Begriffe zur Gliederung von Termen, Potenzen 5

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2 Begriffe zur Gliederung von Termen, Potenzen 5 Begriffe zur Gliederung von Termen Term Rechenart Termbezeichnung a heißt b heißt a + b Addition Summe 1. Summand 2. Summand a b Subtraktion Differenz Minuend Subtrahend a b Multiplikation Produkt 1. Faktor 2. Faktor a : b Division Quotient Dividend Divisor Aufgaben: Gliedere den Term [( ) : ( ) ] 11 Potenzen Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt mit lauter gleichen Faktoren. a a a 4 a = a n mit n gleiche Faktoren a 0 und n { 2, 3, 4,...} Basis (Grundzahl) Exponent (Hochzahl) Potenzen mit dem Exponenten 2 heißen Quadratzahlen, solche mit dem Exponenten 3 Kubikzahlen. Aufgaben: = = = = 7 2 = = 4 3 = = = = ist eine = = ist eine Fachschaft Mathematik des SKG Seite 2

3 Rechengesetze 5 Die Kommutativgesetze Der Wert einer Summe ändert sich nicht, wenn man die Reihenfolge der Summanden vertauscht: a + b = b + a (K-Gesetz der Addition) Der Wert eines Produktes ändert sich nicht, wenn man die Reihenfolge der Faktoren vertauscht: a b = b a (K-Gesetz der Multiplikation) Die Assoziativgesetze Der Wert einer Summe (eines Produktes) ändert sich nicht, wenn man benachbarte Zahlen beliebig durch Klammern zusammenfasst. ( a b) + c = a + ( b + c) ( a b) c = a ( b c) + (A-Gesetz der Addition) (A-Gesetz der Multiplikation) Das Distributivgesetze Aus einem Produkt wird eine Summe beziehungsweise eine Differenz. ( a + b) c = a c + b c ( a b) c = a c b c a ( b + c) = a b + a c a ( b c) = a b a c Aufgaben: 1. Berechne unter Verwendung des Distributivgesetzes: ( 96 + ) = ( 375) 15 = = = 2. Berechne vorteilhaft: = ( ) = Fachschaft Mathematik des SKG Seite 3

4 Rechnen mit der Zahl 0, Vorrangregeln 5 Besondere Eigenschaften der Zahl 0 1. Wird eine Zahl mit 0 multipliziert, so ist das Ergebnis gleich 0. Beispiel: 17 0 = = 2. Ist der Wert eines Produktes gleich 0, so ist mindestens einer der Faktoren gleich 0. Beispiel: Bestimme die Lösungsmenge in G = 0! ( x 5) ( 12 x) = 0 3. Die Division durch 0 ist nicht erlaubt! L = { } Beispiel: 8 : 0 = 0 : 0 = Aber: 0 :8 = Rechenregeln für die vier Grundrechenarten Was in der Klammer steht, wird zuerst gerechnet; Potenzen werden vor Punktrechenarten berechnet; Punktrechenarten werden vor Strichrechenarten durchgeführt; Gleichwertige Rechenarten werden von links nach rechts ausgeführt. Merkregel: Potenz vor Punkt vor Strich Klammern vor allem, innerste Klammer zuerst 3 Beispiel: [ ( ) ]: ( )= Fachschaft Mathematik des SKG Seite 4

5 Größen 5 Eine Zusammenstellung von Maßzahl und Einheit wie z.b. 50 m, 6 kg, 17 h heißt Größe. Längen 1 mm mm (Millimeter) 10 mm = 1 cm cm (Zentimeter) 10 cm = 1 dm dm (Dezimeter) 10 dm = 1 m m (Meter) 1000 m = 1 km km (Kilometer) Beachte: Das 10-fache einer Einheit ergibt (meist!) die nächstgrößere Einheit. Beispiele: 3 m = cm 5 dm 6 cm = cm 2 km 30 m = m Gewichte 1 mg mg (Milligramm) 1000 mg = 1 g g (Gramm) 1000 g = 1 kg kg (Kilogramm) 1000 kg = 1 t t (Tonne) Beachte: Das 1000-fache einer Einheit ergibt die nächstgrößere Einheit. Beispiele: 5 kg = g 7 kg 8 g = g 5 t 95 kg = kg Zeiten 1 s s (Sekunde) 60 s = 1 min min (Minute) 60 min = 1 h h (Stunde) 24 h = 1 d d (Tag) Beispiele: 3 h = min 2 d 7 h = h 75 min = h min Fachschaft Mathematik des SKG Seite 5

6 Umfang und Fläche von Rechteck und Quadrat 5 Rechteck: Breite b Quadrat: Seitenlänge a Länge l Umfang: U = 2 l + 2 b = 2 ( l + b) Fläche: Umfang: Fläche: A = l b U = 4 a A = a a = 2 a Seitenlänge a Für die Flächenberechnung werden folgende Einheitsquadrate benutzt: Seitenlänge 1 mm 1 cm 1 dm 1 m 10 m 100 m 1 km Aufgaben: Flächeninhalt 1 mm 2 Quadratmillimeter 1 cm 2 Quadratzentimeter 1 dm 2 Quadratdezimeter 1 m 2 Quadratmeter 1 a Ar 1 ha Hektar 1 km 2 Quadratkilometer Beachte: Das 100fache einer Flächeneinheit ergibt die Nächstgrößere. 1. Aus dem Umfang U eines Quadrats soll die Seitenlänge a berechnet werden. Lösung: a = U : 4 2. Aus Umfang U und Länge l eines Rechtecks soll seine Breite b berechnet werden. Lösung: b = U : 2 l oder b = ( U 2 l) : 2 Oberfläche von Quader und Würfel Quader: O Quader = 2 ( l h + b h + l b) Würfel: O Würfel = 6 a a = 6 a 2 Fachschaft Mathematik des SKG Seite 6

7 Teilbarkeitsregeln 5 Endstellenregeln Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist aber Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn sie auf 00 endet oder ihre beiden letzten Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl bilden aber Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 oder 5 ist aber Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn ihre beiden letzten Ziffer 00, 25, 50 oder 75 sind aber Eine Zahl ist durch eine Stufenzahl teilbar, wenn sie mindestens gleich viele Endnullen besitzt, wie die Stufenzahl aber Quersummenregeln Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist (Quersumme: 9) aber (Quersumme: 10) Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist (Quersumme: 18) aber (Quersumme: 40) Aufgaben: Setze das richtige Zeichen ( oder ) ein! Fachschaft Mathematik des SKG Seite 7

8 Größter gem. Teiler, kleinstes gem. Vielfaches 5 Der größte gemeinsame Teiler (ggt) Die Teilermengen der Zahlen 240 und 300 sind: T 240 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240} T 300 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300} Unter den gemeinsamen Teilern gibt es ein größtes Element, den ggt(240, 300) = 60. Wir ermitteln den ggt mit Hilfe der Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen: = = = = Der ggt zweier oder mehrerer Zahlen ist das Produkt der niedrigsten vorkommenden Potenzen aller gemeinsamen Primfaktoren. 2 Hier: ggt (240, 300) = = 60 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) Die Vielfachenmengen der Zahlen 240 und 300 sind: V 240 = {240, 480, 720, 960, 1200, 1440, 1680, 1920, 2160, 2400, 2640,...} V 300 = {300, 600, 900, 1200, 1500, 1800, 2100, 2400, 2700, 3000,...}. Unter den gemeinsamen Vielfachen gibt es ein kleinstes Element, das kgv(240,300) = Wir ermitteln das kgv mit Hilfe der Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen: = = = = Das kgv zweier oder mehrerer Zahlen ist das Produkt der höchsten Potenzen aller vorkommenden Primfaktoren. 4 2 Hier: kgv (240, 300) = = 1200 Aufgaben: Zerlege die folgenden Zahlen in ihre Primfaktoren und bestimme ggt und kgv! 18 = 72 = 24 = 108 = = ggt(18, 24) = kgv(18, 24) = ggt(72, 108, 180) = kgv(72, 108, 180) = Fachschaft Mathematik des SKG Seite 8

9 Lösen von Gleichungen 5 Zum Lösen von Gleichungen verwenden wir die Proben zur Strichrechnung oder zur Punktrechnung: 1. Summe: x + a = b x = b a (Probe auf den 1. Summanden) a + x = b x = b a (Probe auf den 2. Summanden) 2. Differenz: x a = b x = b + a (Probe auf den Minuenden) a x = b x = a b (Probe auf den Subtrahenden) 3. Produkt: x a = b x = b : a (Probe auf den 1. Faktor) a x = b x = b : a (Probe auf den 2. Faktor) 4. Quotient: x : a = b x = b a (Probe auf den Dividenden) a : x = b x = a : b (Probe auf den Divisor) Aufgaben: Setze ein und löse die Gleichung! (In 1.) a = 3 und b = 7: x + 3 = 7 + x = (In 2.) a = 12 und b = 5: x = 7 3 x = x = 4 x = (In 3.) a = 4 und b = 20: (In 4.) a = 15 und b = 3: Fachschaft Mathematik des SKG Seite 9

10 Aufgaben zur Wiederholung 5 1. Schreibe mit Klammern und berechne! a) Multipliziere den Quotienten der Zahlen 1200 und 48 mit der Differenz der Zahlen 3056 und 3039 und addiere 288! b) Multipliziere die 10-fache Summe der Zahlen 25 und 13 mit dem vierten Teil der Summe aus den Zahlen 83 und 37! 2. Berechne den Termwert! Gib auch den Termnamen an! a) [ ( ) ]: b) 8 3 ( 1638: ) 3. Bestimme jeweils die Lösungsmenge in der Grundmenge. a) x = 4 ( ) b) x ( ) = 97 c) ( ) x = 97 d) ( 936 : 6) x = e) x : ( 31 19) = 71 6 f) ( 14 13) : x = Rechne vorteilhaft und gib das verwendete Rechengesetz an: + b) ( ) 40 a) a) Gib in der in Klammern angegeben Einheit an: c) kg 5 g [mg]; 4 km 25 m 3 cm [m]; 3 d 6 h 15 min [min]; 4 ha 23 m 2 [dm 2 ] b) Runde auf m: cm; mm c) Berechne: 7 m 4 cm - 3 m 2 dm : 4 6. Gib an, durch welche der Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 die Zahl teilbar ist (ohne die Division durchzuführen) und begründe jeweils die Antwort. 7. Bestimme mit Hilfe der Primfaktorzerlegung: a) ggt(195, 273, 312) b) kgv(252, 270) 8. a) Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrates, dessen Umfang 52 m beträgt? b) Ein 25 cm langes Rechteck besitzt den Flächeninhalt 3 dm 2. Berechne die Breite des Rechtecks sowie seinen Umfang. 9. Gegeben ist das abgebildete Dreieck. a) Zeichne zu jeder Seite des Dreiecks die Senkrechte durch den Mittelpunkt dieser Seite. b) Zeichne zu jeder Seite des Dreiecks die Parallelen durch die gegenüberliegende Ecke des Dreiecks. Ausführliche Lösungen erhaltet ihr zu Beginn des neuen Schuljahres. Fachschaft Mathematik des SKG Seite 10