Ergänzende Informationen zum LehrplanPLUS. Grundlegende Inhalte Mathematik, Realschule, Jahrgangsstufe 5. Inhaltsverzeichnis

Transkript

1 Inhaltsverzeichnis Wichtige Symbole Rechenarten Quadratzahlen... Rechenregeln und Rechengesetze in IN Primfaktorzerlegung, Teilbarkeitsregeln... 4 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches... 5 Größen und Maßstab... 6 Grundlegende geometrische Figuren und Körper... 8 Rechnen in Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren Mögliche Darstellungsformen von Daten Kombinatorik... 19

2 Wichtige Symbole Rechenarten Quadratzahlen 1 Wichtige Symbole IN Menge der natürlichen Zahlen: { 1;;3;4; } IN 0 Menge der natürlichen Zahlen mit Null: { 0;1;;3;4; } G L { } Menge der ganzen Zahlen Grundmenge Lösungsmenge bzw. leere Menge V Vielfachenmenge z. B.: V = { 3;6;9; } T Teilermenge z. B.: T = { 1;;3;4;6;1} Element von z. B.: 6 { 3;6;9;1; } nicht Element von z. B.: 5 { 3;6;9;1; } = ist gleich ungleich < kleiner als kleiner oder gleich > größer als größer oder gleich a b a ist Teiler von b a ł b a ist nicht Teiler von b a (absoluter) Betrag von a ungefähr gleich 3 1 Die Rechenarten Term Termname 1 3 Rechenzeichen/ Rechenart Summe 1. Summand. Summand + addieren 1 3 Differenz Minuend Subtrahend subtrahieren 1 3 Produkt 1. Faktor. Faktor multiplizieren 1 : 3 Quotient Dividend Divisor : dividieren Ergebnis 15 Wert der Summe 9 Wert der Differenz 36 Wert des Produkts 4 Wert des Quotienten 3 4 = 444 Potenz Basis Grundzahl Exponent Hochzahl (Anzahl der Faktoren) potenzieren 64 Wert der Potenz Seite von 19

3 3 Quadratzahlen 1 = 1 5 = 5 9 = = = 89 = 4 6 = = = = 34 3 = 9 7 = = = 5 19 = = 16 8 = 64 1 = = 56 0 = 400 Rechenregeln und Rechengesetze in IN 0 1 Die Zahl Null Für alle a IN gilt: a+ 0= a z. B.: = 5 a 0= a z. B.: 5 0 = 5 a0 = 0 z. B.: 5 0 = 0 0:a= 0 z. B.: 0 : 5 = 0 a : 0 = nicht definiert!!! (Man darf nicht durch Null teilen!) Rechenregeln Klammern: von innen nach außen Potenzen vor Punktrechnung vor Strichrechnung [ ( )] z. B.: [ ] = [ ] = = = = Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) der Addition a+ b= b+ a z. B.: = der Multiplikation ab = ba z. B.: 3 4 = Assoziativgesetz (Klammergesetz) der Addition ( a+ b) + c= a+ ( b+ c ) z. B.: ( + 3) + 4 = + ( 3 + 4) der Multiplikation ( ab ) c= a ( bc ) z. B.: ( 3) 4 = ( 3 4) Seite 3 von 19

4 5 Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) ( + ) = + ( ) ( ) = ( ) ( + ) = + ( ) ( ) = ( ) a b c ac bc z. B.: = = = = 17 c a b ac bc z. B.: = = = = 7984 a b :c a:c b:c z. B.: 31 : 3 = : 3 = 300 : : 3 = = 104 a b :c a:c b:c z. B.: 597 : 3 = : 3 = 600 : 3 3 : 3 = 00 1= 199 Primfaktorzerlegung, Teilbarkeitsregeln 1 Primzahlen Natürliche Zahlen, die nur durch 1 oder durch sich selbst teilbar sind, heißen Primzahlen. Die ersten zehn Primzahlen: ; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 3; 9 Zerlegen von Zahlen in Primfaktoren Jede natürliche Zahl (außer 1), die keine Primzahl ist, kann man als Produkt schreiben, dessen Faktoren nur Primzahlen sind. Diese nennt man Primfaktoren. Die Darstellung einer Zahl als Produkt aus lauter Primfaktoren heißt Primfaktorzerlegung. Beispiele: 60 = 30 = 15 = = 63 = 79 = 733 = Teilbarkeitsregeln Eine Zahl ist teilbar durch:, wenn ihre letzte Ziffer durch teilbar ist. 3, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist. 5, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist. 9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. 5, wenn ihre letzten beiden Ziffern 00, 5, 50 oder 75 sind. eine Stufenzahl, wenn sie mindestens gleich viele Endnullen besitzt wie die Stufenzahl. Beispiele: 54 da 4, aber 437 da da = 15 und 3 15, aber da = 10 und , aber , aber Seite 4 von 19

5 Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches 1 Der größte gemeinsame Teiler (ggt) Zu jeder Zahl kann man ihre Teilermenge angeben. Beispiel: T = { 1; ; 3; 5; 6 ; 10; 15; 30} T = { 1; ; 3; 4; 6 ; 1} 30 Die gemeinsamen Teiler beider Zahlen lauten: 1,, 3 und 6 Der größte gemeinsame Teiler beider Zahlen: ggt( 30;1) = 6 1 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) Zu jeder Zahl kann man ihre Vielfachenmenge angeben. Beispiel: V = { 8;16; 4;3;40; 48;56;64; 7 ;...} V = { 1; 4;36; 48;60; 7 ;...} 8 Die gemeinsamen Vielfachen beider Zahlen lauten: 4, 48, 7,... Das kleinste gemeinsame Vielfache beider Zahlen: kgv( 8;1) = 4 1 Seite 5 von 19

6 Größen und Maßstab z. B.: 5 cm Maßzahl Maßeinheit 1 Geld 1 = 100 ct : Euro, ct: Cent Beispiele: 3,3 = 33 ct 671ct = 67,1 Zeit 1a = 365 d a: Jahr 1d = 4 h d: Tag 1h = 60 min h: Stunde 1min = 60 s min: Minute 1s s: Sekunde 3 Beispiele: 7 h = 3 d 100 min = 1h 40 min 4 h = 45 min 0,5 min = 30 s 3 Masse Umwandlungszahl t = 1000 kg t: Tonne 1kg = 1000 g kg: Kilogramm 1g = 1000 mg g: Gramm 1mg mg: Milligramm 1 Beispiele: 6000 kg = 6 t 34 kg = mg 4 t = 50 kg 1,5 kg = 1500 g Seite 6 von 19

7 4 Länge Umwandlungszahl km = 1000 m km: Kilometer Umwandlungszahl 10 1m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm m: Meter 1dm = 10 cm dm: Dezimeter 1cm = 10 mm cm: Zentimeter 1mm mm: Millimeter Beispiele: 450 cm = 45 dm 3 km = cm 1,35 m = 135 cm 50 cm = 0,5 m 5 Hohlmaß 1h = 100 h : Hektoliter Umwandlungszahl 10 1 = 10 d = 100 c = 1000 m : Liter 1d = 10 c d : Deziliter 1c = 10 m c : Zentiliter 1m m : Milliliter 3 Beispiele: 0,5 = 500 m 5 h = c = 50 m = 0,5 4 = 0,75 = 750 m 6 Maßstab Gegenstände oder Landschaften kann man mithilfe des Maßstabes verkleinert oder vergrößert darstellen. Beispiele: 1) Maßstab 1: (z. B. Landkarte): 1 cm auf der Landkarte entspricht cm in Wirklichkeit. ) Maßstab 4:1 (z. B. vergrößertes Bild einer Ameise): 4 cm im Bild entsprechen 1 cm in Wirklichkeit. Seite 7 von 19

8 Grundlegende geometrische Figuren und Körper 1 Punkte und Linien Beschreibung Symbol Zeichnung 1. Der Punkt A A. Die Menge der Punkte A, B und C { ABC ; ; } 3. Die Strecke vom Punkt B zum Punkt C BC 4. Die Länge der Strecke von E nach F beträgt,5 cm. =,5 cm EF 5. Die Halbgerade h, die im Punkt A beginnt und durch den Punkt D hindurchgeht. h = [ AD 6. Die Gerade g, die durch die Punkte B und C verläuft. g = BC 7. Die Gerade g verläuft parallel zur Geraden h. g h 8. Die Gerade m steht senkrecht auf der Geraden h. m h 9. Der Punkt C liegt auf der Geraden g. (Der Punkt C ist ein Element der Geraden g.) C g 10. Der Punkt F liegt nicht auf der Geraden, die durch die Punkt A und B verläuft. (Der Punkt F ist nicht Element der Geraden AB.) F AB 11. Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S. g h = { S } 1. Abstand eines Punktes P von einer Geraden g d( P;g ) Seite 8 von 19

9 Ebene Figuren Kreis Kreissektor mit Mittelpunktswinkel α Dreiecke allgemein gleichschenklig a = b; α=β gleichseitig rechtwinklig a= b= c= d; α=β=γ= 60 Seite 9 von 19

10 Vierecke Allgemein Quadrat a= b= c= d Rechteck Raute a = c; b= d a= b= c= d; α=γ; β=δ Parallelogramm Drachenviereck a = c; b= d; AB CD ; a= d; c= b; β=δ BC AD ; α=γ; β=δ gleichschenkliges Trapez b = d; AB CD ; α=β; γ=δ 3 Körper Quader Würfel Prisma Pyramide Zylinder Kegel Kugel Seite 10 von 19

11 4 Winkel 4.1 Bezeichnung Ein Winkel wird von zwei Halbgeraden (Schenkel) gebildet, die einen gemeinsamen Anfangspunkt (Scheitelpunkt S oder Scheitel S) haben. Der Winkel ASB ( ASB) hat das Maß α. (Achtung: Winkel werden stets gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet!) 4. Winkelarten spitzer Winkel rechter Winkel stumpfer Winkel 0 <α< 90 β= <γ< 180 gestreckter Winkel überstumpfer Winkel Vollwinkel δ= <ε< 360 ϕ= Scheitel- und Nebenwinkel Gegenüberliegende Winkel an einer Geradenkreuzung heißen Scheitelwinkel und haben gleiches Maß, z. B.: α=γ oder β=δ. Nebeneinanderliegende Winkel an einer Geradenkreuzung heißen Nebenwinkel und ergeben zusammen 180, z. B.: α+δ= 180. Seite 11 von 19

12 5 Koordinatensystem 6 Zeichnen von Schrägbildern 1. Schritt Lege die Kanten auf Gitterlinien und zeichne die Vorderfläche des Würfels oder Quaders.. Schritt Zeichne die nach hinten verlaufenden Kanten auf Kästchendiagonalen und zeichne diese Kanten auf die Hälfte verkürzt. 3. Schritt Verbinde die Eckpunkte. Seite 1 von 19

13 Rechnen in Alle Rechengesetze und Regeln, die für natürliche Zahlen gelten, behalten ihre Gültigkeit! 1 Addition und Subtraktion in 1.1 Zahl und Gegenzahl Zwei Zahlen, deren Zahlenpfeile sich nur durch die Richtung unterscheiden, nennt man Zahl und Gegenzahl. Beispiele: Gegenzahl zu 9: 9 Gegenzahl zu 1: 1 1. Betrag einer Zahl Unter dem Betrag einer Zahl versteht man die Maßzahl der Länge ihres Zahlenpfeils (Abstand zur Zahl 0). Da Zahl und Gegenzahl gleichlange Zahlenpfeile besitzen, ist ihr Betrag gleich: z. B.: 4 = + 4 = Rechenzeichen Vorzeichen Die Rechenart wird bestimmt durch das Rechenzeichen. Das Vorzeichen gibt an, ob die Zahl positiv oder negativ ist. ( + 4 ) + ( 3 ) Vorzeichen Vorzeichen Rechenzeichen 1.4 Addition mit gleichen Vorzeichen ( + 4) + ( + 3) =+ ( 4+ 3) =+ 7 ( ) ( ) ( ) = 4+ 3 = 7 Regel: 1. Man addiert die Beträge.. Man ordnet der Summe der Beträge das gemeinsame Vorzeichen zu. ( + a) + ( + b) =+ ( a+ b ) ( ) + ( ) = ( + ) a b a b ab, 0 Seite 13 von 19

14 1.5 Addition mit verschiedenen Vorzeichen ( 4) + ( + 3) = ( 4 3) = 1 ( ) ( ) ( ) =+ 4 3 =+ 1 Regel: 1. Man subtrahiert den kleineren Betrag vom größeren Betrag.. Man ordnet der Differenz das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag zu. ( a) + ( + b) = ( a b ) ( + ) + ( ) =+ ( ) a b a b a> b Subtraktion Beachte: Jede Subtraktion lässt sich durch die Addition der Gegenzahl ersetzen. Beispiele: ( + 4) ( + 3) = ( + 4) + ( 3) =+ 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = =+ 7 a ( + b) = a+ ( b ) a ( b) = a+ ( + b ) 1.7 Vereinfachtes Rechnen mit ganzen Zahlen Für das Zusammentreffen von Vorzeichen und Rechenzeichen gelten folgende Regeln: + ( + ) =+ + ( ) = ( ) =+ ( + ) = ( 1) + ( + 3) ( + 9) ( 8) + ( + 7) 1. Klammern auflösen nach obiger Regel = Entweder von links nach rechts rechnen oder Rechengesetze zum vorteilhaften Rechnen anwenden. = = Subtrahieren des kleineren Betrags vom größeren Betrag und zuordnen des Vorzeichens der Zahl mit dem größeren Betrag zur Differenz. = 3 Seite 14 von 19

15 Multiplikation und Division in - Vorzeichenregeln Der Produkt- bzw. Quotientenwert hat ein positives Vorzeichen, wenn beide Zahlen das gleiche Vorzeichen haben. ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) : ( + ) ( + ) ( ) : ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) : ( ) ( ) ( ) : ( + ) ( ) Der Produkt- bzw. Quotientenwert hat ein negatives Vorzeichen, wenn beide Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben. Beispiele ( + 8 ) ( + 3 ) = + 4 ( 8 ) ( 3 ) = + 4 ( + 4 ) : ( + 6 ) = + 7 ( 4 ) : ( 6 ) = + 7 ( 8 ) ( + 3 ) = 4 ( + 8 ) ( 3 ) = 4 ( 4 ) : ( + 6 ) = 7 ( + 4 ) : ( 6 ) = 7 Seite 15 von 19

16 Umfang und Flächeninhalt ebener Figuren 1 Maßeinheiten Flächeninhalt Umwandlungszahl 100 1km = 100 ha km : Quadratkilometer 1ha = 100 a ha: Hektar 1a = 100 m a: Ar 1m = 100 dm m : Quadratmeter 1dm = 100 cm dm : Quadratdezimeter 1cm = 100 mm cm : Quadratzentimeter 1mm mm : Quadratmillimeter Beispiele: cm = 1 m a = 00 m 678 ha = m 5 km 1 a = a Rechteck Umfang (u) des Rechtecks: u= a + b u = (a + b) Flächeninhalt (A) des Rechtecks: A= ab 3 Quadrat Umfang (u) des Quadrats: u= 4a Flächeninhalt (A) des Quadrats: A= aa A= a 4 Zusammengesetzte Figuren in geeignete Teilfiguren zerlegen A = A + A ges 1 = cm 8 cm + cm 5 cm = 16 cm + 10 cm = 6 cm Seite 16 von 19

17 Mögliche Darstellungsformen von Daten 1 Säulendiagramm Die Lieblingsfarben der Schüler einer 5. Jahrgangsstufe Anzahl blau rot grün schwarz türkis Farben Balkendiagramm Die Lieblingsfarben der Schüler einer 5. Jahrgangsstufe türkis schwarz Farben grün rot blau Anzahl 3 Kreisdiagramm Die Lieblingsfarben der Schüler einer 5. Jahrgangsstufe türkis; 10 schwarz; 5 blau; 0 grün; 9 rot; 16 Seite 17 von 19

18 4 Liniendiagramm 14 1 Temperaturverlauf eines Apriltages Temperatur in C :00 1:00 19:00 3:00 Uhrzeit 5 Vierfeldertafel Mädchen Junge Spaltensumme Haustier kein Haustier Zeilensumme Mädchen, die Haustiere haben Jungen, die Haustiere haben Schüler mit Haustieren Mädchen, die kein Haustier haben Jungen, die kein Haustier haben Schüler ohne Haustiere Mädchen in der Klasse Jungen in der Klasse Schüler in der Klasse Haustier kein Haustier Mädchen Junge Seite 18 von 19

19 Kombinatorik Mithilfe eines Baumdiagramms kann man Kombinationsmöglichkeiten bestimmen. Beispiel: Anna, Lisa und Johannes sollen sich nebeneinander aufstellen. Links Mitte Rechts A L J J L AJL AL J L A J J A LA J LJA J A L L A JA L JL A Es gibt sechs Möglichkeiten. Seite 19 von 19