat die Form eines Parallelogramms. Die beiden Seiten sind 49 m und 7 m lang, die Diagonale e beträgt 60 m. c) Unter welchen Winkeln stehen die Seiten zueinander? d) Wie hoch liegt der Grundstückspreis, wenn für m² 70 veranschlagt werden? Gegeben: a = 49 m; b = 7 m; e = 60 m a) a) Berechnung von der Winkel: a² + b² e² cosß = ab ß = 00, α = 80 0 ß = 79,8 0 Die Seiten stehen unter den Winkeln 79,8 0 und 00, 0. b) b) Berechnung der Fläche: h sinα= A = g h d h = d sinα A = 30,09 [m²] h = 6,573 [m] Preis = A 70 = ,5 [ ] Der Grundstückspreis liegt bei ,5. Seite 3

14 Berechne die fehlenden Winkel und die Diagonale f in einem Viereck, wenn AB = a = 856 m; BC = b = 735 m; CD = c = 000 m; DA = d = 97 m; BD = f = 796 m. Gegeben: AB = a = 856 m; BC = b = 735 m; CD = c = 000 m; DA = d = 97 m; BD = f = 796 m... Berechnung von α: a² + d² f² cosα= ad 0 α= 53,.. Berechnung von δ : sinδ sinα = a f δ = 59, Berechnung von ß : ß = α - δ = 67, Berechnung von γ: f² = b² + c² b c cosγ γ= 5, Berechnung von δ : sinδ sin γ = b f 0 δ = 46, Berechnung von ß : ß = 80 0 γ δ = 8, Berechnung von f: f = a² + b² abcos(ß+ ß ) = 53,7 [m] en: α = 53, 0 ; ß = 48,7 0 ; γ = 5,9 0 ; δ = 06, Seite 4