Grundbegriffe der Informatik

Transkript

1 Grundbegriffe der Informatik Einheit 17: Relationen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2013/2014 1/61

2 Anmerkung Änderung im Wintersemester 2013/2014: nichts über Nerode-Äquivalenzen auch nicht in der Klausur 2/61

3 Überblick Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Ordnungen Überblick 3/61

4 Überblick Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Ordnungen Äquivalenzrelationen 4/61

5 Definition Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation R M M auf einer Menge M, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. typischerweise Notation,,, oder ähnlich Infixschreibweise also x M : x x, x M : y M : x y = y x x M : y M : z M : x y y z = x z Äquivalenzrelationen 5/61

6 Einfachstes Beispiel: Identität I = {(x,x) x M} ist Äquivalenzrelation (für jede Menge M), denn x M : x = x, x M : y M : x = y = y = x x M : y M : z M : x = y y = z = x = z Äquivalenzrelationen 6/61

7 Wichtiges Beispiel: Kongruenz modulo n Es sei n N +. x,y Z heißen kongruent modulo n, wenn die Differenz x y durch n teilbar ist also x und y gleichen Rest bei Division durch n liefern Schreibweise x y (mod n) Das ist für jedes n N + eine Äquivalenzrelation, denn Reflexivität: x x = 0 ist Vielfaches von n Symmetrie: mit x y ist auch y x = (x y) Vielfaches von n Transitivität: Wenn x y = k 1 n und y z = k 2 n (mit k 1,k 2 Z), dann auch x z = (x y) + (y z) = (k 1 + k 2 )n ganzzahliges Vielfaches von n Äquivalenzrelationen 7/61

8 Beispiel: asymtptotisch gleiches Wachstum f (n) д(n) c,c R + : n 0 N 0 : n n 0 : c f (n) д(n) c f (n). reflexiv, symmetrisch, transitiv siehe Kapitel 13 Äquivalenzrelationen 8/61

9 Verallgemeinerung: Urbildmengen einer Funktion Es sei f : M M definiere binäre Relation f auf M vermöge x M y M : x f y genau dann wenn f (x) = f (y) Behauptung: f ist eine Äquivalenzrelation Reflexivität: x M: f (x) = f (x) also x f x Symmetrie: x M y M: f (x) = f (y) = f (y) = f (x) also x f y = y f x Transitivität: x M y M z M: f (x) = f (y) f (y) = f (z) = f (x) = f (z) also x f y y f z = x f z Äquivalenzrelationen 9/61

10 Bild einer Äquivalenzrelation Äquivalenzrelationen 10/61

11 Bild einer Äquivalenzrelation Äquivalenzrelationen 11/61

12 Definitionen Äquivalenzklasse von x M ist {y M x y} Schreibweise [x] oder einfach [x], falls klar ist Faktormenge (oder Faserung) von M nach ist die Menge aller Äquivalenzklassen. Schreibweise M / = {[x] x M} Äquivalenzrelationen 12/61

13 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreiben kurz 2 Äquivalenzrelationen 13/61

14 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreiben kurz 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, also Äquivalenzrelationen 13/61

15 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreiben kurz 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, also je zwei gerade Zahlen sind äquivalent Äquivalenzrelationen 13/61

16 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreiben kurz 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, also je zwei gerade Zahlen sind äquivalent je zwei ungerade Zahlen sind äquivalent Äquivalenzrelationen 13/61

17 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreiben kurz 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, also je zwei gerade Zahlen sind äquivalent je zwei ungerade Zahlen sind äquivalent eine gerade und eine ungerade Zahl sind nicht äquivalent Äquivalenzrelationen 13/61

18 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreiben kurz 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, also je zwei gerade Zahlen sind äquivalent je zwei ungerade Zahlen sind äquivalent eine gerade und eine ungerade Zahl sind nicht äquivalent zwei Äquivalenzklassen Äquivalenzrelationen 13/61

19 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreiben kurz 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, also je zwei gerade Zahlen sind äquivalent je zwei ungerade Zahlen sind äquivalent eine gerade und eine ungerade Zahl sind nicht äquivalent zwei Äquivalenzklassen [0] = {..., 4, 2,0,2,4,... } Äquivalenzrelationen 13/61

20 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreiben kurz 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, also je zwei gerade Zahlen sind äquivalent je zwei ungerade Zahlen sind äquivalent eine gerade und eine ungerade Zahl sind nicht äquivalent zwei Äquivalenzklassen [0] = {..., 4, 2,0,2,4,... } [1] = {..., 5, 3, 1,1,3,5,... } Äquivalenzrelationen 13/61

21 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreiben kurz 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, also je zwei gerade Zahlen sind äquivalent je zwei ungerade Zahlen sind äquivalent eine gerade und eine ungerade Zahl sind nicht äquivalent zwei Äquivalenzklassen [0] = {..., 4, 2,0,2,4,... } [1] = {..., 5, 3, 1,1,3,5,... } statt Z/ n schreibt man oft Z n Äquivalenzrelationen 13/61

22 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreiben kurz 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, also je zwei gerade Zahlen sind äquivalent je zwei ungerade Zahlen sind äquivalent eine gerade und eine ungerade Zahl sind nicht äquivalent zwei Äquivalenzklassen [0] = {..., 4, 2,0,2,4,... } [1] = {..., 5, 3, 1,1,3,5,... } statt Z/ n schreibt man oft Z n mehr z. B. in Theoretische Grundlagen der Informatik Äquivalenzrelationen 13/61

23 Beispiel: Äquivalenzklassen von Kongruenz modulo 2 schreiben kurz 2 x 2 y genau dann, wenn x y durch 2 teilbar, also je zwei gerade Zahlen sind äquivalent je zwei ungerade Zahlen sind äquivalent eine gerade und eine ungerade Zahl sind nicht äquivalent zwei Äquivalenzklassen [0] = {..., 4, 2,0,2,4,... } [1] = {..., 5, 3, 1,1,3,5,... } statt Z/ n schreibt man oft Z n mehr z. B. in Theoretische Grundlagen der Informatik Nerode-Äquivalenz für formale Sprachen Äquivalenzrelationen 13/61

24 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Äquivalenzrelationen Beispiel Kongruenz modulo n Das sollten Sie üben: definierenden Eigenschaften überprüfen Anzahl Äquivalenzklassen bestimmen Äquivalenzrelationen 14/61

25 Überblick Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Ordnungen Kongruenzrelationen 15/61

26 Äquivalenzrelationen auf Mengen mit Struktur Beispiel: n auf additiver Gruppe (oder Ring) Z Frage: Wie ändern sich Funktionswerte, wenn man Argumente durch äquivalente ersetzt? Kongruenzrelationen 16/61

27 Verträglichkeit mit einstelligen Funktionen und binären Operationen Sei Äquivalenzrelation auf M und f : M M eine Abbildung. ist mit f verträglich, wenn für alle x 1,x 2 M gilt: x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ). Sei Äquivalenzrelation und eine binäre Operation auf M. ist mit verträglich, wenn für alle x 1,x 2 M und alle y 1,y 2 M gilt: x 1 x 2 y 1 y 2 = x 1 y 1 x 2 y 2. Kongruenzrelationen 17/61

28 Veträglichkeit: Beispiel modulo Äquivalenz modulo n. Diese Relationen sind mit Addition, Subtraktion und Multiplikation verträglich. Beispiel: ist dann auch x 1 x 2 (mod n) also x 1 x 2 = kn und y 1 y 2 (mod n) also y 1 y 2 = mn (x 1 + y 1 ) (x 2 + y 2 ) = (x 1 x 2 ) + (y 1 y 2 ) = (k + m)n. mit anderen Worten x 1 + y 1 x 2 + y 2 (mod n). Kongruenzrelationen 18/61

29 Kongruenzrelationen Eine Äquivalenzrelation, die mit allen gerade interessierenden Funktionen oder/und Operationen verträglich ist, nennt man auch eine Kongruenzrelation. Kongruenzrelationen 19/61

30 Eine Operation für Äquivalenzklassen modulo n es sei n beliebig, aber fest für die Äquivalenzklassen von n schreiben wir [x] n Was ist mit dem Folgenden? +: Z n Z n Z n : [x] n + [y] n = [x + y] n Kongruenzrelationen 20/61

31 Eine Operation für Äquivalenzklassen modulo n es sei n beliebig, aber fest für die Äquivalenzklassen von n schreiben wir [x] n Was ist mit dem Folgenden? +: Z n Z n Z n : [x] n + [y] n = [x + y] n Ist das in Ordnung? Ist das eine Definition? Wo kann ein Problem sein? Kongruenzrelationen 20/61

32 Induzierte Abbildungen für Äquivalenzklassen Allgemein gilt: Wenn mit f : M M verträglich ist, dann ist f : M / M / : f ([x]) = [f (x)] wohldefiniert. Wenn mit : M M M verträglich ist, dann ist : M / M / M / : [x] [y] = [x y] wohldefiniert. Kongruenzrelationen 21/61

33 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Kongruenzrelationen: Verträglichkeit induzierte Abbildungen/Operationen für Äquivalenzklassen Das sollten Sie üben: mit Äquivalenzklassen rechnen Kongruenzrelationen 22/61

34 Überblick Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Ordnungen Halbordnungen 23/61

35 Definition antisymmetrischer Relationen Relation R M M heißt antisymmetrisch, wenn für alle x,y M gilt: xry yrx = x = y Beispiel Mengeninklusion: zum Beispiel M = 2 M Potenzmenge einer Menge M Relation R = {(A,B) A M B M A B} = {(A,B) A M B M A B} M M R ist antisymmetrisch: A B B A = A = B Halbordnungen 24/61

36 Definition Halbordnung Relation R M M heißt Halbordnung, wenn sie ist. reflexiv, antisymmetrisch und transitiv Wenn R Halbordnung auf Menge M ist, nennt man auch M eine halbgeordnete Menge. Halbordnungen 25/61

37 Definition Halbordnung Relation R M M heißt Halbordnung, wenn sie ist. reflexiv, antisymmetrisch und transitiv Wenn R Halbordnung auf Menge M ist, nennt man auch M eine halbgeordnete Menge. Beispiel Mengeninklusion: A A A B B A = A = B A B B C = A C Halbordnungen 25/61

38 Definition Halbordnung Relation R M M heißt Halbordnung, wenn sie ist. reflexiv, antisymmetrisch und transitiv Wenn R Halbordnung auf Menge M ist, nennt man auch M eine halbgeordnete Menge. Beispiel Mengeninklusion: A A A B B A = A = B A B B C = A C Beachte: es gibt im allgemeinen unvergleichbare Elemente z. B. {1,2,3} {3,4,5} und {3,4,5} {1,2,3} Halbordnungen 25/61

39 Beispiel: Halbordnung auf Wörtern M = A Relation p auf A : w 1 p w 2 u A : w 1 u = w 2 zum Beispiel im Duden: Klaus kommt vor Klausur aber: p ist echte Halbordnung keine Beziehung zwischen Klausur und Übung Halbordnungen 26/61

40 Darstellung von Halbordnungen (1): Graph der gesamten Relation Beispiel (2 {a,b,c }, ) {a,b,c} {a,b} {a,c} {b,c} {a} {b} {c} {} Halbordnungen 27/61

41 Darstellung von Halbordnungen (2): Hassediagramm zeichne nur H R = (R I ) (R I ) 2 Beispiel (2 {a,b,c }, ) {a,b,c} {a,b} {a,c} {b,c} {a} {b} {c} {} Halbordnungen 28/61

42 Hassediagramm: enthält alles Wesentliche Wenn R Halbordnung auf einer endlichen Menge M ist, dann kann man aus H R das R wieder rekonstruieren: Halbordnungen 29/61

43 Hassediagramm: enthält alles Wesentliche Wenn R Halbordnung auf einer endlichen Menge M ist, dann kann man aus H R das R wieder rekonstruieren: H R = R Halbordnungen 29/61

44 Minimale und maximale Elemente sei (M, ) halbgeordnet und T M. x T heißt minimales Element von T, wenn es kein y T gibt mit y x und y x. x T heißt maximales Element von T, wenn es kein y T gibt mit x y und x y. Halbordnungen 30/61

45 Minimale und maximale Elemente: Beispiele Teilmenge von (2 {a,b,c }, ): ab bc b c {} zwei maximale Elemente: ab und bc ein minimales Element: {} Halbordnungen 31/61

46 Kleinste und größte Elemente sei (M, ) halbgeordnet und T M. x T heißt kleinstes Element von T, wenn für alle y T gilt: x y. x T heißt größtes Element von T, wenn für alle y T gilt: y x. Halbordnungen 32/61

47 Kleinte und größte Elemente: Beispiele Teilmenge von (2 {a,b,c }, ): ab bc b c {} kein größtes Element kleinstes Element: {} Halbordnungen 33/61

48 Kleinte und größte Elemente: Beispiele Teilmenge von (2 {a,b,c }, ): ab bc b c {} kein größtes Element kleinstes Element: {} Achtung: Eine unendliche Teilmenge kann z. B. genau ein minimales Element haben und trotzdem kein kleinstes! Halbordnungen 33/61

49 Kleinste und größte Elemente sei (M, ) halbgeordnet und T M. T kann nicht zwei verschiedene kleinste (bzw. größte) Elemente haben. Beweis für Eindeutigkeit des kleinsten Elements seien x 1 und x 2 kleinste Elemente, dann ist x 1 x 2, weil x 1 kleinstes Element, und es ist x 2 x 1, weil x 2 kleinstes Element, also wegen Antisymmetrie: x 1 = x 2 Beweis für Eindeutigkeit des größten Elements analog Halbordnungen 34/61

50 Untere und obere Schranken sei (M, ) halbgeordnet und T M. x M heißt obere Schranke von T, wenn für alle y T gilt: y x. x M heißt untere Schranke von T, wenn für alle y T gilt: x y. Halbordnungen 35/61

51 Untere und obere Schranken sei (M, ) halbgeordnet und T M. x M heißt obere Schranke von T, wenn für alle y T gilt: y x. x M heißt untere Schranke von T, wenn für alle y T gilt: x y. Beachte: untere und obere Schranken von T dürfen außerhalb von T liegen. Halbordnungen 35/61

52 Untere und obere Schranken: Beispiele Standardbeispiel: abc ab ac bc a b c {} T = {{}, {a}, {b}}: obere Schranken {a,b} und {a,b,c}. T = {{}, {a}, {b}, {a,b}}: die gleichen oberen Schranken. Halbordnungen 36/61

53 Untere und obere Schranken: Beispiele Standardbeispiel: abc ab ac bc a b c {} T = {{}, {a}, {b}}: obere Schranken {a,b} und {a,b,c}. T = {{}, {a}, {b}, {a,b}}: die gleichen oberen Schranken. Halbordnungen 37/61

54 Untere und obere Schranken: Beispiele Standardbeispiel: abc ab ac bc a b c {} T = {{}, {a}, {b}}: obere Schranken {a,b} und {a,b,c}. T = {{}, {a}, {b}, {a,b}}: die gleichen oberen Schranken. Halbordnungen 38/61

55 Untere und obere Schranken müssen nicht existieren Teilmenge muss keine obere Schranke besitzen In besitzt z. B. die Gesamtmenge keine obere Schranke. Halbordnungen 39/61

56 Untere und obere Schranken müssen nicht existieren Teilmenge muss keine obere Schranke besitzen In besitzt z. B. die Gesamtmenge keine obere Schranke. In (N 0, ) besitzt die Gesamtmenge keine obere Schranke. Halbordnungen 39/61

57 Supremum und Infimum Besitzt die Menge aller oberen Schranken einer Teilmenge T ein kleinstes Element, so heißt dies das Supremum von T Schreibweisen T oder sup(t ) Besitzt die Menge aller unteren Schranken einer Teilmenge T ein größtes Element, so heißt dies das Infimum von T. brauchen wir hier nicht Halbordnungen 40/61

58 Supremum und Infimum Besitzt die Menge aller oberen Schranken einer Teilmenge T ein kleinstes Element, so heißt dies das Supremum von T Schreibweisen T oder sup(t ) Besitzt die Menge aller unteren Schranken einer Teilmenge T ein größtes Element, so heißt dies das Infimum von T. brauchen wir hier nicht Supremum (bzw. Infimum) einer Teilmenge müssen nicht existieren weil gar keine oberen Schranken vorhanden oder weil von den oberen Schranken keine die kleinste ist Halbordnungen 40/61

59 Supremum und Infimum: Beispiele Bei Halbordnungen (2 M, ) existieren Suprema immer: Supremum von T 2 M ist die Vereinigung aller Teilmengen von M, die in T liegen Beispiel für das Beispiel: M = {a,b} also ist M = 2 M die Menge aller formalen Sprachen L M für i N 0 sei L i = {a j b j j i} L 0 = {ε} L 1 = {ε,ab} L 2 = {ε,ab,aabb}... sei T = {L i i N 0 } dann ist T = i=0 L i = {a j b j j N 0 } Halbordnungen 41/61

60 Aufsteigende Ketten aufsteigende Kette abzählbar unendliche Folge (x 0, x 1, x 2,... ) von Elementen mit der Eigenschaft: i N 0 : x i x i+1. kurz x 0 x 1 x 2 x 3 Halbordnungen 42/61

61 Aufsteigende Ketten aufsteigende Kette abzählbar unendliche Folge (x 0, x 1, x 2,... ) von Elementen mit der Eigenschaft: i N 0 : x i x i+1. kurz x 0 x 1 x 2 x 3 Beispiel: (2 {a,b}, ) {ε} {ε,ab} {ε,ab,aabb} {ε,ab,aabb,aaabbb}... Halbordnungen 42/61

62 Vollständige Halbordnungen Eine Halbordnung heißt vollständig, wenn sie ein kleinstes Element hat und jede aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 ein Supremum i x i besitzt. Halbordnungen 43/61

63 Vollständige Halbordnungen Eine Halbordnung heißt vollständig, wenn sie ein kleinstes Element hat und jede aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 ein Supremum i x i besitzt. Beispiele: (2 M, ) kleinstes Element {} Supremum von T 0 T 1 T 2 ist T i. Halbordnungen 43/61

64 Vollständige Halbordnungen: weitere (Nicht-)Beispiele (N 0, ) ist keine vollständige Halbordung unbeschränkt wachsende aufsteigende Ketten wie z. B besitzen kein Supremum in N 0. Ergänze weiteres Element u über allen Zahlen: N = N 0 {u} und x y ( x,y N 0 x y ) (y = u) also sozusagen u später noch nützlich N = N 0 {u 1,u 2 } und x y ( x,y N 0 x y ) ( ) x N 0 {u 1 } y = u 1 y = u2 also sozusagen u 1 u 2 Halbordnungen 44/61

65 Monotone Abbildungen eine Halbordnung auf einer Menge M. Abbildung f : M M monoton, wenn für alle x,y M gilt: x y = f (x) f (y) Halbordnungen 45/61

66 Monotone Abbildungen eine Halbordnung auf einer Menge M. Abbildung f : M M monoton, wenn für alle x,y M gilt: x y = f (x) f (y) Beispiel: (N 0, ) mit Abbildung f (x) = x + 1 x y = x + 1 y + 1 Nichtbeispiel: (N 0, ) mit Abbildung f (x) = x mod , aber f (3) = 3 0 = f (10). Halbordnungen 45/61

67 Stetige Abbildungen (D, ) sei vollständige Halbordnung Abbildung f : D D heißt stetig, wenn für jede aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 gilt: f ( x i ) = f (x i ) i i Halbordnungen 46/61

68 Stetige Abbildungen: Beispiele (1) N = N 0 {u 1,u 2 } mit wie eben Abbildung f : N N mit ist stetig. warum? x + 1 falls x N 0 f (x) = u 1 falls x = u 1 u 2 falls x = u 2 Halbordnungen 47/61

69 Stetige Abbildungen: Beispiele (2) f (x) = x + 1 falls x N 0 u j falls x = u j (für j = 1,2) Zwei Fälle für aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 : 1. Die Kette wird konstant. also x 0 x 1 x 2 x i = x i+1 = x i+2 = = n. also jedenfalls i x i = n ; Halbordnungen 48/61

70 Stetige Abbildungen: Beispiele (2) f (x) = x + 1 falls x N 0 u j falls x = u j (für j = 1,2) Zwei Fälle für aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 : 1. Die Kette wird konstant. also x 0 x 1 x 2 x i = x i+1 = x i+2 = = n. also jedenfalls i x i = n ; zwei Unterfälle: Wenn n = u j ist, dann ist wegen f (u j ) = u j ist auch i f (x i ) = u j, also ist f ( i x i ) = i f (x i ). Wenn n N 0 ist, dann ist f ( i x i ) = f (n ) = n + 1. Andererseits ist die Kette der Funktionswerte f (x 0 ) f (x 1 ) f (x 2 ) f (x i ) = f (x i+1 ) = f (x i+2 ) = = f (n ) = n + 1. Also ist f ( i x i ) = i f (x i ). Halbordnungen 48/61

71 Stetige Abbildungen: Beispiele (2) f (x) = x + 1 falls x N 0 u j falls x = u j (für j = 1,2) Zwei Fälle für aufsteigende Kette x 0 x 1 x 2 : 1. Die Kette wird konstant. also x 0 x 1 x 2 x i = x i+1 = x i+2 = = n. also jedenfalls i x i = n ; zwei Unterfälle: Wenn n = u j ist, dann ist wegen f (u j ) = u j ist auch i f (x i ) = u j, also ist f ( i x i ) = i f (x i ). Wenn n N 0 ist, dann ist f ( i x i ) = f (n ) = n + 1. Andererseits ist die Kette der Funktionswerte f (x 0 ) f (x 1 ) f (x 2 ) f (x i ) = f (x i+1 ) = f (x i+2 ) = = f (n ) = n + 1. Also ist f ( i x i ) = i f (x i ). 2. Die Kette wird nicht konstant. dann alle x i N 0 und die Kette wächst unbeschränkt gleiches gilt für Kette der Funktionswerte. Also haben beide Ketten Supremum u 1 und wegen f (u 1 ) = u 1 ist f ( i x i ) = i f (x i ). Halbordnungen 48/61

72 Stetige Abbildungen: Beispiele (3) N = N 0 {u 1,u 2 } mit wie eben Abbildung д : N N mit ist nicht stetig x + 1 falls x N 0 д(x) = u 2 falls x = u 1 u 2 falls x = u 2 Halbordnungen 49/61

73 Stetige Abbildungen: Beispiele (3) N = N 0 {u 1,u 2 } mit wie eben Abbildung д : N N mit ist nicht stetig x + 1 falls x N 0 д(x) = u 2 falls x = u 1 u 2 falls x = u 2 Unterschied zu f : д(u 1 ) = u 2 unbeschränkt wachsende Kette x 0 x 1 x 2 natürlicher Zahlen hat Supremem u 1 also д( i x i ) = u 2, aber Kette der Funktionswerte д(x 0 ) д(x 1 ) д(x 2 ) hat Supremem i д(x i ) = u 1 д( i x i ). Halbordnungen 49/61

74 Fixpunktsatz Satz Es sei f : D D eine monotone und stetige Abbildung auf einer vollständigen Halbordnung (D, ) mit kleinstem Element. Elemente x i D seien wie folgt definiert: x 0 = i N 0 : x i+1 = f (x i ) Dann gilt: 1. Die x i bilden eine Kette: x 0 x 1 x Das Supremum x f = i x i dieser Kette ist Fixpunkt von f, also f (x f ) = x f. 3. x f ist der kleinste Fixpunkt von f : Wenn f (y f ) = y f ist, dann ist x f y f. Anwendung: siehe Vorlesungen zu Semantik von Programmiersprachen Halbordnungen 50/61

75 Fixpunktsatz: Beweis 1. Behauptung: i N 0 gilt x i x i+1 vollständige Induktion: x 0 x 1, weil x 0 = das kleinste Element wenn x i x i+1, dann wegen Monotonie von f auch f (x i ) f (x i+1 ), also x i+1 x i+2. Halbordnungen 51/61

76 Fixpunktsatz: Beweis 1. Behauptung: i N 0 gilt x i x i+1 vollständige Induktion: x 0 x 1, weil x 0 = das kleinste Element wenn x i x i+1, dann wegen Monotonie von f auch f (x i ) f (x i+1 ), also x i+1 x i Behauptung: x f = i x i ist Fixpunkt, also f (x f ) = x f Wegen Stetigkeit von f ist f (x f ) = f ( i x i ) = i f (x i ) = i x i+1. Folge der x i+1 unterscheidet sich von Folge der x i nur durch fehlendes erstes Element. Also haben beide Folgen das gleiche Supremum x f (klar?) also i x i+1 = i x i = x f also ist f (x f ) = x f Halbordnungen 51/61

77 Fixpunktsatz: Beweis 1. Behauptung: i N 0 gilt x i x i+1 vollständige Induktion: x 0 x 1, weil x 0 = das kleinste Element wenn x i x i+1, dann wegen Monotonie von f auch f (x i ) f (x i+1 ), also x i+1 x i Behauptung: x f = i x i ist Fixpunkt, also f (x f ) = x f Wegen Stetigkeit von f ist f (x f ) = f ( i x i ) = i f (x i ) = i x i+1. Folge der x i+1 unterscheidet sich von Folge der x i nur durch fehlendes erstes Element. Also haben beide Folgen das gleiche Supremum x f (klar?) also i x i+1 = i x i = x f also ist f (x f ) = x f 3. Behauptung: x f ist kleinster Fixpunkt. Sei f (y f ) = y f. Induktion lehrt: i N 0 : x i y f. also ist y f eine obere Schranke der Kette, also ist gilt für die kleinste obere Schranke: x f = i x i y f. Halbordnungen 51/61

78 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Halbordnungen sind reflexiv, antisymmetrisch und transitiv vollständige Halbordnungen: jede aufsteigende Kette hat Supremum stetige Abbildungen: f ( x i ) = f (x i ) Fixpunktsatz Das sollten Sie üben: Nachweis der Eigenschaften von (vollständigen) Halbordnungen Beweise einfacher Aussagen an ungewohnte Eigenschaften von Halbordnungen gewöhnen (Unendlichkeit lässt grüßen) (siehe auch gleich) Halbordnungen 52/61

79 Überblick Äquivalenzrelationen Kongruenzrelationen Halbordnungen Ordnungen Ordnungen 53/61

80 Totale Ordnungen: Definition Relation R M M ist eine Ordnung oder genauer totale Ordnung, wenn R Halbordnung ist und gilt: x,y M : xry yrx Ordnungen 54/61

81 Totale Ordnungen: Definition Relation R M M ist eine Ordnung oder genauer totale Ordnung, wenn R Halbordnung ist und gilt: x,y M : xry yrx Es gibt keine unvergleichbaren Elemente. Beispiele: (N 0, ) (Z Z, ) mit (x 1,x 2 ) (y 1,y 2 ) x 1 < y 1 (x 1 = y 1 x 2 y 2 ) ({a,b}, 1 ) mit 1 wie im Wörterbuch Ordnungen 54/61

82 Totale Ordnungen auf A Relation p auf {a,b} : w 1 p w 2 u A : w 1 u = w 2 ist keine totale Ordnung z. B. sind a und b unvergleichbar Wie kann man aus p eine totale Ordnung machen? Ordnungen 55/61

83 Totale Ordnungen auf A Relation p auf {a,b} : w 1 p w 2 u A : w 1 u = w 2 ist keine totale Ordnung z. B. sind a und b unvergleichbar Wie kann man aus p eine totale Ordnung machen? jedenfalls totale Ordnung A auf A nötig, z. B. a A b und dann? mehrere Möglichkeiten... Ordnungen 55/61

84 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) Suche längstes gemeinsames Präfix v w 1 v? w 2 Ordnungen 56/61

85 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) Suche längstes gemeinsames Präfix v w 1 v? w 2 ein gemeinsames Präfix gibt es immer: ε stets v min( w 1, w 2 ) es gibt ein längstes das längste ist eindeutig bestimmt Ordnungen 56/61

86 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) 1. Fall: v = min( w 1, w 2 ) drei Möglichkeiten v = w 1 < w 2 v = w 1 = w 2 = v w 1 > w 2 = v Ordnungen 56/61

87 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) 1. Fall: v = min( w 1, w 2 ) drei Möglichkeiten v = w 1 < w 2 : definiere w 1 1 w 2 v = w 1 = w 2 = v w 1 > w 2 = v w 1 v w 2 Ordnungen 56/61

88 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) 1. Fall: v = min( w 1, w 2 ) drei Möglichkeiten v = w 1 < w 2 : definiere w 1 1 w 2 v = w 1 = w 2 = v : definiere w 1 1 w 2 und w 2 1 w 1 w 1 > w 2 = v w 1 v w 2 Ordnungen 56/61

89 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) 1. Fall: v = min( w 1, w 2 ) drei Möglichkeiten v = w 1 < w 2 : definiere w 1 1 w 2 v = w 1 = w 2 = v : definiere w 1 1 w 2 und w 2 1 w 1 w 1 > w 2 = v : definiere w 2 1 w 1 w 1 v w 2 Ordnungen 56/61

90 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) 2. Fall: v < min( w 1, w 2 ) w 1 v w 2 Ordnungen 56/61

91 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) 2. Fall: v < min( w 1, w 2 ) w 1 v w 2 M x M y Ordnungen 56/61

92 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) 2. Fall: v < min( w 1, w 2 ) w 1 v w 2 M x M y wenn x A y dann w 1 1 w 2 wenn y A x dann w 2 1 w 1 Ordnungen 56/61

93 Lexikographische Ordnung 1 (Wörterbuch) seien w 1,w 2 A sei v A das maximal lange Präfix, so dass es u 1,u 2 A gibt mit w 1 = v u 1 und w 2 = v u 2. Fallunterscheidung: 1. Falls v = w 1 ist, gilt w 1 1 w 2 Falls v = w 2 ist, gilt w 2 1 w 1 2. Falls w 1 v w 2, gibt es x,y A und u 1,u 2 A mit x y und w 1 = v x u 1 und w 2 = v y u 2 Dann gilt w 1 1 w 2 x A y. Beispiele 1. Klaus kommt vor Klausur 2. Klausur kommt vor Übung (im Duden, aber nicht im Studium!) Ordnungen 57/61

94 Lexikographische Ordnung 1 (2) Wenn man nur endlich viele Wörter ordnen muss (Wörterbuch), dann harmlos ; Beispiel: a 1 aa 1 aaa 1 aaaa 1 ab 1 aba 1 abbb 1 b 1 baaaaaa 1 baab 1 bbbbb Ordnungen 58/61

95 Lexikographische Ordnung 1 (2) Wenn man nur endlich viele Wörter ordnen muss (Wörterbuch), dann harmlos ; Beispiel: a 1 aa 1 aaa 1 aaaa 1 ab 1 aba 1 abbb 1 b 1 baaaaaa 1 baab 1 bbbbb wenn man A ordnet, nicht ganz so harmlos; unvollständig ε 1 a 1 aa 1 aaa 1 aaaa 1 besitzt kein Supremum, denn jedes Wort, das mindestens ein b enthält, ist obere Schranke, zu jeder oberen Schranke w ist a w b ist eine echt kleine obere Schranke (weil w ein b enthält) b 1 ab 1 aab 1 aaab 1 aaaab 1 hat kein Infimum Ordnungen 58/61

96 Lexikographische Ordnung 2 andere lexikographische Ordnung 2 auf A : w 1 2 w 2 gilt genau dann, wenn entweder w 1 < w 2 oder w 1 = w 2 und w 1 1 w 2 gilt. Diese Ordnung beginnt also z. B. im Fall A = {a,b} bei naheliegender Ordnung A so: ε 2 a 2 b 2 aa 2 ab 2 ba 2 bb 2 aaa 2 2 bbb 2 aaaa 2 2 bbbb Ordnungen 59/61

97 1 und 2 sind totale Ordnungen 1 auf Menge A n aller Wörter fester Länge n ist totale Ordnung Halbordnung: nachprüfen... für verschiedene Wörter gleicher Länge niemals w 1 = v oder w 2 = v. da A als total vorausgesetzt wird, ist bei w 1 = v x u 1 und w 2 = v y u 2 stets x A y oder y A x also stets w 1 1 w 2 oder w 2 1 w 1. also 2 auf A totale Ordnung 1 für verschieden lange Wörter: nachprüfen... Ordnungen 60/61

98 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: totale Ordnungen sind Halbordnungen ohne unvergleichbare Elemente Anwendung an diversen Stellen in der Informatik (z. B. Semantik, Testmuster,...) Das sollten Sie üben: Nachweis der Eigenschaften von totalen Ordnungen Beweise einfacher Aussagen an ungewohnte Eigenschaften von Ordnungen gewöhnen (Unendlichkeit lässt grüßen) Ordnungen 61/61