Didaktische Grundlagen Arithmetik Vertiefung Übungen 4

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1 Westfälische Wilhelms-Universität Münster Institut für Didaktik der Mathematik und Informatik Dr. Astrid Brinkmann Didaktische Grundlagen Arithmetik Vertiefung Übungen 4 Von allen, die bis jetzt nach Wahrheit forschten, haben die Mathematiker allein eine Anzahl Beweise finden können, woraus folgt, daß ihr Gegenstand der allerleichteste gewesen sein müsse. (Rene Descartes) Probeklausur Teil 1 In dieser Klausur haben Sie insgesamt 68 Antwortmöglichkeiten, davon sind 37 Antworten richtig und 31 Antworten falsch. Aufgabe 1: Eigenschaften von Zahlen 1 ( ) Es gibt keine kleinste positive rationale Zahl. 2 ( ) Es gibt unendlich viele ganze Zahlen, die kleiner als 1 sind. 3 ( ) Für Menschen, die Zahlen mit bestimmten Farben verbinden (Synästhesie), ist die Zahl 5 rot. 4 ( ) Verknüpft man Zahlen aufgrund von Synästhesie mit Farben, so kann dies hilfreich sein, wenn z.b. beim Aufsagen der Zahlenreihe die entsprechende Farbfolge durchlaufen wird. 5 ( ) Natürliche Zahlen, deren erste Ziffer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ist, in realen Daten unserer Umwelt sind gleichverteilt. 6 ( ) Benfords Gesetz kann von Schülerinnen und Schülern selbständig entdeckt werden. 7 ( ) Die Differenz zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen konvergiert für n gegen die Goldene Schnitt Zahl. 8 ( ) Die Diagonalen eines regulären Fünfecks teilen sich im Goldenen Schnitt. 9 ( ) Die Goldene Schnitt Zahl ist rational. 10 ( ) Kunstwerke, in denen der Goldene Schnitt gefunden werden kann, haben im Allgemeinen eine größere ästhetische Wirkung.

2 Aufgabe 2: Eigenschaften von Relationen 11 ( ) Die Relation ist reflexiv. 12 ( ) Die Relation ist symmetrisch. 13 ( ) Die Relation ist antisymmetrisch. 14 ( ) Die Relation ist transitiv. 15 ( ) Die Relation ist eine Äquivalenzrelation. 16 ( ) Die Kongruenzrelation modulo 3 ist antisymmetrisch. 17 ( ) Die Kongruenzrelation modulo 3 ist eine Äquivalenzrelation. 18 ( ) Die Kongruenzrelation modulo 3 bewirkt eine Klasseneinteilung von in die 3 Restklassen 1, 0 und 1. Aufgabe 3: Eigenschaften von Relationen Wir definieren die Relation 7 für alle ab, wie folgt: a 7 b a und b haben bei Division durch 7 denselben Rest. Diese Relation ist 19 ( ) reflexiv 20 ( ) symmetrisch 21 ( ) antisymmetrisch 22 ( ) transitiv 23 ( ) eine Äquivalenzrelation Aufgabe 4: Primzahlen Es gelten folgende Aussagen über Primzahlen p: 24 ( ) Jede natürliche Zahl, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist, ist eine Primzahl. 25 ( ) Jede natürliche Zahl a > 1 hat mindestens eine Primzahl als Teiler. 26 ( ) Das kgv zweier Primzahlen ist stets gleich ihrem Produkt. 27 ( ) (2, 3) ist das einzige Paar benachbarter Primzahlen. 28 ( ) Die Zahlen 1, 31, 41, 61, 71, 101 sind Primzahlen. 29 ( ) Der kleinste Teiler d > 1 einer natürlichen Zahl n > 1 ist eine Primzahl. 30 ( ) Es gibt kein Primzahlloch der Länge ( ) Für jedes n gilt: Die Zahlen ( n + 1)! + 2, ( n + 1)! + 3, ( n + 1)! + 4,..., ( n+ 1)! + ( n+ 1) sind n aufeinander folgende natürliche Zahlen, die keine Primzahlen sind.

3 Aufgabe 5: Sieb des Eratosthenes Denken Sie sich das Verfahren Sieb des Eratosthenes von 1 an aufgeschrieben bis zur Zahl 400, wobei immer 8 Zahlen in einer Zeile stehen. Sie haben gerade alle Vielfachen von 7 gestrichen und betrachten jetzt die 12. Zeile. Dort lautet die erste, nicht durchgestrichene Zahl 32 ( ) ( ) ( ) gibt es nicht, da in dieser Zeile jetzt alle Zahlen gestrichen sind. Aufgabe 6: Teilermengen und Hasse-Diagramme Es sei Ta ( ) die Teilermenge von a und M eine Teilmenge von Ta. ( ) Markieren Sie, welches der Hasse-Diagramme zu M gehören kann. (1) (2) (3) Hasse-Diagramm (1) (2) (3) a ( ) 36 ( ) 37 ( ) ( ) 39 ( ) 40 ( ) ( ) 42 ( ) 43 ( ) Aufgabe 7: Anzahl der Teiler Ta ( ) bezeichne die Anzahl der Teiler von a. Es sei 2 a = = 495. Dann gilt: 44 ( ) Ta ( ) = 12

4 45 ( ) Ta ( ) = ( ) Ta ( ) = 7 Aufgabe 8: Teilbarkeitsrelation Die folgenden Aussagen sind richtig: 47 ( ) d ab d a oder d b. 48 ( ) a b T a T b 2 2 ( ) ( ) 49 ( ) Für alle abt,, gilt: t a und t a b t ggt( a, b ) Aufgabe 9: Euklidischen Algorithmus Berechnen Sie mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus den ggt(2925, 1664). Es gilt: ggt(2925, 1664) 50 ( ) = 7 51 ( ) = ( ) = 26 Im Laufe des Rechenweges tauchen folgende Zeilen auf: 53 ( ) 403 = ( ) 39 = ( ) 52 = Aufgabe 10: ggt und kgv Für ab, gilt: ggt(2 ab, 6 a) kgv(2 ab, 6 a) ist gleich 56 ( ) 6ab 57 ( ) 12ab 58 ( ) 2 12a b

5 Aufgabe 11: Kongruenzrechnung Seien abc,,, m und a b mod 3. Dann gilt: 59 ( ) a+ 4 b+ 10 mod 3 60 ( ) a+ 2 b 2 mod 3 61 ( ) a+ 5 b+ 5 mod 3 62 ( ) a b+ 9 mod 3 63 ( ) a 9 b mod 3 Aufgabe 12: Diophantische Gleichungen Die diophantische Gleichung 6x+ 9y = ( ) hat genau eine Lösung 65 ( ) hat unendlich viele Lösungen 66 ( ) hat keine Lösung 67 ( ) hat als Lösungen Paare der Form ( x0 + 3 k, y0 2 k), k, wobei ( x0, y 0) ein spezielles Lösungspaar der Gleichung ist 68 ( ) beschreibt eine Gerade, die keinen Gitterpunkt durchläuft