Relationen und Funktionen

Transkript

1 Vorkurs Mathematik Dr. Regula Krapf Sommersemester 018 Relationen und Funktionen Definition. Seien M und N Mengen. Eine Relation auf M N ist eine Teilmenge R M N. Falls (x,y) R, so schreibt man auch x R y und sagt, dass x in Relation zu y steht. Man kann eine Relation R M N auch direkt durch R angeben, denn aus R erhält man R = {(x,y) M N x R y}. Wenn M = N, so sagt man auch, dass R (bzw. R ) eine Relation auf M definiert. Relationen auf endlichen Mengen lassen sich durch Pfeildiagramme darstellen. Beispiel. Sei M = N = {a, b, c, d, e} und sei R die Relation gegeben durch R = {(a,b),(b,c),(b,d),(c,c),(c,d),(d,a),(d,c),(e,b)}. Diese Relation lässt sich durch folgendes Diagramm darstellen: Definition. Sei M eine Menge. Eine Relation R M heißt reflexiv, falls x R x für alle x M. irreflexiv, falls x R x für alle x M. symmetrisch, falls x R y = y R x für alle x,y M. antisymmetrisch, falls für alle x,y M aus x R y und y R x schon x = y folgt. transitiv, falls für alle x,y,z M aus x R y und y R z schon x R z folgt. Aufgabe 1. Sei M die Menge aller Studendierenden an der Uni Koblenz. Überprüfen Sie die folgenden Relationen auf M auf Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität: (1) x y : x und y haben denselben Studiengang für x, y M () x y : x kennt y für x,y M () x y : x hat einen längeren Weg zur Uni als y für x,y M

2 Aufgabe. Sei M = {1,,}. Zeichnen Sie je eine Relation auf M, die reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch resp. transitiv ist. Wir charakterisieren die Relationseigenschaften auf endlichen Mengen bzgl. der Darstellung durch Pfeildiagramme: Eine Relation auf einer endlichen Menge M ist... reflexiv, falls irreflexiv, falls symmetrisch, falls antisymmetrisch, falls transitiv, falls Definition. Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, nennt man eine Äquivalenzrelation. Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, heißt Ordnungsrelation. Aufgabe. Welche der folgenden Relationen sind Äquivalenzrelationen? Welche sind Ordnungsrelationen? (1) auf N () < auf N () = auf N () auf P (N) () auf N (6) auf Z (7) auf der Menge aller Aussagen

3 Lemma. Die Teilbarkeitsrelation ist eine Beweis. Aufgabe. Seien M und N Mengen. Was ist eine Funktion f : M N? Wie haben Sie Funktionen in der Schule eingeführt? Finden Sie Beispiele für Funktionen. Falls f : M N eine Funktion ist, so ist eine Relation. Definition. Seien M,N Mengen. Eine Funktion ist eine Relation f M N mit folgenden Eigenschaften: (1) () Statt (x, y) f schreibt man y = f (x) oder x f (x). Die Menge M wird als Definitionsbereich von f und die Menge N als Wertebereich von f bezeichnet. Aufgabe. Bei welchen der folgenden Zuordnungen handelt es sich um Funktionen? (1) Kind Vater () Vater Kind () Mensch Telefonnummer () Mensch Alter () Alter Mensch

4 Funktionen f : M N mit M,N R lassen sich durch einen Funktionsgraphen darstellen: Aufgabe 6. Stellen Sie die folgenden Funktionen als Funktionsgraph dar: (1) f : R R, x x + 1 () f : R R, x (x 1) Definition. Seien M und N beliebige Mengen sowie f : M N eine Funktion. Wir nennen die Funktion f injektiv, falls für alle x 1,x M aus f (x 1 ) = f (x ) schon x 1 = x folgt. surjektiv, falls für jedes y N ein x M existiert mit f (x) = y. bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. Aufgabe 7. Welche der Eigenschaften injektiv/surjektiv/bijektiv haben die folgenden Funktionen (als Funktionen [0, 1] [0, 1])? Für Funktionen f : M N mit M,N R kann man die Funktionseigenschaften wie folgt geometrisch interpretieren: Die Funktion f ist... injektiv, falls surjektiv, falls bijektiv, falls

5 Beispiel. Die Funktion f : M N,f (x) = x 1 ist weder injektiv noch surjektiv für injektiv, aber nicht surjektiv für surjektiv, aber nicht injektiv für bijektiv für Beispiel. Welche Eigenschaften haben die folgenden Funktionen? (1) f : Z Z,a a 1 () g : Q Q,a a 1 () h : R R,x x + 6x + 9 () k : N N,n Q(n)

6 6 Definition. Wenn f : M N und g : N P zwei Funktionen sind, so können wir die beiden Funktionen hintereinanderschalten. So erhalten wir eine Funktion g f : M P. Formal ist g f definiert durch (g f )(x) := g(f (x)), d.h. wir wenden zuerst f auf x an, und danach g auf f (x). Beispiel. Seien f : R R,x x und g : R R,x x 1. Dann gilt (g f )(x) = Aufgabe 8. Seien f,g : R R mit f (x) = e x und g(x) = x. Geben Sie g f und f g an. Erfüllt die Komposition von Funktionen das Kommutativgesetz? Wie zeigt man, dass zwei Funktionen f,g : M N gleich bzw. verschieden sind? Die Funktionen f,g sind gleich, falls verschieden, falls Lemma. Die Komposition von Funktionen erfüllt das Assoziativgesetz, aber nicht das Kommutativgesetz, d.h. für Funktionen f : M N,g : N P und h : P Q gilt h (g f ) = (h g) f, aber im Allgemeinen f g g f (für P = M).

7 7 Beweis. Lemma. Seien f : M N und g : N P Funktionen. (1) Falls f,g injektiv sind, so ist g f injektiv. () Falls f,g surjektiv sind, so ist g f surjektiv. () Falls f,g bijektiv sind, so ist g f bijektiv.