1. Grundlegendes in der Geometrie

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1 1. Grundlegendes Geometrie 1. Grundlegendes in der Geometrie 1. 1 Übliche ezeichnungen Punkte bezeichnen wir mit Grossbuchstaben:,,,D,... P 1,P 2,P 3,...,,,... Strecken und deren Masszahl, sowie Geraden werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet: a,b,c,d,... g 1,g 2,g 3,... f,f,f,... Sind P und Q Punkte, so meinen wir mit PQ die Strecke mit den Endpunkten P und Q, deren Masszahl, oder die Gerade durch P und Q. us dem Zusammenhang wird jeweils klar, was gemeint ist. Griechische uchstaben stehen für Winkel: Das griechische lphabet: α,β,γ,... ϕ 1,ϕ 2,ϕ 3,... ε,ε,ε,... α lpha I ι Iota P ρ Rho β eta K κ Kappa Σ σ Sigma Γ γ Gamma Λ λ Lambda T τ Tau δ Delta M µ Mü Υ υ Ypsilon E ε Epsilon N ν Nü Φ ϕ Phi Z ζ Zeta Ξ ξ Xi X χ hi H η Eta O o Omikron Ψ ψ Psi Θ θ Theta Π π Pi Ω ω Omega Da ein Winkel durch zwei Geraden oder drei Punkte bestimmt ist, verwendet man auch folgende Notation: W f V U g UVW (g,f) 1. 2 Wichtige Sätze über Winkel a a ϕ S ϕ b δ S ϕ b ϕ, ϕ : Scheitelwinkel ϕ, δ: Nebenwinkel 1-1 am

2 Geometrie 1. Grundlegendes Satz. Zwei Scheitelwinkel sind gleich gross. Satz. Die Summe zweier Nebenwinkel beträgt 180. Definition. Zwei Geraden, die sich nicht schneiden, heissen parallel. Eine Gerade, die parallele Geraden schneidet, heisst Transversale dieser Geraden. In untenstehenden Figuren ist f eine Transversale der beiden Parallelen g 1, g 2. α g 1 α g 1 α α f g 2 f g 2 α, α : Stufenwinkel α, α : Wechselwinkel Satz. Stufenwinkel an Parallelen sind gleich gross. Satz. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich gross Zum bstandsbegriff Von allen Verbindungslinien zwischen zwei Punkten ist die gerade Strecke jene der kürzesten Länge. Der bstand (auch Distanz) zwischen zwei Punkten und ist die Länge der geraden Strecke. Er wird mit d(, ) bezeichnet. Derbstandd(P,g) voneinempunktp zueinergeradengwird mit dem Lot ermittelt. Man setzt d(p,g) = d(p,f), wo F der Lotfusspunkt von P auf g ist, das heisst, der Schnittpunkt von g mit dem Lot von P auf g. emerke: d(p,g) ist die kürzeste Verbindung zwischen P und einem Punkt auf g. P d(p, g) Wie könnte man den bstand zwischen einem Punkt und einer Strecke definieren? g F 1-2 am

3 1. Grundlegendes Geometrie 1. 4 Das Dreieck - eine Grundfigur Leonhard Euler( ) hat begonnen die Ecken eines Dreiecks mit den Grossbuchstaben, und zu bezeichnen, die einer Ecke gegenüberliegende Seite mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben und die Winkel mit den entsprechenden griechischen uchstaben. Wir werden diese ezeichnung kurz Standardbezeichnung nennen und sie bei Dreiecken ohne weitere ngaben stillschweigend voraussetzen. b γ a β Häufig betrachtet man als a, b und c auch die Seitengeraden und nicht nur die Strecken,,. α a c Die Winkel im Innern des Dreiecks heissen die Innenwinkel. Ihre Nebenwinkel heissen die ussenwinkel. γ Satz. Die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks ist 180. Satz. Ein ussenwinkel ist gleich der Summe der beiden gegenüberliegenden Innenwinkel. α β b c 1. 5 Der Kongruenzbegriff Jede Figur (in der Ebene) kann durch eine sog. ewegung aus einer ersten Lage in eine beliebige andere Lage gebracht werden. esonders interessante ewegungen sind die Translationen (Parallelverschiebung entlang einer festen Geraden), die Rotationen (Drehungen um einen festen Punkt), und die Reflexionen (Spiegelungen an einer festen Gerade). Ebene Figuren, die auseindander hervorgehen, nennt man kongruent. Für Dreiecke gelten folgende Kongruenzsätze: Satz. (SSS) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen. (SWS) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. (WSW) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen. (SsW) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der grösseren Seite übereinstimmen. 1-3 am

4 Geometrie 1. Grundlegendes SSS SWS WSW SsW erkungen: Zu (WSW): Zu (SsW): Die edingung anliegend lässt sich wegen des Satzes über die Winkelsumme imdreieck abschwächen; esgenügtdieübereinstimmunginirgend zweiwinkeln zu fordern. Die edingung Gegenwinkel der grösseren Seite ist wesentlich. Um dies einzusehen Konstruiere man ein Dreieck aus: a) a = 8mc, b = 5cm und β = 30 b) a = 8mc, b = 5cm und α = Der egriff des geometrischen Ortes Zu jeder Eigenschaft, etwa hat bstand r vom Punkt M oder ist gleich weit entfernt von der Gerade g wie von der Gerade h kann man die Menge der Punkte betrachten, die diese Eigenschaft erfüllen. Diese Menge nennt man den geometrischen Ort (kurz g.o.) dieser Eigenschaft. Die folgende Liste von wichtigen eispielen soll den egriff weiter erläutern: (1) Der g.o. aller Punkte die vom festen Punkt M den konstanten bstand r haben, ist eine Kreislinie mit Radius r und Mittelpunkt M. (2) Der g.o. aller Punkte, die von den Endpunkten einer gegebenen Strecke gleichen bstand haben, ist die Mittelsenkrechte dieser Strecke. (3) Der g.o. aller Punkte, die von zwei sich schneidenden Geraden denselben bstand haben, ist das Paar der beiden Winkelhalbierenden. eachte: die beiden Winkelhalbierenden stehen senkrecht aufeinander. (4) Der g.o. aller Punkte, die von einer Geraden g den bstand d haben, ist das Paar von Parallelen im bstand d von g. (5) Gegeben ist eine Strecke. Der g.o. aller Punkte so, dass = 90, ist der Kreis mit Durchmesser. Man nennt diesen Kreis auch Thaleskreis über. (6) Der g.o. aller Punkte, die vom Punkt M einen bstand haben, der kleiner ist als ein festes, vorgegebener Wert r, ist das Kreisinnere (ohne den Rand) des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt M Grundkonstruktionen Folgende Konstruktionen betrachten wir als Grundkonstruktionen. Sie sind eindeutig bestimmt und kommen häufig als Zwischenschritt eines Konstruktionsproblems vor. Wir werden sie dann einfach abrufen ohne jedes Mal auf die nötigen Einzelheiten einzugehen. Gerade durch zwei Punkte. 1-4 am

5 1. Grundlegendes Geometrie Schnittpunkt von zwei Geraden. Schnittpunkte von Kreisen und Geraden. Das Lot von einem Punkt P auf eine Gerade. Der Lotfusspunkt eines Punkts P bzgl einer Geraden. Die Mitte M einer Strecke. Die Mittelsenkrechte m von zwei Punkten,. Die beiden Winkelhalbierenden von zwei Geraden. Die Winkelmasse 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150. Die Konstruktion eines Dreieck aus: - den drei Seiten - zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel - einer Seite und zwei Winkel - zwei Seiten und dem Gegenwinkel der grösseren Seite. Kreis aus Mittelpunkt und Radius 1. 8 Fundamentale Prinzipien zur Lösung von Konstruktionsproblemen Konstruktionsprobleme geht man nicht einfach planlos an, sondern man versucht unter eachtung der folgenden Punkte zur Lösung vorzustossen. (1) Die nalyse des Problems geschieht anhand einer nalysisfigur, welche die Lösung vorwegnimmt; gegebene Stücke werden mit Vorteil farbig markiert. (2) Folgende Überlegungen sind ein wesentlicher estandteil der Lösungsstrategie: - Lassen sich gewisse Punkte als Schnittpunkte geeigneter geometrischer Örter gewinnen? - Lassen sich geeignete Teildreiecke durch Grundkonstruktionen festlegen? - Ist die ufgabe mit einerbereits gelösten ufgabe in einem gewissen Sinne verwandt? (3) Wie viele Lösungen hat das Problem? (4) Die Lösung wird in einem Lösungsweg festgehalten. Dabei werden alle wichtigen Schritte konzis notiert; Grundkonstruktionen werden erwähnt aber nicht detailliert beschrieben. (5) Die Konstruktion wird ausgeführt Spezielle Linien und Punkte im Dreieck (a) Mittelsenkrechten 1-5 am

6 Geometrie 1. Grundlegendes emerkungen: 1-6 am

7 1. Grundlegendes Geometrie (b) Winkelhalbierende emerkungen: 1-7 am

8 Geometrie 1. Grundlegendes (c) Höhen (Lote von den Eckpunkten auf die Gegenseite emerkungen: 1-8 am

9 1. Grundlegendes Geometrie (d) Schwerlinien oder Seitenhalbierende (Verbindungen eines Eckpunktes mit dem Mittelpunkt der Gegenseite) emerkungen: 1-9 am

10 Geometrie 1. Grundlegendes Das Viereck Die Standardbezeichnungen sind wie im nebenstehenden ild angegeben. Ist D ein Trapez so sind bei den Standardbezeichnungen a und c parallel. d D δ f c γ α e a β b Hierarchie: 1-10 am