Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $

Transkript

1 $Id: dreieck.tex,v /04/ 0:37:01 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck In der letzten Sitzung hatten wir den sogenannten Inkreis eines Dreiecks eingeführt, dies ist der Kreis dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist und dessen Radius der gemeinsame bstand dieses Punktes zu den drei Seiten des Dreiecks ist. Wir wollen den Inkreisradius r explizit in Termen der drei Seitenlängen a, b, c berechnen und hierzu wird zunächst einmal die Fläche F des Dreiecks als Funktion von a, b, c bestimmt. Wie die Fläche mit dem Inkreisradius zusammenhängt werden wir uns dann im nächsten Schritt überlegen. ei der erechnung der Fläche hatten wir bereits das Ergebnis F = 4a b (a + b c ). 16 erhalten, und schreiben wir diese Formel noch etwas um so ergibt sich: Satz 1.15 (Heronsche Flächenformel) Sei ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c. Weiter bezeichne s := (a + b + c)/ den halben Umfang des Dreiecks und F seine Fläche. Dann gilt die Heronsche Flächenformel F = 1 4 (a + b + c)(a + b c)(a + c b)(b + c a) = s(s a)(s b)(s c). eweis: Wir setzen die obige Rechnung fort und erhalten F = (ab) (a + b c ) 16 = 1 16 (ab (a + b c ))(ab + (a + b c )) = 1 16 (c (a b) )((a + b) c ) = 1 (a + b c)(a + c b)(a + b c)(a + b + c), 16 also eachten wir noch so ergibt sich auch F = 1 4 (a + b + c)(a + b c)(a + c b)(b + c a). s a = b + c a, s b = a + c b F = s(s a)(s b)(s c). 5-1 und s c = a + b c,

2 Damit ist die Heronsche Flächenformel bewiesen. Den Zusammenhang zwischen Fläche F und Inkreisradius r eines Dreiecks = können wir der folgenden Skizze entnehmen: r r S w r Der Inkreisradius r war der gemeinsame bstand von S w zu den drei Ecken des Dreiecks, fällen wir also von S w aus Lote auf die drei Seiten, so haben die entstehenden Lotfußpunkte jeweils den bstand r von S w. Hierdurch wird das Dreieck in drei Teildreiecke zerlegt, die jeweils S w und zwei der drei Ecken von als ihre Ecken haben. Weiter tritt der Inkreisradius r in jedem dieser Dreiecke als Höhe auf einer der drei Seiten von auf. Damit wird die Fläche F von zur Summe der drei Flächen dieser Teildreiecke, und diese eobachtung liefert uns einen Zusammenhang zwischen r und F. Korollar 1.16 (erechnung des Inkreisradius) Sei ein Dreieck mit Seiten a, b, c, Fläche F, Inkreisradius r und halbem Umfang s := (a + b + c)/. Dann gelten (s a)(s b)(s c) F = rs und r =. s eweis: Sei = und bezeichne S w den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von. Dann zerlegen wir in die drei Dreiecke S w, S w und S w. In jedem dieser Dreieck ist die Höhe durch S w gleich dem Lot von S w auf die entsprechende Seite von, die Länge dieser Höhe ist also der gemeinsame bstand r von S w zu diesen drei Seiten. Es folgt F = 1 ar + 1 br + 1 cr = r a + b + c = rs. 5-

3 Mit der Heronschen Flächenformel Satz 15 ergibt sich weiter r = F s = 1 s (s a)(s b)(s c) s(s a)(s b)(s c) =. s In der obigen Figur lassen sich auch die bstände der Ecken von zu den drei Lotfußpunkten berechnen, dies wird in ufgabe (11.a) durchgeführt, beispielsweise hat die Ecke zu den beiden angrenzenden Lotfußpunkten jeweis den bstand s a. Dadurch ist insbesondere auch die Lage von S w berechnet, man muss erst die Strecke s a auf zurücklegen und dann senkrecht auf in Richtung von die Strecke r abtragen. Die entstehende Formel wird besonders übersichtlich wenn man sie wie in ufgabe (11.b) in Termen der Vektorraumstruktur des R formuliert. α t 1 s t r t 3 s Drei gleich große Kreise Gierige Methode evor wir uns dem nächsten der speziellen Punkte zuwenden, wollen wir noch eine kleine eispielaufgabe behandeln. Eine klassische Konstruktionsaufgabe ist es in einem gegebenen Dreieck drei Kreise zu finden die alle das Dreieck und die beiden anderen Kreise berühren. Dieses Problem wurde schon 1690 von Jakob ernoulli behandelt und letztlich 1803 von Malfattis gelöst. Malfattis behauptete weiter das diese drei Kreise den größtmöglichen Flächeninhalt ausfüllen die drei sich nicht schneidende Kreise innerhalb des Dreiecks einnehmen können. Dies wurde dann letztlich 1994 von Zalgaller widerlegt, und wir wollen uns diese Widerlegung im Fall eines gleichseitigen Dreiecks der Kantenlänge Eins einmal anschauen. Sei also ein solches Dreieck, also a = b = c = 1 und α = β = γ = π/3 in den Standardbezeichnungen. Der halbe Umfang ist dann 3/, die Fläche von ist F = 3/16 = 3/4 und der Inkreisradius ist r = F/s = 1/( 3) = 3/6. Zunächst betrachten wir die von Malfattis vorgeschlagenen Kreise, in diesem Fall haben diese alle denselben Radius s > 0, und wir wollen diesen Radius erst einmal berechnen. Hierzu zerlegen wir wie oben gezeigt eine der Dreiecksseiten in drei Teile t 1, t, t 3. Dann ist t 1 +t +t 3 = 1. Das mittlere Drittel hat die Länge zweier Kreisradien also t = s. Weiter sind das obere und das untere Drittel gleich, also t 1 = t 3. Um 5-3

4 schließlich t 1 zu berechnen, schauen wir uns das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck an. In diesem ist der obere Winkel der halbe Dreieckswinkel also π/6, und es ergibt sich 1 3 = tan π 6 = s t 1, d.h. t 1 = 3 s. Insgesamt ist damit 1 = t 1 + t + t 3 = (1 + 3)s und dies bedeutet s = und die von den Kreisen überdeckte Fläche ist 1 (1 + 3 = F 1 = 3πs = 3π = 3 8 π( 3) Nun kommen wir zu Zalgallers Methode, hier gehen wir nach eine sogenannten Greedy lgorithmus vor. ei diesem wird zunächst der größtmögliche in liegende Kreis genommen, also der Inkreis mit dem obigen Radius r = 3/6. ls zweiten Kreis nehmen wir dann einen größtmöglichen Kreis der noch in den vom Inkreis gelassenen Rest von passt und als dritten Kreis schließlich wieder den größtmöglichen Kreis außerhalb der ersten beiden Kreise. Der zweite und dritte Kreis haben dann beide denselben Radius s > 0, den wir nun bestimmen möchten. Nach ufgabe (9.a) ist S w auch der Schwerpunkt von und insbesondere teilt S w diese Seitenhalbierende nach Satz 1 im Verhältnis : 1. Nach dem Strahlensatz hat das abgetrennte gleichseitige Dreieck rechts unten die Kantenlänge a = 1/3, und da unser zweiter Kreis der Inkreis dieses Dreiecks ist, ist somit s = 1 3 r = Die von den drei Kreisen überdeckte Fläche ist damit F = πr + πs = 11 9 πr = π , also ist tatsächlich F > F 1. Damit kommen wir nun zum Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, die Existenz dieses Schnittpunkts ist dabei analog zum Fall der Winkelhalbierenden. Erinnern Sie sich dazu daran, dass die Mittelsenkrechte zweier Punkte, genau aus denjenigen Punkten X besteht die zu und denselben bstand haben, für die also X = X gilt. Satz 1.17 (Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) Sei = ein Dreieck. Dann schneiden sich die drei Mittelsenkrechten von in einem Punkt S u und dieser ist der eindeutige Punkt der von allen drei Ecken des Dreiecks denselben bstand hat. 5-4

5 eweis: Sei S der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf und auf. Dann gelten S = S und S = S, also auch S = S und S liegt auch auf der Mittelsenkrechten auf. Da der Schnittpunkt S u von allen drei Ecken denselben bstand R := S u = S u = S u geht der Kreis mit Radius R und Mittelpunkt S u durch alle drei Ecken des Dreiecks =, und da S u der einzige Punkt ist der von allen drei Ecken gleich weit entfernt ist, ist dieser Kreis auch der einzige Kreis der durch,, geht. Man nennt den Kreis durch die Ecken von auch den Umkreis von und der Schnittpunkt S u ist daher der Mittelpunkt des Umkreises. Der Radius R des Umkreises heißt dann der Umkreisradius von. φ ρ R Su R S u γ R c/ ρ ψ φ ψ Der Umkreis von estimmung des Umkreisradius Wir wollen jetzt den Radius R des Umkreises berechnen, und dies geschieht durch etrachtung der oben rechts gezeigten Figur. Satz 1.18 (estimmung des Umkreisradius) Sei = ein Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ gemäß den Standardbezeichnungen. Weiter bezeichne F die Fläche von und R den Umkreisradius von. Dann gilt R = a sin α = b sin β = c sin γ = abc 4F. eweis: Ziehe von S u aus die Verbindungen mit den drei Ecken,, von. Dann ist das Dreick S u in S u gleichschenklig, also sind die Winkel dieses Dreiecks in den Ecken und nach ufgabe (9.a) gleich, und wir nennen diesen Winkel ψ. nalog 5-5

6 sind auch die Winkel von S u in und gleich einem Winkel ϱ und die Winkel von S u in und gleich einem Winkel φ. Da der Winkel α von in in φ und ψ zerlegt wird, haben wir α = φ + ψ und analog β = ψ + ϱ, γ = ϱ + φ. Damit haben wir ein lineares Gleichungssystem für die drei Winkel φ, ψ, ϱ, mit der Lösung α β γ α β γ α α β 0 0 β + γ α, also ϱ = β + γ α = π α, ψ = β ϱ = α+β π = π γ, φ = α ψ = α+γ π = π β. Weiter bezeichne den Mittelpunkt der Streck und betrachte das rechtwinklige Dreieck S u. Der Winkel in diesem Dreieck bei S u ist π ψ = γ, und bezüglich dieses Winkels haben wir die Gegenkathete c/ und die Hypothenuse R, also gilt 1 sin γ = c und somit R = c R sin γ. nalog sind dann auch R = a/( sin α) = b/( sin β). Weiter ergibt sich F = 1 abc abc ab sin γ =, d.h. R = 4R 4F. Schreiben wir diese Gleichung etwas um, so wird sin α a = sin β b = sin γ c = 1 R, das gemeinsame Verhältnis vom Sinus jedes Winkels zu seiner gegenüberliegenden Seite aus dem Sinussatz ist also gleich dem Kehrwert des doppelten Umkreisradius. Schauen wir uns ein explizites eispiel an und betrachten das Dreieck mit den Seiten a =, b = 3, c = 4. Dann sind s = = 9, s a = 5, s b = 3 und s c = 1 5-6

7 also wird die Fläche von F nach der Heronschen Flächenformel Satz 15 zu F = 135 s(s a)(s b)(s c) = 16 = 3 15, 4 der Inkreisradius ist nach Korollar 16 r = F s = und der Umkreisradius ist schließlich nach Satz 18 R = abc 4F = 8 15 = Wir haben jetzt drei unserer speziellen Punkte behandelt, es steht nur noch der Schnittpunkt der Höhen aus. Tatsächlich folgt die Existenz dieses Schnittpunkts aus der Existenz des Schnittpunkts der Mittelsenkrechten angewandt in einem geeigneten Hilfsdreieck. Sei = ein Dreieck und betrachte das bei der ehandlung der Seitenhalbierenden eingeführte Mittendreieck, also das Dreieck = das von den drei Seitenmittelpunkten gebildet wird. Wir wollen uns überlegen was die Höhen in sind, schauen wir uns etwa die Höhe h c auf der Seite von an. Nach Lemma 11 ist parallel zur Seite von, und da h c senkrecht auf steht, ist h c auch senkrecht auf. Nun geht h c durch den Seitenmittelpunkt von, d.h. h c ist die Mittelsenkrechte von auf. nalog kann man für die beiden anderen Höhen schließen, d.h. die Höhen des Mittendreiecks sind genau die Mittelsenkrechten von. Damit schneiden sich die Höhen von nach Satz 17 im Umkreismittelpunkt von. * c hc * b a * Höhe im Mittendreieck Konstruktion von In einem Mittendreieck schneiden sich die Höhen somit immer in einem Punkt, um also zu zeigen das dies in einem allgemeinen Dreieck = ebenfalls gilt, reicht es einzusehen das das Mittendreieck eines geeigneten vergrößerten Dreiecks ist. Um dieses zu konstruieren, ziehen wir die Parallele a zu durch, die Parallele b zu durch b und schließlich die Parallele c zu durch. Damit definieren wir dann als 5-7

8 Schnittpunkt von b und c, als den Schnittpunkt von a und c und letztlich als den Schnittpunkt von a und b. Diese Konstruktion liefert uns das Dreieck = und wir behaupten das das Mittendreieck von ist. Überlegen wir uns einmal das der Seitenmittelpunkt von ist. Nach Konstruktion sind = c und, = b und sowie = = a und jeweils parallel zueinander, wir haben also zwei Parallelogramme und. Erinnern wir uns jetzt daran, dass in einem Parallelogram gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, so ergibt sich = = = und dies bedeutet tatsächlich das der Mittelpunkt von ist. nalog sind der Mittelpunkt von und der Mittelpunkt von, d.h. = ist tatsächlich das Mittendreieck von =. γ D β α β γ α Die dabei verwendete Tatsache über Parallelogramme ist dabei anschaulich klar, formal kann man sie beispielsweise aus dem Kongruenzsatz SWW für Dreiecke gewinnen. Geben wir uns etwa ein Parallelogram D wie oben vor, so zerlegen wir dieses durch die Strecke D in zwei Dreiecke D und D. Sind dann β der Winkel bei in D und γ der Winkel bei D in D, so folgt mit dem Stufenwinkelsatz wegen D das der Winkel in D bei D auch β ist und ebenso folgt mit D das der Winkel in D bei gleich γ ist. Nach Satz 9 sind die beiden Dreiecke D und D damit kongruent, also sind auch D = und = D wie behauptet. Satz 1.19 (Der Schnittpunkt der Höhen) Sei ein Dreieck. Dann schneiden sich die drei Höhen von in einem Punkt S h. eweis: Wir haben gerade gezeigt das es ein Dreieck mit Mittendreieck gibt und damit sind die Höhen von die Mittelsenkrechten von, schneiden sich also nach 5-8

9 Satz 17 in einem Punkt. 5-9