Lösungen der Übungsaufgaben III

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1 Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben III C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim

2 6. Man konstruiere die Winkelhalbierende eines beliebigen Winkels analog zur Konstruktion des Lotes auf eine Gerade.. Kreis um S mit beliebigem Radius Schnittpunkte M und M.. Kreis um M bzw. M mit beliebigem Radius Schnittpunkt W. 3. Verbindungsgerade SW ist die Winkelhalbierende. 6. Man beweise den Satz: Über jeder Sehne S des Kreises ist der Zentrumswinkel β doppelt so groß wie der Peripheriewinkel α. Man leite daraus den Thalessatz als einen Spezialfall ab. [Hinweis: Mit einer Hilfslinie vom Zentrum zum Scheitel des Peripheriewinkels lassen sich zwei gleichschenklige Dreiecke erzeugen.] S β α Aus der Zeichnung liest man ab:. α = α + α. α + γ = π 3. α + δ = π, (α + α ) + (γ + δ ) = π. α + (γ + δ) = π 5. β + δ + γ = π δ + γ = π - β, in. eingesetzt α + π - β = π α = β. Der Thalessatz besagt: Der Umfangswinkel über einem Kreisdurchmesser beträgt 9. Dies ergibt sich aus obigem Ergebnis, falls man dort β = 8 setzt. (α = 8 α = 9 ) 6.3 Man stelle die Menge der Punkte eines Kreises um den Ursprung ( ) in kartesischen Koordinaten dar. Aus der Zeichnung liest man ab, dass für alle Kreispunkte P(x, y) gilt: K = {(x, y) x + y = r }

3 6. Man berechne mit dem Satz des Pythagoras die Höhe h des regelmäßigen (gleichseitigen) Dreiecks und das Verhältnis von Fläche A zu Umfang U. Aus der Zeichnung liest man ab: a 3 a h = a h = a h= 3 a a a A = 3 = 3 A a 3 a U = 3 a U = 3 a = Man berechne beim Quadrat und beim Hexagon das Verhältnis von Fläche A zu Umfang U. [Hinweis: Die Hexagonfläche ist die Fläche von sechs Dreiecken.] a) Quadrat: = = A = a = a A a, U a U a b) Hexagon: a 3 3 A 3 3 a a 3 A= 6 3 = a ; U = 6 a = = U 6a 6.6 Das Verhältnis von Diagonale d und Seite s im Pentagon d/s = ( + 5)/ bezeichnet man als stetige Teilung, weil d/s = s/(d s) gilt. Man beweise diese Formel. [Hinweis: Man zeige s = s' und h = d s. Dann verwende man den Strahlensatz und die Hilfslinie h.] Anmerkung: Die Diagonalen des Pentagons erzeugen ein verkleinertes Pentagon (mit der Diagonale h = d s und der Seitenlänge s d), für das wieder dasselbe Verhältnis vorliegt. s a/ C h d b a/ s' b a a - b Sei β : Mittelpunktswinkel und α : Umfangswinkel. β = 36 /5 = 7 Aus Aufgabe 6. folgt: α = β/ = 36 Da Δ ABD gleichschenklig: DAB = (8 - α)/ = 7 = β AFB = 8 - β - α = 8-3α = 7 = β Δ ABF gleichschenkelig s = s analog: Δ FBG gleichschenkelig h parallel zu ED

4 DFG = α Δ DFG gleichschenkelig DG = h d = s + h h = d s (A) Für Δ EBD gilt der Strahlensatz: d : s = s : h, mit (A) folgt die Behauptung: d : s = s : (d-s) 6.7 Zur stetigen Teilung der Strecke a errichtet man in einem Endpunkt das Lot und trägt darauf die Strecke a/ ab. Um deren Endpunkt C schlägt man einen Kreis mit dem Radius a/. Auf der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks verbleibt die restliche Länge b. Man zeige, dass durch diese Konstruktion b/a = ( + 5)/ und a/b = ( + 5)/ erzeugt wird. a a b+ = a + (Δ ABC) a 5 b + ab+ = a b a b + ab= a, b( b+ a) = a, = a b + a a b+ a a b a =, = +, = + b a b a b a b a Sei = x x= + x x = x = ( + 5 ), x = ( 5) b x b Analog = y = y+ y + y = y = ( + 5 ), y = ( 5) a y 6.8 Zur Berechnung der Kreisfläche kann man den Kreis wie eine Torte in n gleiche Stücke einteilen. Je mehr Tortenstücke man verwendet, umso genauer stimmt die Basis c eines Dreiecks mit dem zugehörigen Kreisbogen U/n und die Höhe h mit dem Kreisradius r überein. Wenn n über alle Grenzen wächst, ergibt sich die Kreisfläche aus n Dreiecksflächen hÿc/ zu nÿ r U n = ru = rÿπr = πr = A Kreis. r h c U/n r

5 Dieses Ausschöpfungs- oder Exhaustionsverfahren wurde schon von Archimedes benutzt, um die Zahl π zu berechnen. Er zeigte mit einem dem Kreis einbeschriebenen und einem dem Kreis umbeschriebenen 96-Eck, dass > π > Schätzen Sie die Fläche des Einheitskreises mit Hilfe eines einbeschriebenen und eines umbeschriebenen Hexagons ab. r einbeschriebenes Hexagon: Basis c = r, Höhe h = 3 AE 3 3 = r >,598 r (Aufg. 6.5) umschriebenes Hexagon: Höhe h = r, Basis c= r 3 AU = 3r < 3,65 r Einheitskreis: r = 3 3 A E =, A U = 3, also liegt π zwischen,598 und 3, Man drücke cos3ϕ analog zu Formel (7.7) im Buch und sin3ϕ analog zu Formel (7.6) im Buch als Funktionen des einfachen Winkels aus. [Hinweis: Man verwende cos3ϕ = cos(ϕ + ϕ) und sin3ϕ = sin(ϕ + ϕ).] cos(3ϕ) = cos(ϕ + ϕ) = cos(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) sin(ϕ) = [cos (ϕ) sin (ϕ)] cos(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ) = = cos 3 (ϕ) 3 sin (ϕ) cos(ϕ) andere Darstellung: = cos 3 (ϕ) 3 cos(ϕ) + 3 cos 3 (ϕ) = cos 3 (ϕ) 3 cos(ϕ) sin(3ϕ) = sin(ϕ + ϕ) = sin(ϕ) cos(ϕ) + cos(ϕ) sin(ϕ) = sin(ϕ) cos (ϕ) + [cos (ϕ) sin (ϕ)] sin(ϕ) = = 3 sin(ϕ) cos (ϕ) sin 3 (ϕ) andere Darstellung: = 3 sin(ϕ) sin 3 (ϕ) 7. Man zeichne die Graphen für tanϕ und cotϕ. Ø Buch, S Man zeige cosα = cos α cos(α) = cos (α) sin (α) = cos (α) [ cos (α)] = cos (α) 7. Man zeige cosα = sin α cos(α) = cos (α) sin (α) = sin (α) sin (α) = sin (α) 7.5 Man zeige sinα cosβ = [sin(α β) + sin(α + β)]/ [Hinweis: Man verwende Formel (7.) im Buch und die analoge Formel für sin(α β)]. [sin(α β) + sin(α + β)]/ = [sin(α) cos(β) sin(β) cos(α) + sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α)]/ = sin(α) cos(β)

6 7.6 Man zeige cosα cosβ = [cos(α β) + cos(α + β)]/ [Hinweis: Man verwende Formel (7.5) im Buch und die analoge Formel für cos(α β)]. [cos(α β) + cos(α + β)]/ = [cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) + cos(α)cos(β) sin(α)sin(β)]/ = cos(α) cos(β) 7.7 Man zeige sinα sinβ = [cos(α β) cos(α + β)]/ [Hinweis: Man verwende Formel (7.5) im Buch und die analoge Formel für cos(α β)]. [cos(α β) cos(α + β)]/ = [cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)]/ = sin(α) sin(β) 3 8. A = B = Berechnen Sie: C =. 3 3 A ( B C ) =. 3 = = ( A+ C) B = 3 = 3 = 6 ( A B) C = (3 ) = 8 3 A = 9+ + = A = A = A 6 ( A B) C = = A ( B C) = = A ( B C ) = = + = 6 8. Schreiben Sie die Strecken als Vektoren A, B, C, D. Berechnen Sie daraus L und L. y D 3 L C ϕ A 5 B x Zu Aufgabe 8., ϕ = π/.

7 5 A = B = C = 5+ D =, L = A + B + C + D = 3 5 +, L = Berechnen Sie den Winkel zwischen der Würfeldiagonale und der Seitendiagonale, a) die einen gemeinsamen Punkt besitzen, b) die keinen gemeinsamen Punkt besitzen. Die Größe des Würfels spielt keine Rolle, daher wählen wir den Einheitswürfel. a) Würfeldiagonale D = Seitendiagonale S = D S + + cos ϕ= = = D S ϕ = 35, 6 (die anderen Seiten- und Würfeldiagonalen, die einen gemeinsamen Eckpunkt haben, schließen denselben Winkel ein) b) Würfeldiagonale D = Seitendiagonale T = cos ϕ = ϕ= 9 (die anderen Seiten- und Würfeldiagonalen, die keinen gemeinsamen Eckpunkt haben, schließen denselben Winkel ein) 8. Berechnen Sie A, B, A, α, β. [Hinweis: Der Ursprung des Koordinatensystems wird zweckmäßig in die Ecke gelegt, die gemeinsamer Punkt von A und B ist.] B A α β Zu Aufgabe 8. Aufsicht, Seitenansicht. A = B = A = A B 9 cosα = = A B 7 α = 58,3 8.5 Dachfirst C = AC cos β = = A C 7 β = 9, Anstelle von C hätte man hier auch mit dem Einheitsvektor X rechnen können. a) Berechnen Sie die Vektoren A, B, C, D, die Längen der Kanten und die Winkel an der Spitze der Pyramide (Nullpunkt des Koordinatensystems). Die Spitze liegt 6 Einheiten höher als die Basis A, B, C, D der Pyramide. b) Legen Sie den Punkt B Einheiten tiefer und den Punkt D 3 Einheiten höher und berechnen Sie alles neu.

8 B C D 9 δ γ β α A Zu Aufgabe 8.5 Aufsicht a) A = 3 B = C = 6 D = A = 7 = 83,67 B = 6 = 6,89 C = 8 = 3,9 D = 8 = 9 A D 5 cosα = = A D 759,9 α = 78,5 A B 3 cos β = = A B 6 C B 66 cosγ = = C B 386,36 C D 5 cosδ = = C D 9353 AD = D A = = BC = C B = = 7, 5 β = 73, γ = 59,97 δ = 5,7 AB = B A = 3 = 3 DC = C D = 9 = b) A = 3 B = C = 6 D = A = 7 = 83,67 B = 89 = 37,8 C = 8 = 3,9 D = 5 = 73,8 α = 9,8 β = 68,5 γ = 56,9 δ = 6,87

9 AD = D A = =, 3 BC = C B = = 8, 7 AB = B A = 3 = 3,53 DC = C D = 9 = 9, 87 3 Zur Berechnung könnten auch alle Komponenten durch geteilt werden. Winkel bleiben dabei unverändert; die Längen ergeben sich in der Einheit Dekameter, wenn sie vorher in der Einheit Meter angegeben waren. 9. Welche der folgenden Vektortripel sind linear unabhängig? 3 a),, b),, c),, d), 3,. 3 3 a) α +β + γ =, mögliche Lösung α =, β = -,5, γ = -, d.h. die Vektoren sind linear abhängig. (oder Prüfung mit der Determinante, s. Abschnitt : = fl Die Vektoren sind linear abhängig.) b) linear abhängig: 5 = c) Das Gleichungssystem α + β = α + γ = α + β + γ = besitzt nur die Lösung α = β = γ = fl Die Vektoren sind linear unabhängig. d) Die Vektoren sind linear unabhängig Man berechne die Darstellung des Vektors 6 in der Basis,, = x + y + z 3, lineares Gleichungssystem 9 Die Lösung des Gleichungssystems ist die Darstellung des Vektors in der neuen Basis: y =. z 5

10 9.3 Man berechne die Projektion des Vektors auf die x-achse. analog zu Buch, S. 6: Projektion von B auf A: X =, B =, BB = (B X ) X = 9. Die Kanten eines Würfels liegen in den Achsen des kartesischen Koordinatensystems (im rein positiven Bereich). Man berechne die Einheitsvektoren der Würfeldiagonalen und die Projektionen des Vektors auf diese Diagonalen. Es gibt zu jeder Ecke eine Würfeldiagonale, von denen aber je zwei (z. B. A und -A) in eine der vier gezeichneten Strecken fallen: Wird jeder Diagonalenvektor in den Ursprung parallelverschoben, so finden wir: A =, B =, C =, D =, -A =, -B =, -C =, -D = Die Einheitsvektoren sind dann,,, sowie die dazu negativen Vektoren. Die Projektionen von sind nach Buch, S. 6 5 ( ), ( ) 3 3 = = 7 ( ) =, ( ) 3 = 3

11 Verwendet man die dazu negativen Diagonalenvektoren, so bleiben die Projektionen unverändert, denn (U (-V )) (-V ) = (U V ) V 9.5 Ein Quader besitzt die Seitenlängen 3, und. Man berechne den Einheitsvektor einer Raumdiagonale. Man berechne die Projektion der längsten Seite auf die Diagonale. 3 D =, D = 3 3, längste Seite, Projektion: Welchen Abstand besitzt die Gerade G = { P P = λ + 3 } vom Ursprung? Buch, S. 7, Abb. 9.3: gesucht ist N, Rechnung S. 7 A =, Β = 3 A B 5 λ N = = A A 7 nx =λ Na x+ bx = 7 ny = 7 nz = 7 N =,83 andere Möglichkeit mit Kreuzprodukt (Buch. S. 7 unten): 3,8 = 3 Welchen Abstand besitzt sie vom Punkt? 3, 88 = 3/ Welchen Abstand vom Ursprung besitzt die Ebene mit Normale N = durch den Punkt A = 3? /5 Buch, S. 73: N A = -7/5 Der Abstand ist in diesem Falle d = -N A = 7/5 9.8 Welche Achsenabschnitte besitzt die Ebene aus 9.7? [Hinweis: Den Achsenabschnitt der x-achse findet man, wenn man in der Hesseschen Normalform für Ebenen y = und z = setzt.]

12 3/5 Buch, S. 73: N P = /5 y = -7/5 z Achsenabschnitt p x der x-achse: 3/5 /5 p x = -7/5 p x = -7/3 3/5 Achsenabschnitt p y der y-achse: p y = -7/5 geht nicht die Ebene liegt parallel zur y-achse /5 Achsenabschnitt p z der z-achse: 3/5 /5 = -7/5 p z = -7/ p z 9.9 Bestimmen Sie die Gleichung und d für die Ebene durch A = senkrecht zu N =. [Hinweis: Nach (9.3) gilt für jeden Punkt P der Ebene (P A)ÿN =.] N A = = 3 d = 3 (P A)ÿN = y = z (x - )ÿ + (y - )ÿ + (z - )ÿ = x + y + z = 3 9. Bestimmen Sie Gleichung und d für die Ebene durch A = 7 3 senkrecht zu N =. N A = = 3 7 d = (P A)ÿN = y = z 7 (x - )ÿ3 + (z + 7)ÿ = 3x + z = Bestimmen Sie Gleichung und d für die Ebene durch A = senkrecht zu N =. 3 N A = 7 = 3 d = 7

13 (P A)ÿN = y = z 3 (x + )ÿ + (y - )ÿ + (z + )ÿ3 = x + y + 3z = E = { y x + y + z = 3 }, E = { y x = }, E 3 = { y x + y + z = }, z z z G = E E, G = E E 3. Welchen Winkel schließen die Geraden G und G ein? G besteht aus allen Punkten, die zu E und E gehören: x + y + z = 3 x = fl y + z = 3 fl z = 3 - y G besteht aus allen Punkten, die zu E und E 3 gehören: x + y + z = 3 x + y + z = fl x = fl z = - y G = { λ λ }, G = { λ λ } 3 λ λ Nun werden auf jeder der beiden Geraden zwei Punkte festgelegt, z. B. für λ = und λ =, und aus deren Differenz die (nicht normierten) Richtungsvektoren G und G der Geraden bestimmt. G = =, G = = 3 3 Das Skalarprodukt ergibt den Winkel zwischen den Geraden: G G + ( ) ( ) cos ϕ= = = ϕ= G G Die Geraden verlaufen parallel zu einander. Schneller geht es mit dem Kreuzprodukt. Dazu muss man wissen, dass ein Normalenvektor einer Ebene aus der Ebenengleichung entnommen werden kann. Schauen wir uns die drei vorhergehenden Aufgaben an, so sehen wir: Der Normalenvektor führt auf die Ebenengleichung x + y + z = 3 (wobei auch eine andere rechte Seite eine Ebene mit demselben Normalenvektor ergäbe) 3 der Normalenvektor führt auf die Ebenengleichung 3x + z = -8 und der Normalenvektor führt auf die Ebenengleichung x + y + 3z = -7. 3

14 Die linken Seiten der Gleichungen ergeben sich aus P ÿ N (analog zu (9.3) im Buch), so dass der Normalenvektor einer Ebene immer aus der linken Seite abgelesen werden kann. Schneiden sich nun zwei Ebenen, so muss der Schnitt senkrecht zu jedem der beiden Normalenvektoren stehen (da die resultierende Gerade zu jeder der beiden Ebenen gehört). Dies ist beim äußeren Produkt der Fall. Ein Richtungsvektor der resultierenden Gerade kann also aus dem Kreuzprodukt der Normalenvektoren der Ebenen, abgelesen aus den Ebenengleichungen, entnommen werden. Normalenvektoren zu E : N =, zu E : N =, zu E 3 : N 3 = Richtungsvektor G der Schnittgeraden G von E und E : G = N N = = Richtungsvektor G der Schnittgeraden G von E und E 3 : G = N N3 = = G und G sind parallel zueinander 9.3 E = { y z x + y + z = 3 }, E = { y z y = }, E 3 = { y z x z = }, G = E E, G = E E 3. Welchen Winkel schließen die Geraden G und G ein? G besteht aus allen Punkten, die zu E und E gehören: x + y + z = 3 y = fl x + z = 3 fl z = 3 - x G besteht aus allen Punkten, die zu E und E 3 gehören: y = x - z = fl z = x - λ λ G = { λ }, G = { λ } 3 λ λ Nun werden auf jeder der beiden Geraden zwei Punkte festgelegt, z. B. für λ = und λ =, und aus deren Differenz die (nicht normierten) Richtungsvektoren G und G der Geraden bestimmt. G = =, G = = 3 3 Das Skalarprodukt ergibt den Winkel zwischen den Geraden: G G + ( ) π cos ϕ= = = ϕ= = 9 G G

15 Richtungsvektor G' der Schnittgeraden G von E und E : G' = N Richtungsvektor G' der Schnittgeraden G von E und E 3 : G' = N Die Geraden stehen senkrecht zueinander. N = = N = = 3 9. E = { y x + y + z = 3 }, E = { y x + y = }, E 3 = { y x y = }, z z z G = E E, G = E E 3. Welchen Winkel schließen die Geraden G und G ein? G besteht aus allen Punkten, die zu E und E gehören: x + y + z = 3 x + y = fl y = - x, x beliebig fl z = G besteht aus allen Punkten, die zu E und E 3 gehören: x + y = x - y = fl x = 3, y = -, z beliebig λ 3 G = { λ λ }, G = { λ } λ Nun werden auf jeder der beiden Geraden zwei Punkte festgelegt, z. B. für λ = und, und aus deren Differenz die (nicht normierten) Richtungsvektoren G und G der Geraden bestimmt. 3 3 G = =, G = = Das Skalarprodukt ergibt den Winkel zwischen den Geraden: G G π cos ϕ= = ϕ= = 9 G G Kürzer geht es mit dem Kreuzprodukt: Richtungsvektor G' der Schnittgeraden G von E und E : G' = N N = = Richtungsvektor G' der Schnittgeraden G von E und E 3 : G' = N N3 = = Das Skalarprodukt zeigt, dass die beiden Gerade G und G senkrecht zueinander stehen.

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