GRUNDWISSEN Seitenhalbierende Konstruktion von Vierecken [nach Lambacher Schweizer 7] [eigene Grafiken]

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1 GRUNDWISSEN Inhalt 5.Gleichungen Gleichungen und Lösungen Äquivalente Gleichungsumformungen Systematisches Lösen einer Gleichungen Lineare Gleichungen in Anwendungsaufgaben Prozentrechnung und Diagramme Analysieren von Daten-Diagramme Mittelwert Die Grundgleichung der Prozentrechnung Kongruenz und Dreiecke Kongruente Figuren Kongruenz von Dreiecken Das gleichschenklige Dreieck Satz und Kehrsatz Das rechtwinklige Dreieck-der Satz des Thales Dreieckskonstruktionen Besondere Linien im Dreieck und Konstruktionen Mittelsenkrechten und Umkreis Winkelhalbierende Höhen Seitenhalbierende Konstruktion von Vierecken... 9 [nach Lambacher Schweizer 7] [eigene Grafiken] 1

2 5.Gleichungen 5.1. Gleichungen und Lösungen Eine Gleichung besteht aus zwei Termen. Sie sind durch ein Gleichheitszeichen verbunden. In mindestens einem Term muss eine Variable vorkommen. Beispiele: 2x+4 = x = 2x+6 Wenn man bei dem Einsetzen einer Zahl für die Variable die gleichen Termwerte auf beiden Seiten der Gleichung erhält, heißt diese Zahl eine Lösung der Gleichung Äquivalente Gleichungsumformungen Einfache Gleichung: nach x auflösen Kompliziertere Gleichung: schrittweise in einfache Gleichungen umwandeln Umformung: Äquivalenzumformung Immer auf beiden Seiten addieren, subtrahieren, multiplizieren, oder dividieren Beispiel: 7x+3-2x= x+11 (7x+2x)+3 = x+11 /-3 5x = x+8 /-x 4x = 8 /:4 x = Systematisches Lösen einer Gleichungen Oft wird die Lösung einer Gleichung dadurch bestimmt, dass man eine Reihe von Äquivalenzumformungen durchführt und schließlich eine Gleichung der Form x= erhält. Dort kann man die Lösung direkt ablesen. Wichtige Schritte: (Beispiel) Ursprüngliche Gleichung (5x-4) 2+10= 1+2x+5 Klammern auflösen Gleichartige Terme zusammenfassen 10x-8+10 = 1+2x+5 10x+2 = 6+2x Addieren/ subtrahieren um zu sortieren 10x+2 = 6+2x /-2 10x= 4+2x /-2x 8x = 4 Dividieren/multiplizieren, nach x auflösen 8x = 4 /:8 (Probe: Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung) X = 1 2 (5 1-4) 2+10 = = = 7 richtig! 2

3 Lineare Gleichung 6x-3=x-4+6x x=1 Das x steht am Ende alleine und hat eine einzige mögliche Lösung keine lineare Gleichung 3x(x-2)=4 3x 2-6x=4 das x steht nach dem ausmultiplizieren im Quadrat Spezialfälle: 1. Am Ende steht eine wahre Aussage, z.b. 5 = 5 oder x = x Es gibt unendlich viele Lösungen für die Gleichung L = Q 2. Am Ende steht eine falsche Aussage, z.b. 5 = 3 Es gibt keine Lösung der Gleichung L = { } 5.4. Lineare Gleichungen in Anwendungsaufgaben 1. Variable festlegen 2. Gleichung aufstellen 3. Gleichung lösen 4. Ergebnis prüfen und formulieren 6.Prozentrechnung und Diagramme 6.1. Analysieren von Daten-Diagramme Aufteilung eines Ganzen: Kreisdiagramm Vergleiche von Werten: Säulendiagramm, Balkendiagramm Sachzusammenhang mit Bild Zuordnung zwischen zwei Größen: Punkt-/Lineardiagramm (Graph) 6.2. Mittelwert (arithmetischer) Mittelwert: Man addiert alle Zahlen oder Größen und dividiert die Summe durch die Anzahl der Zahlen oder Größen. Beispiel: Notendurchschnitt = 32 32:12 = 2, Die Grundgleichung der Prozentrechnung Durch Prozentangaben kann man Angaben besser miteinander vergleichen. Man muss immer darauf achten was die entsprechenden Größen im Sachzusammenhang bedeuten (Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz) Grundgleichug der Prozentrechnung: Prozentsatz Grundwert = Prozentwert 3

4 Beispiel: Geg.: Prozentsatz: 21% ; Grundwert: 63 Ges.: Prozentwert Lsg.: Prozentwert = Prozentsatz Grundwert = 21% 63 = 0,21 63 = 13,23 Geg.: Prozentsatz: 20% ; Prozentwert: 10 Ges.: Grundwert Lsg.: Grundwert = Prozentwert:Prozentsatz = 10:20% = 10:0,2 = 50 Geg.: Grundwert: 80 ; Prozentwert: 20 Ges.: Prozentsatz Lsg.: Prozentsatz = Prozentwert:Grundwert = 20:80 = 0,25 7.Kongruenz und Dreiecke 7.1.Kongruente Figuren Zueinander kongruent sind zwei Figuren, wenn sie deckungsgleich sind. Man schreibt: H F (lies: H ist kongruent zu F) Zwei zueinander kongruente Figuren haben die gleiche Größe und Gestalt. Bemerkung: Da zwei kongruente Figuren die gleichen Winkel und Seitenlängen haben und sich daran durch Achsen-/ oder Punktspiegelung nichts ändert, kann man durch eine oder mehrere Spiegelungen die Kongruenz nachweisen. 4

5 7.2.Kongruenz von Dreiecken Kongruenzsätze von Dreiecken: Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie: 1. in allen drei Seiten übereinstimmen (SSS) (Dreiecksungleichungen: a+b>c, a+c>b, b+c>a) 2. in einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen (WSW bzw. SWW) 3. in zwei Seiten du dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS) 4. in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite übereinstimmen (SsW) Beispiel für SSS: 1. Zeichne die Strecke c 2. Zeichne den Kreis k 1 (A;b) 3. Zeichne den Kreis k 2 (B;a) Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Eckpunkt C. Eindeutige Konstruktion möglich bei: Drei gegebenen Seitenlängen Zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkel Einer Seitenlänge und zwei Winkeln Eindeutige Konstruktion nicht möglich bei: Drei gegebenen Winkeln Zwei Seitenlängen und dem nicht eingeschlossenen Winkel, wenn dieser gegenüber der kleineren Seit liegt 7.3. Das gleichschenklige Dreieck Wenn ein Dreieck zwei gleich lange Seiten hat, nennt man es gleichschenkliges Dreieck. Die beiden gleichlangen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite nennt man Grundseite oder Basis. Den gemeinsamen Punkt der Schenkel bezeichnet man als Spitze, die beiden Winkel, die an der Basis anliegen nennt man Basiswinkel. Spitze Basiswinkel Basis(Grundseite) 5

6 Alle gleichschenkligen Dreiecke sind auch achsensymmetrisch, weil die Spitze C von den Punkten A und B gleichweit entfernt und somit auf der Symmetrieachse zu A und B liegt. Daraus folgt auch, dass die beiden Basiswinkel gleich groß sind. Satz vom gleichschenkligen Dreieck: Wenn eine der folgenden Aussagen zutrifft, gelten auch die zwei anderen: 1. Das Dreieck ist gleichschenklig. 2. Das Dreieck ist achsensymmetrisch. 3. Das Dreieck besitzt zwei gleich große Winkel. Die Seiten-Winkel-Beziehung: In jedem Dreieck liegt der größte Winkel der größten Seite gegenüber und umgekehrt. Dreiecke mit drei gleich langen Seiten nennt man gleichseitig. Sie haben drei Symmetrieachsen. Wegen der Winkelsumme von 180 ist jeder Winkel 60 groß Satz und Kehrsatz Man kann mathematische Sätze auf die Form Wenn dann bringen. Wenn-Teil: Voraussetzung, Dann-Teil: Behauptung Man erhält den Kehrsatz, indem man Voraussetzung und Behauptung vertauscht.!der Kehrsatz zu einem Satz kann falsch sein! Kann man zeigen, dass die Behauptung in allen denkbaren Beispielen erfüllt ist, bei denen auch die Voraussetzung zutrifft, hat man belegt, dass die Aussage wahr ist. Beispiel: Wenn eine natürliche Zahl durch 2 und 5 teilbar ist, ist sie auch durch 10 teilbar. Kehrsatz Wenn eine natürliche Zahl durch 10 teilbar ist, ist sie auch durch 2 und 5 teilbar. trifft zu. Ein einziges Gegenbeispiel, bei dem die Voraussetzung zutrifft, aber die Behauptung nicht erfüllt ist, reicht, um eine Aussage zu widerlegen. Beispiel: Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, ist sie auch durch 2 teilbar. Kehrsatz Wenn eine Zahl durch 2 teilbar ist, ist sie auch durch 4 teilbar. trifft nicht zu. Gegenbeispiel: Die Zahl 10 ist durch 2 teilbar aber nicht durch 4. 6

7 7.5. Das rechtwinklige Dreieck-der Satz des Thales Hypotenuse Satz des Thales: Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn die Ecke C auf dem Halbkreis über [AB] liegt. 7.6 Dreieckskonstruktionen Beispiel: eindeutig konstruierbar nach SsW b=4,4cm; c=3,8cm; β=65 Planfigur: (Skizze) Konstruktionsplan: (1) A und B sind durch c gegeben. (2) C liegt 1. auf.dem Kreis k(a;b) und 2. auf dem freien Schenkel des Winkels β, angetragen in B an [AB]. Konstruktion: 7

8 8. Besondere Linien im Dreieck und Konstruktionen 8.1. Mittelsenkrechten und Umkreis Satz von den Mittelsenkrechten im Dreieck: In jedem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten der drei Dreiecksseiten in einem Punkt U. Dieser Punkt U hat von den drei Ecken des Dreiecks den gleichen Abstand, er ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Beachte: Umkreismittelpunkt liegt beim rechtwinkligen Dreieck innerhalb des Dreiecks stumpfwinkligen Dreieck außerhalb des Dreiecks 8.2. Winkelhalbierende Satz von der Winkelhalbierenden: Ein Punkt P liegt genau dann auf einer Winkelhalbierenden zweier sich schneidender Geraden, wenn er von beiden Geraden den gleichen Abstand hat. Schnittpunkte der Winkelhalbierenden in einem gleichseitigen Dreieck: Alle Winkelhalbierenden schneiden sich in dem Punkt S. Dieser ist auch der Umkreis- und Inkreis- Mittelpunkt des Dreiecks. 8

9 8.3. Höhen In jedem Dreieck gibt es drei Höhen. Man erhält diese indem man z.b. vom Eckpunkt B das Lot auf die gegenüberliegende Seite b fällt, dort ist dann der Lotfußpunkt L. Die Strecke [BL] nennt an Höhe h b. Satz von den Höhen im Dreieck: In jedem Dreieck schneiden sich die drei Höhen (oder deren Verlängerungen) in einem Punkt. (In einem stumpfen Dreieck liegt dieser außerhalb des Dreiecks.) 8.4. Seitenhalbierende Jedes Dreieck hat drei Seitenhalbierende. Jede Seitenhalbierende ist die Verbindung von einer Ecke mit deren gegenüberliegenden Seitenmitte. In jedem Dreieck schneiden sich die drei Seitenhalbierenden in einem Punkt. Dieser Punkt wird auch Schwerpunkt des Dreiecks genannt Konstruktion von Vierecken Durch fünf geeignete Stücke kann ein Viereck eindeutig festgelegt werden: Eine Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke. -> Dieses kann mit drei Stücken nach den Kongruenzsätzen eines der Dreiecke eindeutig festlegen.(hier Dreieck ABC: SWS) -> Für das zweite Dreieck werden nun noch zwei Stücke benötigt. Achtung: Nur weil zwei Vierecke in fünf oder mehr Stücken übereinstimmen müssen sie nicht gleich kongruent sein. Es müssen fünf geeignete Stücke sein. 9

10 Beispiel: fünf ungeeignete Stücke (erstellt von Sandra Graßnick) 10