Mathematische Probleme, SS 2019 Montag 6.5. $Id: dreieck.tex,v /05/07 10:51:36 hk Exp $

Transkript

1 $Id: dreieck.tex,v /05/07 10:51:36 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.7 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen, dass sich die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks stets in einem Punkt S w schneiden und dieser ist der eindeutige Punkt innerhalb des Dreiecks der von allen drei Seiten denselben bstand hat. Dieser gemeinsame bstand ist dann der Inkreisradius des betrachteten Dreiecks. Der Inkreisradius r ist eine weitere numerische Invariante des Dreiecks zusätzlich zu den drei Seiten a, b, c und den drei Winkeln α, β, γ, und wir wollen die Zahl r nun in Termen der drei Seiten berechnen. Es stellt sich als technisch geschickt heraus hierzu eine weitere Größe zu betrachten nämlich die Fläche F unseres Dreiecks. ezeichnen wir die Höhen auf den drei Seiten a, b, c wie schon beim Sinussatz mit h a, h b, h c, so ist die Dreiecksfläche gegeben als F = 1 a h a = 1 b h b = 1 c h c. Im Sinussatz Satz 19 hatten wir diese Höhen zu h a = c sin β = b sin γ, h b = c sin α = a sin γ, h c = b sin α = a sin β berechnet, also wird etwa F = 1 ah a = 1 ab sin γ. Die Dreiecksfläche F ist also gleich dem halben Produkt je zweier Seiten und dem Sinus des von diesen eingeschlossenen Winkels. Das ist bereits eine Flächenformel, allerdings noch keine die die Fläche ganz in Termen von a, b, c ausdrückt. Um den Sinus zu eliminieren wollen wir den Cosinussatz verwenden und dazu müssen wir wiederum den Sinus in einen Cosinus umwandeln. Dies gelingt über die eziehung sin γ + cos γ = 1 indem wir unsere obige Gleichung quadrieren F = 1 4 a b sin γ = a b (1 cos γ). 4 Setzen wir hier den Cosinussatz Satz 15 als ein so wird ab cos γ = 1 (a + b c ) a b (1 cos γ) = a b 1 4 (a + b c ) = 1 4 (4a b (a + b c ) ) 8-1

2 und insgesamt ist damit F = 4a b (a + b c ). 16 Diese Gleichung ist schon fast unser Ziel, ihr einziger Nachteil ist noch das die Symmetrie in a, b, c in dieser Formel nicht klar zum Vorschein tritt. Schreiben wir diese Formel noch etwas um so ergibt sich: Satz 1.6 (Heronsche Flächenformel) Sei ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c. Weiter bezeichne s := (a + b + c)/ den halben Umfang des Dreiecks und F seine Fläche. Dann gilt die Heronsche Flächenformel F = 1 4 (a + b + c)(a + b c)(a + c b)(b + c a) = s(s a)(s b)(s c). eweis: Wir setzen die obige Rechnung fort und erhalten F = (ab) (a + b c ) 16 = 1 16 (ab (a + b c ))(ab + (a + b c )) = 1 16 (c (a b) )((a + b) c ) = 1 (b + c a)(a + c b)(a + b c)(a + b + c), 16 also eachten wir noch F = 1 4 (a + b + c)(a + b c)(a + c b)(b + c a). s a = b + c a, s b = a + c b und s c = a + b c, so ergibt sich auch F = s(s a)(s b)(s c). Damit ist die Heronsche Flächenformel bewiesen. Den Zusammenhang zwischen Fläche F und Inkreisradius r eines Dreiecks = C können wir der folgenden Skizze entnehmen: 8-

3 C r r S w r Der Inkreisradius r war der gemeinsame bstand von S w zu den drei Seiten des Dreiecks, fällen wir also von S w aus Lote auf die drei Seiten, so haben die entstehenden Lotfußpunkte jeweils den bstand r von S w. Zerlegen wir also das Dreieck in drei Teildreiecke, die jeweils S w und zwei der drei Ecken von als ihre Ecken haben, so tritt der Inkreisradius r in jedem dieser Dreiecke als Höhe auf einer der drei Seiten von auf. Damit wird die Fläche F von zur Summe der drei Flächen dieser Teildreiecke, und diese eobachtung liefert uns einen Zusammenhang zwischen r und F. Korollar 1.7 (erechnung des Inkreisradius) Sei ein Dreieck mit Seiten a, b, c, Fläche F, Inkreisradius r und halbem Umfang s := (a + b + c)/. Dann gelten (s a)(s b)(s c) F = rs und r =. s eweis: Sei = C und bezeichne S w den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von. Dann zerlegen wir in die drei Dreiecke S w, CS w und CS w. In jedem dieser Dreieck ist die Höhe durch S w gleich dem Lot von S w auf die entsprechende Seite von, die Länge dieser Höhe ist also der gemeinsame bstand r von S w zu diesen drei Seiten. Es folgt F = 1 ar + 1 br + 1 cr = r a + b + c = rs. Mit der Heronschen Flächenformel Satz 6 ergibt sich weiter r = F s = 1 s (s a)(s b)(s c) s(s a)(s b)(s c) =. s 8-3

4 Wir wollen an dieser Stelle noch eine weitere Flächenformel für Dreiecke angeben, diesmal in Termen der früher definierten Klammersymbole. Diese Formeln ist vor allen zur ehandlung von Dreiecken im Rahmen der Vektorrechnung nützlich. Lemma 1.8 (Determinantenformel für die Dreiecksfläche) Sei = C ein Dreieck und bezeichne F seine Fläche. Dann gilt F = [,, C]. eweis: ezeichne a, b, c die Seiten von in den Standardbezeichnungen. Dann ist u := ( )/c ein Einheitsvektor und wir setzen v := ( u, u 1 ). Dann ist v senkrecht auf u und u, v ist eine Orthonormalbasis des R. Insbesondere gibt es λ, µ R mit C = + λu + µv und µ = h c ist die Höhe auf. Damit ist [,, C] = [, C ] = [cu, λu + µv] = cµ[u, v] = cµ u 1 u u u 1 = cµ(u 1 + u ) = cµ und es folgt F = ch c = c µ = [,, C]. Das Vorzeichen von [,, C] = cµ ist das Vorzeichen von µ und wir wollen uns noch kurz über seine edeutung klarwerden. Der Vektor u ist der von in Richtung von zeigende Einheitsvektor, also etwas formaler +R 0 u, und der zweite asisvektor v entsteht aus u durch Drehung um π/ im Gegenuhrzeigersinn. Damit ist genau dann µ > 0 wenn C links zu u liegt, also wenn C ( )+R 0 v ist. Damit ist [,, C] > 0 wenn C im Gegenuhrzeigersinn orientiert ist und [,, C] < 0 sonst. eachte das die Formel auch im ausgearteten Fall gilt, sind,, C drei kollineare Punkte im R so ist nach Lemma 4 stets [,, C] = 0 und dies können wir als die Fläche von C interpretieren. Wir können diese Flächenformel auch benutzen um eine eschreibung der baryzentrischen Koordinaten eines Punktes als Flächenverhältnisse herzuleiten. Lemma 1.9 (aryzentrische Koordinaten als Flächenverhältnisse) Seien C ein Dreieck mit Fläche F und P R ein weiterer Punkt. Liegt P auf der anderen Seite von C als so sei F a das Negative der Fläche von CP und andernfalls bezeiche F a die Fläche des eventuell ausgearteten Dreiecks CP. Definiere F b, F c analog. Dann ist P = F a F + F b F + F c F C die Darstellung von P in baryzentrischen Koordinaten. eweis: Die baryzentrische Koordinate λ von P bei ist nach Lemma 11 gleich [P,, C]/[,, C], ist also F die Fläche des eventuell ausgearteten Dreiecks CP so ist nach Lemma 8 auch λ = F /F. Im Fall F = 0 ist damit bereits λ = F /F = 8-4

5 F a /F. Nun betrachten wir den Fall F 0, d.h., C, P sind nicht kollinear. Dabei liegen P und genau dann auf derselben Seite von C wenn C und P C beide im Gegenuhrzeigersinn oder beide im Uhrzeigersinn orientiert sind, es ist also sign(f a /F ) = sign([p,, C]/[,, C]) = sign(λ). Damit haben wir λ = F a /F und die Formeln für die anderen beiden baryzentrischen Koordinaten ergeben sich analog. Mit diesem Lemma läßt sich auch bequem die edeutung der Vorzeichen der baryzentrischen Koordinaten ablesen. Die Punkte mit λ > 0 sind diejenigen die auf derselben Seite von C wie liegen und entsprechendes gilt für die beiden anderen baryzentrischen Koordinaten. Die sieben Zusammenhangskomponenten von R \( C C ) sind also durch die Vorzeichen der baryzentrischen Koordinaten gegeben c a ++ b + Damit kommen wir nun zum Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, die Existenz dieses Schnittpunkts ist dabei analog zum Fall der Winkelhalbierenden. Seien, R mit zwei verschiedene Punkte. ls die Mittelsenkrechte von und X bezeichnet man die Menge aller Punkte die von und denselben bstand haben, also l = {X R : X = X }. Diese Menge ist eine Gerade nämlich genau die im Mittelpunkt P := ( + )/ auf der Geraden errichtete Senkrechte g. Dies ist leicht zu sehen. Zunächst ist P l und ist X l ein beliebiger P Punkt der Mittelsenkrechten der nicht auf der und verbindenden Geraden liegt 8-5

6 so sind die beiden Dreiecke P X und P X nach dem Kongruenzsatz SSS kongruent, haben also in P denselben Winkel und somit gilt (X) = (P X), d.h. die Gerade P X ist senkrecht auf und wir haben X g. Umgekehrt liefert der Satz des Pythagoras auch g l. Damit ist diese Zwischenbehauptung bewiesen. Satz 1.30 (Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten) Sei = C ein Dreieck. Dann schneiden sich die drei Mittelsenkrechten von in einem Punkt S u und dieser ist der eindeutige Punkt der von allen drei Ecken des Dreiecks denselben bstand hat. eweis: Sei S der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auf und auf C. Dann gelten S = S und S = CS, also auch S = CS und S liegt auch auf der Mittelsenkrechten auf C. Dass alle drei Ecken von S u denselben bstand R haben, bedeutet das der Kreis mit Radius R und Mittelpunkt S u durch alle drei Ecken des Dreiecks = C geht, und da S u der einzige Punkt ist der von allen drei Ecken gleich weit entfernt ist, ist dieser Kreis auch der einzige Kreis der durch,, C geht. Man nennt den Kreis durch die Ecken von auch den Umkreis von und der Schnittpunkt S u ist daher der Mittelpunkt des Umkreises. Der Radius R des Umkreises heißt dann der Umkreisradius von. Damit haben wir drei unserer speziellen Punkte eines Dreiecks behandelt, es steht nur noch der Schnittpunkt der Höhen aus. Tatsächlich folgt die Existenz dieses Schnittpunkts aus der Existenz des Schnittpunkts der Mittelsenkrechten angewandt in einem geeigneten Hilfsdreieck. Sei = C ein Dreieck und betrachte das als ein eispiel zum Ähnlichkeitsbegriff eingeführte Mittendreieck, also das Dreieck = C das von den drei Seitenmittelpunkten gebildet wird. Wir wollen uns überlegen was die Höhen in sind, schauen wir uns etwa die Höhe h c auf der Seite von an. Nach Lemma ist parallel zur Seite von, und da h c senkrecht auf steht, ist h c auch senkrecht auf. Nun geht h c durch den Seitenmittelpunkt C von, d.h. h c ist die Mittelsenkrechte von auf. nalog kann man für die beiden anderen Höhen schließen, d.h. die Höhen des Mittendreiecks sind genau die Mittelsenkrechten von. Damit schneiden sich die Höhen von nach Satz 30 im Umkreismittelpunkt von. Wir beschäftigen uns gerade mit den Höhen in einem Dreieck und wollen beweisen das sich diese immer in einem Punkt schneiden. ls einen ersten Schritt hierzu hatten wir eingesehen das die Höhen des Mittendreiecks eines Dreiecke gerade die Mittelsenkrechten von sind und sich im Umkreismittelpunkt von schneiden. 8-6

7 C * c hc C C * b a * C Höhe im Mittendreieck Konstruktion von In einem Mittendreieck schneiden sich die Höhen somit immer in einem Punkt, um also zu zeigen das dies in einem allgemeinen Dreieck = C ebenfalls gilt, reicht es einzusehen das das Mittendreieck eines geeigneten vergrößerten Dreiecks ist. Um dieses zu konstruieren, ziehen wir die Parallele a zu C durch C, die Parallele b zu C durch und schließlich die Parallele c zu durch C. Damit definieren wir dann als Schnittpunkt von b und c, als den Schnittpunkt von a und c und letztlich C als den Schnittpunkt von a und b. Diese Konstruktion liefert uns das Dreieck = C und wir behaupten das das Mittendreieck von ist. Überlegen wir uns einmal das der Seitenmittelpunkt von C ist. Nach Konstruktion sind = c und, C = a und C sowie C = b und C jeweils parallel zueinander, wir haben also zwei Parallelogramme C und C C. Erinnern wir uns jetzt daran, dass in einem Parallelogram gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, so ergibt sich = C = C = C und dies bedeutet tatsächlich das der Mittelpunkt von C ist. nalog sind der Mittelpunkt von C und C der Mittelpunkt von, d.h. = C ist tatsächlich das Mittendreieck von = C. γ D β α C β γ α 8-7

8 Die hier verwendete Tatsache über Parallelogramme ist dabei anschaulich klar, formal kann man sie beispielsweise aus dem Kongruenzsatz SWW für Dreiecke gewinnen. Geben wir uns etwa ein Parallelogram CD wie oben vor, so zerlegen wir dieses durch die Strecke D in zwei Dreiecke D und CD. Sind dann β der Winkel bei in D und γ der Winkel bei D in D, so folgt mit dem Stufenwinkelsatz wegen CD das der Winkel in CD bei D auch β ist und ebenso folgt mit D C das der Winkel in CD bei gleich γ ist. Nach Satz 0 sind die beiden Dreiecke D und CD damit kongruent, also sind auch D = C und = CD wie behauptet. Satz 1.31 (Der Schnittpunkt der Höhen) Sei ein Dreieck. Dann schneiden sich die drei Höhen von in einem Punkt S h. eweis: Wir haben gerade gezeigt das es ein Dreieck mit Mittendreieck gibt und damit sind die Höhen von die Mittelsenkrechten von, schneiden sich also nach Satz 30 in einem Punkt. 8-8