Teiler und Vielfache

Transkript

1 Teiler und Vielfache Dividend : Divisor = Quotient 12 : 3 = 4 (a) 12 : 5 = 2; 2 Rest (b) Geht eine Division ohne Rest auf, dann ist der Divisor "Teiler" des Dividenden (a). Teiler der Zahl 12: 1, 2, 3, 4, 6 T (12) = {1,... 6} " / " ist die Bezeichnung für die Eigenschaft, Teiler einer Zahl zu sein: 2 / bedeutet "2 teilt 12" 7 / teilt nicht a / b es gibt ein n aus N, sodaß a n = b Bemerkung: Jede Zahl ist durch 1 und durch sich selbst teilbar. Daher nennt man diese Teiler "triviale Teiler" einer Zahl. Triviale Teiler einer Zahl sind 1 und die Zahl selbst: 1 / b, b / b Primzahlen: Im Gegensatz zu den zusammengesetzten Zahlen gibt es Zahlen, die sich nicht zerlegen lassen, sie besitzen nur die beiden trivialen Teiler 1 und sich selbst. Diese Zahlen heißen Primzahlen. Jede andere Zahl kann in ein Produkt von Primzahlen zerlegt werden. Primzahlen sind die Zahlen 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,... Es gibt unendlich viele Primzahlen. Seite 1

2 1.) a / 0... z. B. 0 : 4 = 0 2.) 1 / a... z. B. 4 : 1 = 4 3.) 0 / a Teilbarkeitsregeln: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbar ist - sie heißt dann gerade. Jede andere Zahl heißt ungerade. Bsp.: 2, 6, 12, 318,... gerade 3, 7, 317,... ungerade durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (Summe der Ziffern) durch 3 teilbar ist. Bsp.: 462 ist durch 3 teilbar, weil = 12 durch 3 teilbar ist. durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die durch die letzten zwei Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist. durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl 5 oder 0 ist. durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. durch 8 teilbar, wenn die "letzten 3 Ziffern" durch 8 teilbar sind durch 9 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist. durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 ist. durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Bsp.: ( = 11) Bsp.: ( = 0, 0 ist durch jede Zahl teilbar, siehe Seite 2 ganz oben, Punkt 1 ). durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern durch 25 teilbar sind oder aus Null bestehen. durch 125 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern Nullen sind oder durch 125 teilbar sind. Seite 2

3 Zerlegung einer Zahl in en: 24 = = = 2 12 = = = ist die "Zerlegung in Primfaktoren", da jeder eine Primzahl ist. Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren: = Gemeinsame Teiler Gegeben sind die Zahlen 315 und 150. Durch die Zerlegung dieser Zahlen in Primfaktoren findet man heraus: 315 = = Erkennbar ist, daß die Zahl 3 sowohl 315 als auch 150 teilt. Ebenso teilt 5 die beiden gegebenen Zahlen. 3 und 5 sind also "gemeinsame Teiler" der Zahlen 315 und 150. Seite 3

4 Größter gemeinsamer Teiler Der größte gemeinsame Teiler (Abkürzung: ggt) gegebener Zahlen ist die größte Zahl, die jede der gegebenen Zahlen teilt. In der Primfaktorzerlegung der gegebenen Zahlen werden die gemeinsamen Primfaktoren unterstrichen und dann deren Produkt gebildet. Gesucht ist der ggt der Zahlen 315 und = = ggt ( 315, 2460 ) = 3 5 = 15 Weitere Beispiele: ggt (66, 110) = 22 ggt (36, 54) = 18 ggt (36, 48, 84) = 12 Teilerfremde Zahlen Zahlen, deren größter gemeinsame Teiler die Zahl 1 ist, heißen "teilerfremd". Gesucht ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 7 und 8. 7 = 7 = = = ggt ( 7,8 ) = 1 Die Zahlen 7 und 8 sind teilerfremd. Seite 4

5 Gemeinsames Vielfaches Gemeinsame Vielfache gegebener Zahlen sind jene Zahlen, in denen sämtliche gegebenen Zahlen enthalten sind. gemeinsame Vielfache der Zahlen 2 und 3 sind 6, 12, 18,... Abkürzung: g V (2,3) = 6, 12, 18,... Kleinstes gemeinsames Vielfaches Das kleinste gemeinsame Vielfache (Abkürzung: kgv) gegebener Zahlen ist die kleinste Zahl, in der jede der gegebenen Zahlen enthalten ist. Auffinden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen: Begriffserklärung "Vielfachheit": 18 = = und 17 sind in den obigen Zeilen in Primfaktoren zerlegt. Der Primfaktor 3 tritt bei der Zerlegung von 18 zweimal auf, seine Vielfachheit ist zwei. Er tritt aber in der Zerlegung von 27 dreimal auf, seine Vielfachheit dort ist drei. Der Primfaktor 3 tritt somit im zweiten Fall (bei 27) in der höheren Vielfachheit auf. Für die Bildung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen wird die Primfaktorzerlegung durchgeführt. Das kgv, das auch nun ein Produkt ist, enthält hier jeden Primfaktor, der auftaucht. Er muß aber in seiner größten Vielfachheit genommen werden. Zu ermitteln ist das kgv der Zahlen 315, 120 und = = = kgv (315,120,50) = = = Seite 5

6 Gesucht ist das kgv (108, 144, 96) Primfaktorzerlegung ergibt: 108 = = = kgv(108, 144, 96) = = 864. Spezialfälle: Sind Zahlen teilerfremd, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen deren Produkt. ggt ( 7, 8 ) = 1 kgv ( 7, 8 ) = 7 8 = 56. ggt ( 4, 9, 25 ) = 1 kgv ( 4, 9, 25 ) = = 900. Ist von zwei Zahlen eine Zahl ein Teiler einer anderen Zahl, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache die größere der beiden Zahlen. kgv ( 4, 8 ) = 8. Übungsaufgaben: A) Berechnen Sie ggt( 72, 90 ) = kgv ( 15, 20 ) = ggt( 84,105 ) = kgv ( 30, 40 ) = ggt( 112, 168 ) = kgv ( 12, 15, 60 ) = ggt( 120, 96 ) = kgv ( 20, 30, 45 ) = ggt( 84, 96, 120 ) = kgv ( 10, 15, 20, 25 ) = ggt( 54, 72, 90 ) = kgv ( 28, 36, 40, 48 ) = B) Ein Gang mit rechteckiger Grundfläche ist 7 m lang und 2,50 m breit. Dieser Gang soll mit möglichst großen quadratischen Fliesen belegt werden. Berechnen Sie, wie viele Fliesen herzu erforderlich sind und berechnen Sie die Kantenlänge einer solchen Fliese. C) Die Vorderräder eines Wagens haben je 2m, die Hinterräder je 3m Umfang. Wie weit muß der Wagen fahren, damit alle Räder gleichzeitig eine ganze Anzahl von Umdrehungen ausgeführt haben? D) Franz macht mit seinem Vater einen Spaziergang. Franz macht dabei Schritte von 60 cm Länge, der Vater solche von 75 cm Länge. Berechnen Sie, nach welcher Wegstrecke sie jeweils gleichzeitig ausschreiten. Seite 6