Teil 1. Bruchrechnen in Kurzform DEMO. Für alle, die es benötigen, z. B. zur Prüfungsvorbereitung in 10

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1 Teil Bruchrechnen in Kurzform Für alle, die es benötigen, z. B. zur Prüfungsvorbereitung in 0 Zu diesen Beispielen gibt es einen Leistungstest in 09. Ausführliche Texte zur Bruchrechnung findet man in: 00 Kürzen und Erweitern 00 Bruchteile von Größen 00 Addition und Subtraktion 007 Multiplikation und Division Datei Nr. 00 Stand: 8. Januar 08 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform Inhalt Addition und Subtraktion Trainingsaufgabe Gemischte Brüche Addition und Subtraktion von gemischten Brüchen 6 Trainingsaufgabe 7 Multiplikation eines Bruches mit einer Zahl 8 Division eines Bruches durch eine Zahl 9 Trainingsaufgabe 0 6 Multiplikation und Division zweier Brüche Trainingsaufgabe Übersicht: Formeln zu Multiplikation und Division 7 Einige Textaufgaben 8 Drei Monsteraufgaben 9 Lösungen aller Trainingsaufgaben 6 Dieser Text soll Schüler das nochmals zeigen, was sie können sollten. Es werden die Grundlagen wiederholt, Beispiele gezeigt, und zum Trainieren gibt es Aufgaben mit ausführlichen Lösungen. Geeignet zur Prüfungsvorbereitung. Zu diesen Beispielen gibt es einen Leistungstest in Nummer 9 Hier stehen dann die Lösungen. Wer sich also zuerst testen möchte, bearbeite zuerst den Test.

3 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform Addition und Subtraktion Regel : Brüche werden addiert / subtrahiert, indem man sie zuvor durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner bringt und dann ihre Zähler addiert/subtrahiert. Es ist günstig, den kleinsten gemeinsamen Nenner zu verwenden. Diesen nennt man den Hauptnenner. Er wird als kgv (kleinstes gemeinsames Vielfaches) der einzelnen Nenner berechnet. b) c) d) Der gemeinsame Nenner ist. Durch Erweitern mit, wird 0. Erweitern heißt Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Das ändert nur die Form des Bruches, nicht sein Wert! Genau das besagt das Gleichheitszeichen. Ganze Rechnung: 0 Der gemeinsame Nenner ist jetzt. Der Bruch wird mit erweitert: 9, der Bruch Ganze Rechnung: mit : Viele meinen, dass der Hauptnenner hier das Produkt 86 8 ist. 8 6 Das ist jedoch falsch, denn beide Nenner haben den gemeinsamen Teiler. Daher ist der Hauptnenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache, bereits. Der Bruch 8 wird mit erweitert und 6 Ganze Rechnung: mit : Bei größeren Nennern erkennt man das kgv oft nicht gleich. Dann kann man 6 die Methode der Primfaktorzerlegung anwenden: 6 EZ 7 Man schreibt nur gleiche Primfaktoren untereinander. Das Produkt aller in einer Spalte stehenden Primzahlen 7 EZ 6 ergibt das kgv, den Hauptnenner. Aus den fehlenden HN 7 Primzahlen bildet man die Erweiterungszahlen Kürzer: Beim Kurzverfahren muss man darauf achten, dass die nicht gemeinsamen Faktoren auch wirklich teilerfremd sind! EZ EZ 6 HN 6 6 7

4 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform e) Berechnung des Hauptnenners: () durch Kopfrechnung: Ich betrachte zuerst 6 und. Das Doppelte von 6 ist 7, und das ist das -fache von. Andererseits ist auch 8 darin enthalten: -mal. Also ist das kgv dieser drei Zahlen 7. () Primfaktorzerlegung: Ausführliche Berechnung: Am Ende haben 7 und 7 den gemeinsamen Teiler 9, so dass man durch 9 kürzen konnte. f) i) l) g) 9 j) m) Trainingsaufgaben 7 h) k) n) Bei den nächsten drei Aufgaben berechne den Hauptnenner mit Primfaktorzerlegung: o) 9 p) EZ 6 EZ 8 6 EZ HN 7 7 q)

5 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform Gemischte Brüche Addiert man zur Zahl den Bruch 8, dann geht das so: Man sieht, dass bei diesem Bruch der Zähler größer ist als der Nenner. Das liegt daran, dass sein Wert größer als ist. Ein Bruch, dessen Zähler größer als sein Nenner ist, heißt unechter Bruch. Man kann die Ganzen aus ihm herausziehen. Dazu muss man eine Division beginnen. Jeder Bruch stellt im Grunde eine Divisionsaufgabe dar. Hier heißt sie: 9 : 8 =? Und so kann man überlegen: 8 geht in 9 -mal: 8 und als Rest bleibt übrig. Also werden aus den 9 Achtel Ganze, und Achtel bleiben übrig. 9 Dies schreibt man so auf:. 8 8 Für eine Summe aus einer ganzen Zahl und einem Bruch haben die Mathematiker eine abkürzende Schreibweise eingeführt. Man darf hier das Pluszeichen einfach weglassen. ist also dasselbe wie 8 8 Einen unechten Bruch kann man also als gemischten Bruch schreiben. Beispiele: 9 oder denn 0 : = 6, Rest (Drittel) denn 8:=7, Rest 6 (Elftel). Die Summe schreibt man nicht auf. 7 7 denn 0 geht in 7 -mal, Rest 7 (Zehntel). 0 0 denn geht in -mal, Rest (Viertel). Verwandlung eines gemischten Bruches in einen unechten Bruch: 6 oder so:

6 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform 6 Addition und Subtraktion von gemischten Brüchen Nicht aufschreiben, aber so rechnen Das rechnet man schneller so: b) Dabei kann auch so etwas passieren: 9 8 Der Hauptnenner ist 0: 6 0 und 0 0 : Dieser gemischte Bruch enthält jetzt den unechten Bruch. 0 0 Daher sieht die ganze Rechnung so aus: c) d) Kürzer: 6??? nur im Kopf Jetzt muss man 6 in umwandeln und so rechnen: Oder kurz so: e) 6??? Man erkennt, dass die Subtraktion nicht ausführbar ist. 6 In so einem Fall verwendet man ein Ganzes (das man von wegnimmt) und verwandelt es in weitere Viertel, so dass man subtrahieren kann: 6 6 Das schreiben Könner so auf: 6 Wenn man die einzelnen Umformungen begriffen hat, kann man solche Aufgaben selbst lösen.

7 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform 7 Großes Musterbeispiel: f) Zuerst auf den Hauptnenner erweitern! Also wandelt man ein Ganzes in weitere 9 Neuntel um! Man subtrahiert zuerst die Ganzen. Bei der Subtraktion der Zähler stellt man fest, dass - 6 so nicht geht. Man hätte auch die gemischten Brüche zuerst in unechte Brüche verwandeln können. Dies hat jedoch in manchen Aufgaben den Nachteil, dass große Zahlen im Zähler entstehen, die man im Kopf kaum mehr verrechnen kann! Kurz: Schreibe als unechte Brüche: Trainingsaufgaben 8 6 b) Schreibe als gemischte Brüche: c) Berechne: Lösungen am Ende des Textes.

8 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform 8 Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl 9 Die Rechnung dazu lautet: Diese Aufgabe kann man als Multiplikation schreiben: 9 In Worten: REGEL Eine Zahl wird mit einem Bruch multipliziert, indem man sie mit dem Zähler multipliziert. Beispiele: c) 0 b) d) Es gibt Situationen, in denen man die Regel nicht anwenden sollte. Dazu dieses Beispiel: e) Die bessere Rechnung sieht so aus: 6 6 Hier wurde vor der Multiplikation gekürzt! Diesen Kürzungsvorgang kann man schon ganz zu Beginn vornehmen, wenn man weiß, dass der Faktor vor dem Bruch eigentlich zum Zähler gehört: f) 6 Zuerst wurde 6 mit multipliziert, dann entstand die große Zahl 80, am Ende konnte (musste) man noch kürzen! So ist die Rechnung optimal kurz gelungen! 8? Zuerst nachdenken und erkennen: Man kann durch 9 kürzen! Den mittleren Bruch schreibt man nicht auf. 9 g) 9? Zuerst nachdenken und erkennen: Man kann durch kürzen! MERKE: Eine Zahl wird mit einem Bruch oder ein Bruch mit einer Zahl multipliziert, indem man diese Zahl mit dem Zähler multipliziert, aber erst, nachdem man sie (falls möglich) gegen den Nenner gekürzt hat.

9 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform 9 Division eines Bruches durch eine ganze Zahl Wir sollen eine Tafel Schokolade in gleich große Teile zerlegen.. Schritt: Zuerst wird sie in Teile zerlegt: Wir brechen sie zum Beispiel der Länge nach durch.. Schritt: Dann wird jeder Teil weiter in gleiche Teile zerlegt. Wir haben jetzt 8 Teile Schokolade. Dazu die Rechnung:. Schritt: Tafel geteilt durch ergibt -mal eine halbe Tafel:. Schritt: Jede halbe Tafel wird durch geteilt: Das zeigt die Rechnung :. Man sieht das Ergebnis: Tafel. : Tafel 8 Und jetzt die Frage: Wie kommt man ohne eine Abbildung auf das Ergebnis 8? REGEL: Dies sieht dann so aus: je Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl geteilt, indem man den NENNER mit dieser Zahl MULTIPLIZIERT- : je 8 Beispiele: :7 7 b) : c) 6 : 0 WICHTIG: Am Beispiel c) erkennt man eine Vereinfachungsmöglichkeit: Man kann durch kürzen. Wenn man doch weiß, dass die in den Nenner kommt, dann kann man sie auch schon vorher kürzen und die Rechnung wird einfacher, weil man sich die Multiplikation erspart: 6 : 6

10 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform 0 d) Schlechte Rechnung: : Es ist nicht gekürzt worden. Topp-Rechnung: e) Schlechte Rechnung: : : 6 Es ist durch gekürzt worden. Es ist nicht gekürzt worden. Topp-Rechnung: 6 : 9 Es ist durch gekürzt worden. f) Schlechte Rechnung: Topp-Rechnung: MERKE: e) :6 : :6 :6 0 Es ist nicht gekürzt worden. Es ist durch gekürzt worden. Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem man diese Zahl mit dem NENNER multipliziert. Man prüfe doch zuvor, ob man diese Zahl gegen den Zähler kürzen kann. Trainingsaufgabe Rechne geschickt, indem du wenn möglich zuerst kürzt: b) : c) 9 :0 8 f) 6 d) 6 : 0 g) 6 h) :

11 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform 6 Multiplikation und Division zweier Brüche Regel: Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Vorher sollte man kürzen! Beispiele: b) Regel: Beispiele: b) c) Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Vor der Multiplikation sollte man kürzen! : : Schnellrechner lassen die durchkreuzten Teile weg! 8 8 : 0 : Trainingsaufgabe Rechne geschickt, indem du wenn möglich zuerst kürzt: 7 b) 0 c) 88 9 d) 7 e) 6 : 7 f) 8 : 7 8 g) 8 : h) 9 : 7 i) h)

12 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform Übersicht Multiplikation Regel Beispiel () a c a c b d b d 7 7 dann kürzen usw. () a a z z b b () ( (b) () (6) a z a z b b Regel Division a c a d a d : : b d b c b c 7 7 a b c d a c a d : a d b d b c b c dann kürzen usw. 7 Beispiel 7 a a :z : b b z 7 7 a b zb z: z b a a kürzen 7 : Man beachte stets: Bevor man multipliziert, sollte man kürzen! Dadurch erhält man kleinere Zahlen und kann schneller rechnen.

13 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform 7 Einige Textaufgaben Ordne der Größe nach 7, und Lösung: Brüche kann man in aller Regel nur dann vergleichen, wenn man sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht hat. Dann erkennt man, wer am meisten zählt. Wir bestimmen also den Hauptnenner und erweitern die Brüche so, dass sie diesen Nenner bekommen. Es folgt:, , Jetzt kann man vergleichen und erhält: b) Wie viele Meter sind 8 Lösung: von km? von.000 m sind m 00 m 00 m, km 8 c) Wie viele Minuten sind 7 Lösung: Umrechnung: von h min? h min = 6 min 7 von h min sind dann: 9 6 min 9 min min 7 d) Addiere das Lösung: fache der Summe von und zum fachen ihrer Differenz. Ez Ez 9 Ez 6 HN Summe Differenz 8

14 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform e) In einem Teesack befinden sich noch 7 kg Darjeeling-Tee, der zum Verkauf in 0 g Packungen umgefüllt werden soll. Wie viele Packungen erhält man? Lösung: Wegen 0 g kg folgt: 7 : : Man erhält also 0 Packungen Tee zu je 0 g. 0 f) In einem Teegeschäft stehen im Regal Grüner Tee Päckchen zu je 00 g Jasmin-Tee, 6 Päckchen China-Surprise mit je kg und 8 Päckchen Ceylonstar mit je kg Tee. 8 0 Wieviel Tee ist das insgesamt? Führe diese Rechnung zweimal durch, einmal mit Brüchen in der Einheit kg, das zweite Mal in g. Lösung: Rechnung in kg: kg 6 kg 8 kg kg kg kg 6,9 kg Rechnet man in Gramm, muss man Vorarbeit leisten: kg 000 g g (Das sollte man WISSEN!) 8 8 kg 000 g 0 g 0 g (kürzen: !) 00 g 6 kg 8 kg 00 g 6 g 8 0 g g 00 g 00 g 00 g 6900 g 0 0 Ergebnis: Es handelt sich um 6,9 kg = 6900 g Tee. g) Eine pharmazeutische Fabrik stellt ein Stärkungsgetränk für Herz-Kreislauf-Erkrankungen her. Lösung: Es gibt Abfüllgläser für Liter, Liter und für Kliniken Großflaschen für Liter Fassungsvermögen. Es sollen 00 Liter abgefüllt werden, und sollen je 000 der beiden kleinen Flaschen abgefüllt werden, den Rest füllt man in Großflaschen. Wie viele Großflaschen werden voll?. Abfüllung: (Liter). Abfüllung: (Liter) Rest: (Liter). Abfüllung: 0 : 0 : Ergebnis: Wobei dann durch gekürzt worden ist. Es werden noch 0 Großflaschen gefüllt.

15 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform 8 Drei Monsteraufgaben für Experten : : : : Folgende Umformungen wurden vorgenommen () Die gemischten Zahlen wurden in unechte Brüche umgewandelt: 8 und b) c) () Im Nenner wurde durch Brüche dividiert, also werden die Kehrwerte multipliziert. () In drei Produkten wurde gekürzt und dann multipliziert () Zähler und Nenner wurden nun berechnet Zuerst wurden in den die Klammern gleiche Nenner gebildet, dann wurden die Klammern berechnet und gekürzt. : 7 9 : : : : : Zuerst wurden in den Klammern gleiche Nenner hergestellt Für die Zählerklammer sucht man das kleinste gemeinsame Vielfache von, und 0. In diesen Zahlen stecken die Faktoren, und, also kommt man auf 60. Die erste Nennerklammer enthält in den Nennern die Faktoren 8, und, also 0. Die zweite Nennerklammer braucht das kleinste gemeinsame Vielfache von und 8: 7. Im letzten Bruch wurde aus den Divisionen die Multiplikation mit den Kehrwerten. Jetzt kann man kürzen. Dabei ist der Bruch 7 durch 9 kürzbar, denn die Quersummen im 67 Zähler (9) und im Nenner (8) sind durch 9 teilbar Nach der Auflösung des Doppelbruchs entsteht das Produkt dreier Brüche. Jetzt könnte man untersuchen, ob 99 durch die Primzahl teilbar ist. Das klappt: 99 Am Ende muss man nur noch die Zähler multiplizieren und die Nenner.

16 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform 6 9 Lösungen der Trainingsaufgaben Trainingsaufgabe Bei manchen Ergebnissen tritt ein unechter Bruch auf. Ich habe dann den gemischten Bruch in Klammern dazu geschrieben. Ob man das immer umrechnen soll, hängt von der Aufgabenstellung ab. In der höheren Mathematik rechnet niemand mit gemischten Brüchen, eher in Anwendungsaufgaben. f) g) h) j) l) m) n) i) k) !!! Bei den nächsten drei Aufgaben berechne den Hauptnenner mit Primfaktorzerlegung: o) p) EZ ER HN HN 6 80 Hier habe ich den Faktor 6 nicht weiter zerlegt, weil er in jedem Nenner auftritt! 9 q) EZ 0 EZ EZ 0 HN 0

17 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform 7 Trainingsaufgaben Schreibe als unechte Brüche: b) Schreibe als gemischte Brüche: c) Berechne: c) e) g) Besser so: Oder: Trainingsaufgabe Rechne geschickt, indem du wenn möglich zuerst kürzt: b) 6 : d) 8 f) 0 0 h) : : : 9 9

18 00 Grundlagen: Bruchrechnen in Kurzform 8 Trainingsaufgabe Rechne geschickt, indem du wenn möglich zuerst kürzt: 7 0 b) 6 88 c) 9 9 d) e) g) i) : = 7 : 8 0 f) 60 h) 8 h) 8 : : :