Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind.

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1 1 Sätze über Winkel Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, nennt man eine Geradenkreuzung. α α Nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel, sie β ergeben zusammen stets Gegenüberliegende Winkel heißen Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß. β Doppelkreuzung: Die Winkelpaare a 1 und a 2, b 1 und b 2, g 1 und g 2 sowie d 1 und d 2 heißen Stufenwinkel (F-Winkel). a 1 und g 2, b 1 und d 2, g 1 und a 2 sowie d 1 und b 2 heißen Wechselwinkel (Z- Winkel). g h δ 1 α 1 δ 2 α 2 γ 2 Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind. β 2 γ 1 β 1 Innenwinkel bei Dreiecken und Vierecken: Die Summe der (Innen-)Winkel ergibt in jedem Dreieck 180, in jedem Viereck 360. Seite 1 von 12

2 2 bbildungen und Symmetrien 2.1 Symmetrie zu einer chse a bbildungsvorschrift der chsenspiegelung: ei gegebener chse a wird jedem Punkt P der Ebene ein ildpunkt P auf folgende Weise zugeordnet: Falls P a, liegt P so, dass [PP ] von der chse a rechtwinklig halbiert wird. Falls P a ist, gilt P = P (Fixpunkt) Die Spiegelachse und alle senkrecht zu ihr verlaufenden Geraden sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer chsenspiegelung wieder auf sich abgebildet wird, heißt achsensymmetrisch. 2.2 Symmetrie zu einem Punkt P bbildungsvorschrift der Punktspiegelung: ei gegebenem Zentrum Z wird jedem Punkt P der Ebene ein ildpunkt P so zugeordnet: Für P Z liegt P so, dass P PZ und PZ = P'Z Für P = Z ist P = Z (Fixpunkt). lle Geraden durch Z sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer Punktspiegelung wieder auf sich abgebildet wird, heißt punktsymmetrisch. = Z a Seite 2 von 12

3 3 esondere Dreiecke 3.1 Das gleichschenklige Dreieck Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten (Schenkel) heißt gleichschenklig. Die dritte Seite heißt asis. Jede der folgenden ussagen ist gleichwertig: Das Dreieck ist gleichschenklig. Das Dreieck ist achsensymmetrisch. Das Dreieck besitzt zwei gleich große Winkel. asis 3.2 Das gleichseitige Dreieck Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt gleichseitig. Seine Innenwinkel betragen jeweils Das rechtwinklige Dreieck Ein Dreieck hat genau dann bei einen rechten Winkel, wenn auf dem Halbkreis über [] liegt. (Thaleskreis) Die Schenkel des rechten Winkels sind die Katheten, die Gegenseite des rechten Winkels ist die Hypotenuse (längste Seite). Seite 3 von 12

4 4 esondere Vierecke 4.1 Parallelogramm Ein Viereck, bei dem je zwei Gegenseiten parallel sind, heißt Parallelogramm. Jede der folgenden ussagen ist gleichwertig: Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch. Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. Sonderfälle: Die Raute ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten. Das Rechteck ist ein Parallelogramm mit 4 gleich großen Winkeln. Das Quadrat ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten und 4 gleich großen Winkeln. 4.2 Trapez Ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind, heißt Trapez. Ein achsensymmetrisches Trapez heißt auch gleichschenkliges Trapez. 4.3 Drachenviereck Ein Viereck heißt Drachenviereck, wenn es eine Symmetrieachse durch zwei Gegenecken hat. Seite 4 von 12

5 5 Kongruenz Figuren, die sich beim ufeinanderlegen decken, heißen deckungsgleich oder kongruent. Sind zwei Figuren F und G kongruent, so schreibt man kurz: G. In kongruenten Figuren sind einander entsprechende Winkel gleich groß und einander entsprechende Seiten gleich lang. Kongruenzsätze für Dreiecke SSS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten übereinstimmen. SWS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen. WSW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und SWW: zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen. SsW: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen. eziehungen zwischen Seiten und Winkeln: In jedem Dreieck liegt der längsten Seite der größte Winkel gegenüber. Seite 5 von 12

6 6 esondere Linien im Dreieck Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Sein Mittelpunkt ist der gemeinsame Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu den Dreiecksseiten. Umkreis In jedem Dreieck schneiden sich die Winkelhalbierenden in genau einem Punkt. In jedem Dreieck schneiden sich die Höhen in genau einem Punkt. Seite 6 von 12

7 7 Konstruktionen 7.1 Mittelsenkrechte 1. Kreis um und mit gleichem Radius r 2. Gerade durch die Schnittpunkte ist die Mittelsenkrechte von [] 7.2 Winkelhalbierende 1. Kreis um S mit beliebigem Radius r schneidet die beiden Schenkel des Winkels in G und H 2. Mittelsenkrechte zu [GH] ist die Winkelhalbierende S α H G w α 7.3 Lot errichten (P g) 1. Kreis um P schneidet die Gerade g in und. 2. Mittelsenkrechte der Strecke [] ist das gesuchte Lot P g 7.4 Lot fällen (P g) P 1. Spiegele P an der chse g. 2. Gerade PP ist das gesuchte Lot. g P' Seite 7 von 12

8 8 Terme 8.1 Terme mit Variablen Treten in einem Term (Rechenausdruck) verschiedene Variablen auf, dann dürfen diese mit verschiedenen oder mit gleichen Zahlen belegt werden. Tritt aber dieselbe Variable mehrmals in einem Term auf, so muss sie jeweils mit derselben Zahl belegt werden. Erst wenn man die Variablen in einem Term mit Zahlen belegt, erhält man den Wert des Terms. eispiele: T(x) = x 2-3x T(-4) = (-4) 2-3 (-4) = = 28 T(a;b) = 2b a² T(3;2) = 2 2 3² = 4 9 = 5 eachte: 3 x = 3x x³ = x x x 8.2 Termumformungen Umformungen sind nach den gültigen Rechengesetzen (Kommutativ- und ssoziativgesetze, Klammerregeln) möglich. Distributivgesetz: a (b+c) = a b + a c Seite 8 von 12

9 Klammern auflösen: Steht ein Plus vor der Klammer, kann man die Klammer ohne weiteres weglassen. Steht ein Minus vor der Klammer, lässt man die Klammer weg und kehrt gleichzeitig alle Rechenzeichen in der Klammer um. eispiele: y + [3x + (5x 2y)] = y + [3x + 5x 2y] = y + 3x + 5x 2y x - (y 2-2x) + y 2 = x - y 2 + 2x + y 2 Termglieder zusammenfassen: Summen werden vereinfacht, indem man gleichartige Summanden zusammenfasst. eispiel: x - y 2 + 2x + y 2 = x + 2x - y 2 + y 2 = 3x ei einer Summe ungleichartiger Terme, etwa 3a + 4a 2, ist kein Zusammenfassen möglich. ei einer Summe von Produkten werden zunächst die einzelnen Produkte vereinfacht. Dann werden die Summanden, in denen die gleichen Variablen mit jeweils derselben Potenz vorkommen, zusammengefasst. eispiele: 3x² + (5x)² + 3x = 3x² + 25x² + 3x = 28x² + 3x 3x 4x + 2 x 5x = 12x² + 10x² = 22x² Seite 9 von 12

10 Multiplizieren von Summen: Zwei Summen werden multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit allen Summanden der zweiten Klammer multipliziert (unter erücksichtigung der Vorzeichen) und die Produkte addiert: eispiele: (a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd (2x + 3y)(3-4x) = 6x - 8x 2 + 9y - 12xy (3x 2y)(4x 10)=12x² - 30x 8xy + 20y Faktorisieren: Durch usklammern gemeinsamer Faktoren oder mit Hilfe der binomischen Formeln kann man bestimmte Summen faktorisieren. eispiele: -4a + 4b = -4(a b) ac + bc ad bd = c(a + b) d (a + b) = (a + b) (c d) Seite 10 von 12

11 9 Lineare Gleichungen Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addiert (subtrahiert) oder auf beiden Seiten mit derselben von Null verschiedenen Zahl multipliziert (dividiert). Solche Umformungen sind Äquivalenzumformungen. 5 0,5x = 3 + 0,75x + 0,5x 5 = 3 + 1,25x 3 2 = 1,25x : 1,25 1,6 = x L = {1,6} falls G = Q L = { } falls G = N Eine lineare Gleichung hat entweder genau eine Zahl oder keine Zahl (unerfüllbare Gleichung) oder alle Zahlen der Grundmenge (allgemeingültige Gleichung) als Lösung. Seite 11 von 12

12 10 Daten und Diagramme Das arithmetische Mittel (=Mittelwert) einer Datenreihe erhält man, wenn man alle Werte addiert und den Summenwert dann durch die nzahl der Werte dividiert. eispiel: Notenverteilung bei einer Mathematikschulaufgabe Note nzahl ( ) : 30 = 3,3 Verschiedene Diagrammtypen zu obigem eispiel: Säulendiagramm nzahl Note Liniendiagramm Note alkendiagramm nzahl Kreisdiagramm nzahl Note Note 6 Note 1 3% 7% Note 5 17% Note 2 23% Note 4 23% Note 3 27% Seite 12 von 12