Mathematik 5. Klasse. 1. Grundlagen der Algebra. Zahlenmengen

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1 Mathematik 5. Klasse Diese Stoffübersicht ist in drei Hauptteile gegliedert: 1. Grundlagen der Algebra (Zahlenmengen, Rechenarten, Rechengesetze); 2. Geometrie; 3. Darstellung und Kombinatorik Quellen: Unterricht am Thomas-Mann-Gymnasium München in der Klasse 5c (2003/04); delta Mathematik für Gymnasien (hrsg. von Ulrike Schätz und Franz Eisentraut) 1. Grundlagen der Algebra Zahlenmengen Die wichtigen Zahlenmengen (jeweils größer) Natürliche Zahlen N: N = {1; 2; 3; 4;...}, N 0 = {0; 1; 2; 3;...} Die natürlichen Zahlen sind die Menge aller positiven ganzen Zahlen. Ganze Zahlen Z: Z = {... -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4;...} Die ganzen Zahlen sind die Menge der positiven ganzen Zahlen, der 0 und die Menge der negativen ganzen Zahlen. Rationale Zahlen R: Die rationalen Zahlen sind die Menge aller Zahlen, die sich durch Brüche darstellen lassen. (?) Reelle Zahlen:... Weitere Zahlenmengen (Beispiele) Quadratzahlen: {1; 4; 9; 16;...} Sie entstehen, wenn man eine Zahl im Quadrat nimmt Primzahlen: {2; 3; 5; 7;...} Primzahlen sind Zahlen, die genau 2 Teiler haben (=> 1 ist keine Primzahl) Stufenzahlen: Stufenzahlen des Zehnersystems = {1; 10; 100; 1000;...} Rechnen mit Termen Die Rechenarten Allgemein: Jedes Termglied (Summand, Subtrahend, Faktor etc.) kann aus einer Zahl, aus einem Buchstaben oder aus einem weiteren Term (eventuell in Klammern) bestehen. Addition: 1. Summand + 2. Summand (auch weitere Summanden möglich) = Summe(-nwert) Additionen gleicher Summanden lassen sich auch als Multiplikation darstellen: = 4 5 = 20 Subtraktion: Minuend Subtrahend = Differenz(-wert); Die Subtraktion kann man als Summe eines positiven und eines negativen Summanden sehen. Multiplikation: 1. Faktor 2. Faktor (auch weitere Faktoren möglich) = Produkt(-wert); Das Mal -Zeichen kann zwischen Klammer Klammer, Zahl Klammer, Zahl Buchstabe, Buchstabe Klammer etc. weggelassen werden, bei Zahl Zahl muss er jedoch geschrieben werden. Besondere Produkte: Ist einer der Faktoren 0, so ist das Produkt immer 0. Ist einer der Faktoren 1, so ist das Produkt gleich den anderen Faktoren. Faktor 1 kann man weglassen. Ist ein Faktor - 1, so ist das Produkt die Gegenzahl (siehe weiter unten: weitere Grundbegriffe zum Rechnen mit Termen Betrag) der anderen Faktoren bzw. ein Vorzeichen eines anderen Faktors wird verkehrt. Produkte gleicher Faktoren lassen sich auch als Potenzen darstellen: = 5³ = 125 (siehe 1

2 weiter unten (Potenz)) Division: Dividend : Divisor = Quotient(-enwert); Quotienten lassen sich auch als Brüche darstellen. Besondere Quotienten: Wird eine Zahl durch 1 geteilt, so bleibt sie gleich. (a : 1 = a) Ist der Dividend gleich dem Divisor, ist der Quotientenwert 1. Ist der Dividend 0, ist der Quotientenwert ebenfalls 0. Für Divisionen, bei denen der Divisor 0 ist, ist der Quotientenwert mathematisch nicht definiert. Potenz: Beispiel 2 5 : = 2 5 zwei hoch fünf = 32; Bei 2 5 : 2 5 ist die Potenz, 2 ist die Basis und 5 der Exponent (Hochzahl) Besondere Potenzen: Ist der Exponent 0, ist der Potenzwert immer 1. (a 0 = 1) Ist der Exponent 1, so ist der Potenzwert gleich der Basis. (a 1 = a) Ist der Exponent 2, so spricht man z.b. bei (im) Quadrat. Ist die Basis 10, liegt eine sogenannte Zehnerpotenz vor. Dabei ist der Exponent gleich der Anzahl der Nullen des Potenzwertes. (10 5 = ) Rechengesetze Für Terme (und Gleichungen) gelten folgende Rechengesetze: Kommutativgesetz: Summanden und Faktoren lassen sich vertauschen. a + b = b + a; a b = b a Assoziativgesetz: Klammern lassen sich auflösen, falls sie ausschließlich Summen oder ausschließlich Produkte beinhalten: a + (b + c) = a + b + c; a (b c) = a b c; Bei Subtraktionen werden alle Vorzeichen in der Klammer verkehrt: a (b + c) = a (-b) c = a + b c KLAPPS -Regel: Reihenfolge der Termausrechnung: innerste KLAmmer vor Potenz vor Punkt vor Strich Distributivgesetz (ausmultiplizieren und ausklammern): Liegt eine Multiplikation oder Division mit einer/mehreren Klammer(n) vor, die eine/mehrere Addition(en) beinhaltet, lässt sich die Klammer auflösen, d. h. ausmultiplizieren (?): a (b + c) = ab + ac; a (b c) = ab ac; (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd; (a b) (c d) = ac ad bc + bd (aus minus mal minus wird plus); Dies alles kann man natürlich auch umkehren. Besitzen Summanden eines Terms alle den gleichen 1. Faktor, lässt sich dieser vor eine Klammer schreiben und alle 2. Faktoren in die Klammer, d. h. ausklammern (?): 2a + 2b + 2c = 2 (a + b + c); 2a 2b 2c = 2 (a b c); 2a + 3a + 4a = a (2+3+4) = a 9 = 9a; oft muss man die Faktoren zerlegen, um ausklammern (?) zu können: 2a + 4b + 10c = 2a + 2 2b + 2 5c = 2(a + 2b + 5c) weitere Grundbegriffe zum Rechnen mit Termen Betrag: Der Betrag der Zahl ist sein Abstand zur 0, z. B. der Betrag von -4 ist gleich dem Betrag von +4. Man stellt Beträge mit Hilfe von Betragsstrichen dar: -4 = 4 ; allgemein a = - a ; Zahlen mit dem gleichen Betrag und unterschiedlichen Vorzeichen (z. B. a und -a; 4 und -4) nennt man Gegenzahlen. 2

3 2. Geometrie Punkt, Gerade und Winkel Punkt und Gerade Punkte: Ein Punkt wird mit einem Großbuchstaben bezeichnet, zum Beispiel Punkt P. Geraden: Eine Gerade hat keine Enden, sie ist unendlich. Sie verläuft aber konstant gerade. Sie ist durch mindestens zwei Punkte, durch die sie verläuft, definiert. Eine Gerade wird entweder durch einen Kleinbuchstaben, zum Beispiel Gerade g, oder durch zwei Punkte, durch die sie verläuft, bezeichnet: Gerade AB. Strecken: Eine Strecke ist die kürzeste/direkte Verbindung zwischen zwei Punkten. Sie endet an den beiden Punkten. Sie wird durch die beiden Punkte, an denen sie endet, bezeichnet: Strecke [AB]. Die Länge von Strecken kann gemessen werden. Ein Strich über dem AB bedeutet, dass die Länge der Strecke gemeint ist. Beispiel: AB = 6 cm Halbgerade: Eine Halbgerade (auch Strahl genannt) hat nur ein Ende. Sie wird nach dem Punkt, in dem sie anfängt, und dem Punkt, durch den sie verläuft, bezeichnet: Halbgerade [AB. Abstand: Der Abstand z.b. von einem Punkt zu einer Gerade heißt d. Schreibweise: d(e;s) =... der Abstand von E zu s beträgt... Kreise: Ein Kreis wird definiert durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius. Alle Punkte auf der Kreislinie haben den gleichen Abstand zum Mittelpunkt. Diesen Abstand nennt man Radius. Der doppelte Radius, 2r, wird auch Durchmesser bezeichnet. Der Durchmesser ist eine Strecke zwischen zwei Punkten auf der Kreislinie, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft. d = 2r Parallel: Haben zwei Geraden/Halbgeraden/Strecken an jedem Punkt den gleichen Abstand zueinander, so sind sie parallel. Parallelen scheiden sich in keinem Punkt. Schreibweise s und t sind zueinander parallel : s t Senkrecht: Bilden zwei Geraden/Halbgeraden/Strecken an ihrem Schnittpunkt einen rechten Winkel, so liegen sie senkrecht aufeinander. Schreibweise q und t stehen aufeinander senkrecht : q t Winkel Winkel: Zwei Geraden/Halbgeraden/Strecken, die sich schneiden, bilden an ihrem Schnittpunkt Winkel. Größe von Winkeln: Die Größe jedes Winkels kann in (Grad) angegeben werden. Umso kleiner (spitzer) ein Winkel, desto weniger Grad ist er groß. Messen von Winkeln: Winkel werden immer gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Arten von Winkeln: Spitz: Unter einem spitzen Winkel versteht man einen Winkel, der kleiner als 90 und größer als 0 ist. Rechter Winkel: Ein Winkel, der genau 90 groß ist, nennt man rechten Winkel. Stumpf: Ein Winkel, der größer als 90, aber kleiner als 180 ist, ist ein stumpfer Winkel. Gestreckt: Ist ein Winkel genau 180 groß, ist er gestreckt. Überstumpf: Ist er größer als 180 und kleiner als 360, ist er überstumpf. Vollwinkel: Ein Winkel, der genau 360 groß ist, ist ein Vollwinkel. Bezeichnungen für Winkel: Winkel werden oft mit griechischen Buchstaben bezeichnet (z.b. α (alpha), β (beta), γ (gamma)) oder durch Punkte, durch die die Geraden/Strecken verlaufen: Winkel ABC bedeutet z.b. der Winkel zweier Strecken, von denen die erste Strecke durch B und A verläuft und die zweite durch B und C. Die Geraden schneiden sich hier in B. 3

4 Figuren Hinweis: In dieser Stoffübersicht werden Figuren als Oberbegriff für Flächen und Körper verwendet. Figuren wird außerhalb der Stoffübersicht jedoch auch oft als Begriff für Flächen verwendet, insbesondere ebene Figuren. Flächen Einleitung: Flächen sind zweidimensionale Figuren. Sie haben keinen Rauminhalt, jedoch kann man den Flächeninhalt und die Umfangslänge berechnen. Flächeninhalt: Die Größe dieser Fläche heißt Flächeninhalt. Den Flächeninhalt einer Figur misst man durch aufteilen der Fläche in Formen, von denen man den Flächeninhalt leicht berechnen kann. Solche sind z. B. Dreieck und Rechteck. Den Flächeninhalt bezeichnet man oft mit dem Buchstaben A, z. B. den Flächeninhalt des Rechtecks ABCD: A ABCD = Umfangslänge: Die Umfangslänge einer Fläche ist die Summe der Länge aller Strecken, aus denen er besteht. Rechteck: Ein Rechteck ist eine Fläche, die von vier Seiten begrenzt wird und deren vier Innenwinkel jeweils 90 groß sind. Das Rechteck ist ein Viereck. Zwei gegenüberliegende Seiten sind jeweils gleich lang (Länge und Breite). Flächeninhalt eines Rechtecks: A Rechteck = l b (Länge mal Breite) Umfangslänge eines Rechtecks: U Rechteck = 2l + 2b = 2(l+b) (2 mal die Länge der ersten Seite (Länge) und 2 mal die Länge der zweiten Seite (Breite)) Quadrat: Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem Länge und Breite gleich lang sind, d. h. alle vier Seiten sind gleich lang. Diese Seite nennt man oft a. Die Innenwinkel sind alle 90 groß, genauso wie im Rechteck. Flächeninhalt eines Quadrats: A Quadrat = a 2 (Seite im Quadrat) Umfangslänge eines Quadrats: U Quadrat = 4a (4 mal die Länge der Seite) Parallelogramm: Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die beiden gegenüberliegen Seiten jeweils parallel und gleich lang sind. Die Innenwinkel müssen jedoch nicht 90 groß sein, was den Unterschied zum Rechteck ausmacht. Die Distanz von zwei parallelen Seiten zueinander nennt man Höhe. Dreieck: Ein Dreieck ist eine Fläche, die von drei Punkten (die nicht auf einer Geraden liegen) und den Strecken zwischen den Punkten begrenzt wird. Der Abstand von einer Seite zum gegenüberliegenden Punkt nennt man Höhe (sie liegt senkrecht auf der Seite). Trapez: Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem ein Paar von gegenüberliegenden Seiten parallel liegen. Sie müssen nicht gleich groß sein. Die größere Seite nennt man im Allgemeinen Basis (oft mit dem Buchstaben a). Der Abstand zwischen den parallelen Seiten nennt man Höhe (oft h). Die beiden übrig bleibenden Seiten nennt man Schenkel. Sind sie gleich lang und haben den gleichen Basiswinkel (der Winkel zwischen Schenkel und Basis), liegt ein gleichschenkliges Trapez vor. Kreis: Alle Punkte einer Kreislinie haben den selben Abstand zum Mittelpunkt. Diesen Abstand nennt man Radius. Der doppelte Radius, d. h. die längstmögliche Strecke innerhalb des Kreises nennt man Durchmesser, weil er den kompletten Kreis durchmisst. Körper (diese werden in der 5. Klasse nur oberflächlich behandelt) Einleitung: Körper sind dreidimensionale Figuren. Sie haben einen Rauminhalt, den man berechnen kann (Volumen). Außerdem kann man den Oberflächeninhalt berechnen. Quader: Quader sind Körper, der aus sechs Flächen besteht, von denen gegenüberliegende Paare jeweils gleich groß sind. Alle Flächen sind Rechtecke; die Rechtecke stehen mit rechten Winkeln zueinander. Oberflächeninhalt eines Quaders: A Quader = 2 l b + 2 b h + 2 l h = 2 (l b + b h + l h) 4

5 Würfel: Ein Würfel ist ein Quader, dessen alle Flächen Quadrate sind. Alle Flächen sind somit gleich groß, haben die gleiche Form und stehen mit rechten Winkeln zueinander. Oberflächeninhalt eines Würfels: A Quader = 6 s 2 Prisma: Ein Prisma ist ein Körper, der ein Vieleck als Grund- und Deckfläche hat (Grund- und Deckfläche sind gleich, sowohl von Form als auch Größe; sie liegen parallel zueinander), die von Seitenflächen verbunden werden. Liegen Grund- und Deckfläche deckungsgleich übereinander, nennt man es gerades Prisma und alle Seitenflächen sind Rechtecke. (Kreis-)Zylinder: Ein Zylinder ist ein Körper, der einen Kreis als Grund- und Deckfläche hat (Grund- und Deckfläche sind gleich, sowohl von Form als auch Größe; sie liegen parallel zueinander), die einem Mantel verbunden werden. Liegen Grund- und Deckfläche deckungsgleich übereinander, nennt man ihn geraden Zylinder. Ein Zylinder besitzt unendlich viele Mantellinien. (da auf einem Kreis unendlich viele Punkte liegen) Pyramide: Verbindet man die Ecken eines n-ecks mit einem Punkt S außerhalb der n- Ecksebene durch Strecken, entsteht eine n-seitige Pyramide. Die Höhe der Pyramide ist die Lotstrecke von der Pyramidenspitze auf die Grundebene. Der (Kreis-)Kegel: Verbindet man jeden Punkt des Umfangs eines Kreises (Grundfläche) mit einem Punkt (Spitze) außerhalb der Kreisebene durch Strecken (Mantellinien), so entsteht ein Kreiskegel. Liegt die Spitze senkrecht über dem Kreismittelpunkt, so entsteht ein gerader Kreiskegel. Symmetrie Achsensymmetrie: Eine Figur, die man so falten kann, dass ihre beiden Teile genau aufeinander passen, nennt man achsensymmetrisch. Die Faltlinie nennt man Symmetrieachse. Eigenschaften von achsensymmetrischen Körpern: Zwei zueinander symmetrische Punkte/Geraden/Körper sind gleich weit von der Symmetrieachse entfernt. Die Symmetrieachse liegt in der Mitte von zwei zueinander symmetrischen Punkten. Die Hälfte des Abstandes von zwei zueinander symmetrischen Punkten ist der Abstand der Punkte zur Symmetrieachse. Die Verbindungsstrecke zweier symmetrischer Punkte wird von der Symmetrieachse halbiert. Der Schnittpunkt dieser Verbindungsstrecke mit der Symmetrieachse hat einen rechten Winkel. Symmetrisch liegende Strecken sind stets gleich lang. Symmetrisch liegende Winkel sind stets gleich groß (Achtung: Drehsinn!). Symmetrisch liegende Geraden schneiden einander auf der Symmetrieachse, wenn sie nicht parallel zu ihr sind. Jeder Punkt auf der Symmetrieachse ist zu sich selbst symmetrisch, man nennt sie Fixpunkte. Man nennt den zu A symmetrischen Punkt oft A' (A Strich), die zu g symmetrische Gerade g'. Größen Geometrische Einheiten Flächeninhalt: 1 km² = 100 ha = a = m² = dm² = cm²; 0,01 km² = 1 ha = 100 a = m² usw. Zeit: Jahr (a?), Tag (d), Stunde (h), Minute (min), Sekunde (sek) Masse: Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg); 1 t = 1000 kg = g = mg; 1 g = 1000 mg Maßstab Aufbau: a:b; Dabei steht a für das Modell und b für die Wirklichkeit. Meistens ist eins von beiden 1. Verkleinerung: Ist a < b, also das Modell kleiner als die Wirklichkeit, handelt es sich um eine Verkleinerung. (Beispiel: Landkarten, Modellbau) 5

6 Vergrößerung: Ist a > b, also das Modell größer als die Wirklichkeit, handelt es sich um eine Vergrößerung. (Beispiel: Mikroskop) Umrechnungen: 1. Kennt man den Maßstab und einen Wert des Modells, so kann man den Wert in der Wirklichkeit dazu anderen ausrechnen, indem man den Wert des Modells mit (b:a) multipliziert. Beispiel: Landkarte mit Maßstab 1 : ; Wie viel entspricht 1 cm im Bild? - 1cm : 1 = 1 cm = cm = 2km 2. Kennt man den Maßstab und einen Wert in der Wirklichkeit, so kann man den Wert des Modells dazu ausrechnen, indem man den Wert der Wirklichkeit mit (a:b) multipliziert. Beispiel: Landkarte mit Maßstab 1 : ; Wie viel entspricht 3 km in der Wirklichkeit? - 3 km 1:25000 = cm : = 12 cm 3. Kennt man einen Wert aus dem Modell und den zugehörigen Wert aus der Wirklichkeit, kann man den Maßstab ausrechnen, indem man den Wert aus dem Modell in den Zähler und den Wert aus der Wirklichkeit in den Nenner schreibt und den kleineren der beiden Werte auf null bringt. Beide Werte müssen auf die gleiche Einheit gebracht werden, dann wird die Einheit weggelassen. Beispiel: 22 cm im Bild entsprechen 121 m in Wirklichkeit. 22 cm : cm = 1 cm : 550 cm => 1 : 550 6

7 3. Darstellung und Kombinatorik Darstellung Diagramme Wichtige Arten von Diagrammen: Säulendiagramm, Bilddiagramm, Balkendiagramm, Strichoder Liniendiagramm (Punktdiagramm), Kreisdiagramm, Vierfeldertafel Das zweidimensionale Koordinatensystem Die Achsen: Es gibt die waagrechte Achse, die x-achse, und die senkrechte Achse, die y-achse. Der Schnittpunkt der beiden Geraden heißt Ursprung O. Definition eines Punktes: Ein Punkt im Koordinatensystem wird durch die x-koordinate (Abszisse) und die y-koordinate (Ordinate) beschrieben. Man schreibt P(3 2), wenn der Punkt vom Ursprung O (0 0) 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben verschoben ist. Quadranten: Ein Koordinatensystem hat 4 Quadranten. Als 1. Quadranten bezeichnet man den Quadranten rechts oben. Als 2. Quadranten bezeichnet man den Quadranten links oben. Als 3. Quadranten bezeichnet man den Quadranten rechts unten. Als 4. Quadranten bezeichnet man den Quadranten rechts unten. Darstellung von Termen Rechenbaum: Terme kann man in Rechenbäumen darstellen. Kombinatorik Permutation Allgemein: Möchte man die Anzahl der Möglichkeiten herausfinden, in welcher Reihenfolge man bestimmte Dinge anordnen kann, kann man ein Baumdiagramm zeichnen. Dabei muss man beachten, ob Dinge wiederholt werden können oder nur einmal vorkommen dürfen. Ohne Wiederholung: Möchte man zum Beispiel ausrechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, fünf Personen in einer Reihe aufzustellen, gibt es keine Wiederholung. Man muss also rechnen: Am Anfang hat man die Auswahl zwischen fünf Personen. 5. Danach hat man die Auswahl zwischen nur noch vier Personen Dann gibt es nur noch 3 Personen zur Auswahl: Dann nur noch zwei und am Ende bleibt nur eine Person übrig: = 5! (Fakultät) = 120. Mit Wiederholung: Möchte man zum Beispiel ausrechnen, wie viele Möglichkeiten es für eine vierstellige Pin gibt (Zahlen 0 bis 9, also jeweils 10 Möglichkeiten), muss man die Anzahl der Möglichkeiten hoch die Anzahl der Stellen rechnen: 10 4 = =