GRUNDWISSEN MATHEMATIK

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1 7.Jahrgangstufe ALGEBRA Seite 1 1. Terme 3a ist ein Term; a ist eine Variable; 3 heißt Koeffizient. Termberechnung: Es können nur gleichartige Terme ( = Terme mit gleichen Variablen) zusammengefasst, d.h. addiert bzw. subtrahiert, werden. Beispiel: 5m² + 7m + 3 geht nicht ax² + 3ax + 5ax² = 6ax² +3ax Fachausdrücke der Termgliederung : Term Bezeichnung a heißt b heißt a+b Summe 1. Summand 2. Summand a-b Differenz Minuend Subtrahend a*b Produkt 1. Faktor 2. Faktor a:b Quotient Dividend Divisor a Bruch Zähler Nenner b a b Potenz Basis Exponent 2. Der Betrag einer Zahl Unter dem Betrag einer Zahl versteht man die stets positive Maßzahl ihrer Entfernung vom Nullpunkt. Beispiel: 2 = 2; 2 = 2; x, wenn x 0 Es gilt: x = -x, wenn x < 0 { 3. Regeln für die Addition und Subtraktion rationaler Zahlen Zwei rationale Zahlen mit gleichen Vorzeichen werden addiert, indem man ihre Beträge addiert und das gemeinsame Vorzeichen voranstellt. Zwei rationale Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen werden addiert, indem man die kleinere von der größeren Zahl subtrahiert und als Vorzeichen das der dem Betrage nach größeren Zahl wählt. Beispiele: = (+32) + (+45) = +( ) = = (-32) + (-45) = - ( ) = = (+45) + (-32) = +(45 32) = = (+32) + (-45) = -(45 32) = Klammerregeln Regeln für das Auflösen von Klammern: - Steht ein + vor der Klammer, so kann die Klammer einfach weggelassen werden. - Steht ein - vor der Klammer, so müssen beim Weglassen der Klammer alle Rechenzeichen in der Klammer geändert werden. - Beispiele: a + ( b + c - 2d) = a + b + c 2d a ( b + c 2d) = a b c + 2d Regeln für das Setzen von Klammern: - Setzt man vor die Klammer ein +, so bleiben die Glieder innerhalb der Klammer unverändert.

2 7.Jahrgangstufe ALGEBRA Seite 2 - Setzt man vor die Klammer ein ``, so ändern alle Glieder innerhalb der Klammer ihr Rechenzeichen. - Beispiele: a + b + 2c d = a + ( b + 2c d) a b + 2c d = a ( b 2c + d) 5. Zeichenregeln bei der Multiplikation und Division - Bei gleichem Vorzeichen wird das Ergebnis positiv. - Bei verschiedenen Vorzeichen wird das Ergebnis negativ. 6. Das Lösen von Gleichungen - Eine Gleichung ist eine Aussageform mit einem =. - Die Grundmenge G ist die Menge der Zahlen, die für die unbekannte Variable eingesetzt werden dürfen. - Die Lösungsmenge L ist die Menge der Zahlen aus der Grundmenge, die die Gleichung erfüllen. Stets gilt L G. - Äquivalenzumformungen sind Umformungen, bei denen sich die Lösungsmenge nicht ändert, also darf man - auf beiden Seiten gleiche Zahlen oder gleiche Vielfache von Variablen addieren bzw. subtrahieren und - beide Seiten mit gleichen Zahlen ( 0) multiplizieren bzw. durch gleiche Zahlen ( 0) dividieren. - Beispiel: G = Q 5x 5 = 2x 23 / -2x 5x 2x 5 = -23 / +5 3x = -18 / :3 x = -6 G L = { -6} 7. Das Lösen von Ungleichungen Die Lösungsmethode entspricht der bei Gleichungen mit folgendem Unterschied: Bei der Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden. Beispiel G = Q -3x < 18 / : (-3) x > -6 L = ]-6; + [ 8. Multiplikationsregeln von Summen Summen werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer unter Beachtung der Zeichenregel multipliziert. Beispiel: ( 3x + 4) * ( 2x 1) = 6x² - 3x + 8x 4 = 6x² + 5x 4 9. Die binomischen Formeln 1. (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. (a b)² = a² - 2ab + b² 3.( a + b)*( a b)= a² - b² 4. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 5. ( a b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

3 7.Jahrgangstufe GEOMETRIE Seite 3 1. Wichtige Symbole und Schreibweisen a. Strecken und Geraden A A B B [AB] ist die Strecke g = AB ist die Gerade [AB ist die Halbgerade mit den Endpunkten A und B durch die Punkte A und B oder der Strahl von A nach B Unterscheide: AB ist die Länge der Strecke [AB]. g h bedeutet: g und h stehen aufeinander senkrecht g h bedeutet: g und h sind zueinander parallel b. für Kreise Die Kreislinie k bilden alle Punkte, deren Abstand von M gleich dem Radius r ist: k = {P/ PM = r} A Das Kreisinnere k i bilden alle Punkte S, deren Abstand von M kleiner als der Radius r ist: k i = {S/ SM < r} Das Kreisäußere k a bilden alle Punkte Q, deren Abstand Von M größer als der Radius r ist: k a = {Q/QM > r} B 2. Winkelsätze a. an Geradenkreuzungen b. In Dreiecken und Vierecken α und γ heißen Scheitelwinkel Scheitelwinkel sind gleich groß: α = γ und β = δ α und β heißen Nebenwinkel. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180 : α + β = 180 ; β + γ = 180 ; γ + δ = 180 ; δ + α = 180 Winkelsummensatz im Dreieck In einem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180. α + β + γ = 180 Außenwinkelsatz im Dreieck In einem Dreieck ist ein Außenwinkel so groß wie die * Summe der nichtanliegenden Innenwinkel. z.b. α + β = γ Winkelsummensatz im Viereck: In einem Viereck beträgt die Summe der Innenwinkel 360.

4 7.Jahrgangstufe GEOMETRIE Seite 4 c. an Doppelkreuzungen mit parallelen Geraden An Doppelkreuzungen treten folgende Winkelpaare auf: Z-Winkel oder Wechselwinkel z.b. α und β F-Winkel oder Stufenwinkel z.b. γ und δ Winkelgesetz an Parallelen: An einer Doppelkreuzung mit parallelen Geraden sind Stufenwinkel bzw. Wechselwinkel paarweise gleich groß. Erkennungsmerkmal für Parallelen: An einer Doppelkreuzung mit gleichgroßen Stufen- und Wechselwinkeln sind zwei Geraden parallel. 3. Wichtige Grundkonstruktionen ( Teil1) a. Die Winkelübertragung Ein Winkel der Größe ϕ soll so übertragen werden, dass der neue Scheitel der Punkt P g ist und der 1. Schenkel mit g zusammenfällt.( siehe a) Konstruktion und Konstruktionsbeschreibung: 1.Zeichne 2 Kreise mit gleichem Radius um S und P ( siehe b). Der Kreis um S schneidet die Schenkel des Winkels ϕ in den Punkten Q und R, der Kreis um P schneidet die Gerade g im Punkt Q. 2. Nimm die Sehnenlänge QR in den Zirkel und übertrage sie von Q aus auf den Kreis mit Mittelpunkt P. Du erhältst R.( siehe c) 3. Die Halbgerade [PR ist der 2. Schenkel des Winkels ϕ. Da in gleichgroßen Kreisen zu gleich langen Sehnen gleich große Mittelpunktswinkel gehören, gilt ϕ = ϕ. ( siehe d)

5 7.Jahrgangstufe GEOMETRIE Seite 5 b. Die Konstruktion paralleler Geraden Zu einer Geraden g soll durch einen Punkt P außerhalb von g die Parallele konstruiert werden ( siehe a). Konstruktion und Konstruktionsbeschreibung: 1. Zeichne eine Gerade h durch P, die g in S unter dem Winkel ϕ schneidet ( siehe b). 2. Übertrage den Winkel ϕ als Wechselwinkel in P an h. 4.Kongruenzabbildungen a. Die Achsenspiegelung Die Achsenspiegelung an einer Symmetrieachse a ist folgendermaßen festgelegt: -Jeder Punkt der Achse ist Fixpunkt der Abbildung. A a A -Jeder Punkt außerhalb der Achse bestimmt mit seinem Bildpunkt eine Strecke, die Lot zur Achse ist und von dieser halbiert wird. B a B und C a C Eigenschaften der Achsenspiegelung: -Geradentreue: Geraden werden wieder auf Geraden abgebildet. Zur Achse senkrechte Geraden werden auf sich selbst abgebildet ( Fixgeraden). -Längentreue: Zueinander symmetrische Strecken haben die gleiche Länge. -Winkeltreue: Zueinander symmetrische Winkel sind gleich groß mit verschiedenem Drehsinn. - Kreistreue: Kreise werden wieder auf gleich große Kreise abgebildet. b. Die Punktspiegelung Die Punktspiegelung am Symmetriezentrum S ist folgendermaßen festgelegt: - Jeder vom Zentrum verschiedene Punkt bestimmt mit seinem Bildpunkt eine Strecke, die vom Zentrum halbiert wird. AS = SA

6 7.Jahrgangstufe GEOMETRIE Seite 6 Eigenschaften der Punktspiegelung: - Die Punktspiegelung ist eine Drehung um S um ϕ = Sie lässt sich durch zwei Achsenspiegelungen ersetzen. Die Achsen schneiden sich dabei senkrecht im Punkt S. - Sie hat die gleichen Treueeigenschaften wie die Achsenspiegelung. Geraden, die S enthalten, werden auf sich selbst abgebildet ( Fixgeraden). Zueinander symmetrische Winkel sind gleich groß und haben den selben Drehsinn. c. Die Drehung Die Drehung um den Drehpunkt D mit dem Drehwinkel ϕ ist folgendermaßen festgelegt: - Punkt A und Bildpunkt A sind vom Drehpunkt D gleich weit entfernt. - Der Winkel ADA ist gleich dem Drehwinkel ϕ. Eigenschaften der Drehung - Die Drehung lässt sich durch zwei Achsenspiegelungen ersetzen. Die beiden Achsen schneiden sich unter 2 ϕ im Drehpunkt D. - Sie hat die gleiche Treueeigenschaften wie die Achsenspiegelung. Winkel behalten ihren Drehsinn. d. Die Verschiebung Die Verschiebung mit dem Verschiebungspfeil v ist folgendermaßen festgelegt: - Alle Punkt-Bildpunkt-Strecken sind gleich lang und zueinander parallel. Eigenschaften der Verschiebung: - Die Verschiebung lässt sich durch zwei Achsenspiegelungen ersetzen. Die beiden Achsen sind zueinander parallel und stehen auf dem Verschiebungspfeil senkrecht. Die Reihenfolge der Ausführung der Achsenspiegelungen ist durch die Richtung des Verschiebungspfeils festgelegt. Ihr Abstand voneinander ist halb so groß wie die Länge des Verschiebungspfeils. - Sie hat die gleichen Treueeigenschaften wie die Achsenspiegelung. Geraden, die zum Verschiebungspfeil parallel sind, werden auf sich selbst abgebildet ( Fixgeraden). Der Drehsinn der Winkel ändert sich nicht. - Der Verschiebungspfeil ist ein Vektor. Er ist durch seinen Anfang ( Fuß) und sein Ende ( Spitze ) festgelegt. Im Koordinatensystem kann er durch folgende Schreibweise gegeben sein: v = bedeutet: Verschiebe um +3 nach rechts und um 2 nach unten

7 7.Jahrgangstufe GEOMETRIE Seite 7 5. Wichtige Grundkonstruktionen ( Teil 2) a. Das Spiegeln eines Punktes an der Achse Der Punkt A soll an der gegebenen Achse a gespiegelt werden. - Lege zwei voneinander verschiedene Punkte R und S auf der Achse a fest - Zeichne die beiden Kreise k 1 (S; r 1 = SA ) und k 2 ( R; r 2 = RA ) - Die beiden Kreise schneiden sich einmal in A. Der 2. Schnitt- Punkt ist der Spiegelpunkt A. b. Das Halbieren der Strecke Die Strecke [ AB ] soll halbiert werden. - Zeichne zwei Kreise um A und B mit gleichem Radius, der aber größer als 2 1 AB sein muss. - Die beiden Kreise schneiden sich in R und S - RS ist die Symmetrieachse der Strecke [AB]. Sie steht Damit senkrecht auf dieser und halbiert sie. c. Das Halbieren eines Winkels Der Winkel α mit Scheitel A soll halbiert werden. - Zeichne einen Kreis um A. Dieser Kreis schneidet Die beiden Schenkel in R und S - Konstruiere die Symmetrieachse zu [RS]. Diese ist die Winkelhalbierende d. Das Errichten eines Lotes In einem Punkt P g soll ein Lot errichtet werden. - Zeichne einen Kreis um P. Dieser schneidet g in A und B. - Konstruiere die Symmetrieachse zu [AB]. e. Das Fällen eines Lotes Von P g soll ein Lot auf g gefällt werden. - Konstruiere P - PP ist ein Lot zu g 6. Dreieckslehre a. Erkennungsmerkmale für Kongruente Dreiecke Dreiecke sind schon kongruent, wenn sie I in drei Seiten ( SSS) II in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel ( SWS) III in einer Seite und zwei Winkeln ( WSW, SWW) IV in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite ( SsW) übereinstimmen.

8 7.Jahrgangstufe GEOMETRIE Seite 8 b. Besondere Linien (Transversalen) im Dreieck Die Höhen Die Höhe ist das Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite. Bezeichnungen: h a, h b, h c. Vorsicht: Die Höhe liegt bei stumpfwinkligen Dreiecken außerhalb des Dreiecks. Die Seitenhalbierenden Die Seitenhalbierende ist die Verbindungsstrecke eines Eckpunkts mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Bezeichnungen: s a, s b, s c Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt des Dreiecks. Die Winkelhalbierenden Die Winkelhalbierende ist die Halbierende eines Innenwinkels des Dreiecks. Bezeichnungen: w α, w ß, w γ Die drei Winkelhalbierenden schneiden sich im Inkreismittelpunkt. Die Mittelsenkrechten Die Mittelsenkrechte ist die Symmetrieachse einer Seite. Bezeichnungen: m a, m b, m c Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich im Umkreismittelpunkt.c. Das gleichschenklige Dreieck Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenklig. Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel. Die dritte Seite heißt Basis. Die Höhe h c ist auch Symmetrieachse des Dreiecks. Sie ist damit Mittelsenkrechte der Basis und Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze. Die Basiswinkel sind gleich groß. d. Das gleichseitige Dreieck Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt gleichseitig. Hier fallen alle vier Transversalen zusammen. Das Dreieck hat drei Symmetrieachsen, die gleichzeitig auch Höhe, Seitenhalbierende und Winkelhalbierende sind. Der gemeinsame Schnittpunkt ist Schwerpunkt, Umkreis- und Inkreismittelpunkt zugleich. Jeder Winkel hat 60. e. Das rechtwinklige Dreieck Ein Dreieck mit einem rechten Winkel heißt rechtwinklig. Die am rechten Winkel anliegenden Seiten heißen Katheten, die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypothenuse. Satz des Thales: Dreiecke deren Ecken so auf einem Kreis liegen, dass eine Seite Kreisdurchmesser ist, sind rechtwinklig.