Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe

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1 ALGEBRA 1. Grundlagen Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe Menge der ganzen Zahlen Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Menge der rationalen Zahlen Q = { z z Z und n N } (Menge aller n positiven und negativen Brüche ) Rechenregeln für negative Zahlen, insbesondere o Minus mal Minus = Plus, Minus mal Plus = Minus o Minus durch Minus = Plus, Minus durch Plus = Minus, Plus durch Minus = Minus o Quadrate negativer Zahlen sind immer positiv Betrag: a = a, falls a 0 a, falls a < 0 2. Prozentrechnung Prozente sind nur eine andere Darstellung von Brüchen mit dem Nenner 100: Merke: p% von x bedeutet : p 100 x ( p = Prozentsatz, x = Grundwert, Ergebnis = Prozentwert ) Erhöhung um p% heißt Verminderung um p% heißt Wichtige Aufgabetypen: - Berechnung des Prozentwertes Multipliziere Grundwert mit Prozentsatz:

2 - Berechnung des Prozentsatzes Dividiere Prozentwert durch Grundwert: - Berechnung des Grundwertes Dividiere Prozentwert durch Prozentsatz: 3. Terme und ihre Umformungen Terme sind Ausdrücke, bei denen Zahlen und Variablen mit Rechenzeichen und Klammern so zusammengesetzt werden, dass sich beim Einsetzen von Zahlen eine sinnvoller, berechenbare Zahl ergibt (Termwert) Definitionsmenge = Menge aller Zahlen, die für eine Variable eingesetzt werden Dürfen (weil zb sonst durch 0 geteilt werden müsste) Besondere Terme: Summe a + b 1. Summand + 2. Summand Differenz a b Minuend Subtrahend Produkt a. b 1. Faktor. 2. Faktor Quotient a : b Dividend : Divisor Bruch Potenz a n Basis Exponent Zur Analyse eines Terms beachte die Vorfahrtsregeln Vereinbarung: Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich Rechengesetze: Vor Variablen oder Klammern (und nur dort!!!) lässt man den Malpunkt meistens weg. Assoziativgesetz: In Summen und Produkten kann man beliebig Klammern setzen. Kommutativgesetz In Summen und Produkten ist die Reihenfolge egal Distributivgesetz a( b ± c) = ab ± ac ( a ± b) : c = a c ± b c

3 Äquivalenzumformungen Erlaubt sind alle Umformungen nach dem Assoziativ und Kommutativgesetz. Erlaubt ist das Zusammenfassen von mehren Summanden mit gleichen Variablen (bzw. Variablengruppen mit denselben Potenzen) Erlaubt ist das Zusammenfassen von gleichen Faktoren zu Potenzen Rechenregeln für Potenzen: Ausmultiplizieren von Klammern: a(b + c) = ab + ac Ausklammern von gleichen Faktoren: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd a b + a c = a( b + c) 4. Lösen von Gleichungen Definitionsmenge D = die Menge aller mathematisch für x erlaubten Zahlen Grundmenge G = die Menge aller für die Aufgabenstellung sinnvollen Zahlen Lösungsmenge L = die Menge aller Zahlen aus G, für die man in die Gleichung eingesetzt eine wahre Aussage erhält Äquivalenzumformungen von Gleichungen: 1. Auf beiden Seiten der Gleichung die Terme nach den bekannten Term- Äquivalenzumformungen umformen, besonders ausmultiplizieren und zusammenfassen. 2. Auf beiden Seiten der Gleichung denselben Ausdruck dazu addieren oder abziehen. 3. Beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl (nicht 0! ) multiplizieren oder dividieren

4 GEOMETRIE 1. Grundbegriffe und -bezeichnungen Punkte: A,B,C,... Geraden oder Strecken: a,b,c,... Winkel: α,β,γ,... Gerade durch die Punkte A und B: AB Strecke von A nach B: [AB] Länge der Strecke [AB] AB 2. Symmetrien Achsensymmetrie: Eine Figur lässt sich durch eine Gerade (Symmetrieachse) in zwei spiegelbildlich zueinander liegende Hälften zerteilen. Eigenschaften achsensymmetrischer Funktionen: Alle Punkte und Bildpunkte haben von der Achse denselben Abstand. Entsprechende Seiten und Winkel sind gleich groß Die Verbindungsstrecke eines Punktes P und seines Spiegelpunktes P wird von der Achse senkrecht halbiert. Punktsymmetrie: Eine Figur lässt sich um einen bestimmten Punkt (Symmetriezentrum) um 180 drehen, so dass sie wieder wie vorher aussieht. Eigenschaften punktsymmetrischer Funktionen: Alle Punkte und Bildpunkte haben vom Zentrum denselben Abstand. Entsprechende Seiten und Winkel sind gleich groß Die Verbindungsstrecke eines Punktes P und seines Spiegelpunktes P wird vom Zentrum halbiert. Symmetrische Vierecke: Drachenviereck ( = einfach diagonalensymmetrisches Viereck) Raute ( = zweifach diagonalensymmetrisches Viereck) Trapez ( = Viereck mit 2 parallelen Seiten) gleichschenkeliges Trapez ( = einfach mittensymmetrisches Viereck) Rechteck ( = zweifach mittensymmetrisches Viereck) Parallelogramm ( = Viereck mit 2 Paaren paralleler Seiten, punktsymmetrisches Viereck) Quadrat ( = doppelt diagonalen- und mitten- und punktsymmetrisches Viereck)

5 3. Winkel an Geradenkreuzungen α δ β γ γ β δ α 4. Winkelsumme in Dreiecken und Vierecken Winkelsumme im Dreieck: Winkelsumme im Viereck: 5. Kongruenzsätze für Dreiecke - Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie deckungsgleich sind, d.h. wenn es eine Folge von Achsenspiegelungen oder Punktspiegelungen oder Verschiebungen oder Drehungen gibt, die sie in einander überführen. - Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie o in allen 3 Seiten übereinstimmen (SSS-Satz) o in 2 Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS) o in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen (WSW) o in 2 Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite übereinstimmen (SsW)

6 6. Besondere Dreiecke - Gleichschenkelige Dreiecke o zwei Seiten (=Schenkel) sind gleich lang, die 3. Seite heißt Basis. o Die Basiswinkel sind gleich groß o Gleichschenkelige Dreiecke sind achsensymmetrisch - Gleichseitige Dreiecke o Alle 3 Seiten sind gleich lang o Alle 3 Winkel sind gleich groß, nämlich 60 o Gleichseitige Dreiecke sind achsen- und punktsymmetrisch - Rechtwinkeliges Dreieck: o Die dem 90 -Winkel gegenüber liegende Seite heißt Hypotenuse, die Schenkel des 90 -Winkels heißen Katheten. o Die Ecke mit dem 90 -Winkel liegt immer auf dem Kreis, der die Hypotenuse als Durchmesser hat (Thaleskreis) 7. Besondere Linien und Punkte im Dreieck o Mittelsenkrechte = Symmetrieachse einer Seite o Winkelhalbierende = Symmetrieachse eines Winkels o Seitenhalbierende = Verbindungsstrecke einer Seitenmitte zur gegenüberliegenden Ecke o Höhe = Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite. o Alle Seitenhalbierenden, Höhen, Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten schneiden sich jeweils in einem Punkt. o Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks. o Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt des Dreiecks.