2 Lösungen zu Kapitel 2

Transkript

1 2 Lösungen zu Kapitel 2 2. Lösung. Die Funktion f ist nicht injektiv. So gibt es (unendlich) viele Paare (x, y) mit f(x, y) = 0, etwa (0, 0) und (/2, ). Die Funktion f ist surjektiv. Zum Beispiel gilt f(x, 0) : x R} = R. 2.2 Lösung. Da 0 von der Funktion f nicht als Wert angenommen wird, kann die Komposition g f gebildet werden. Wegen ( g 3 ) = = 4 / R \ 4/3} 3 kann die Komposition f g nicht gebildet werden. Für die Komposition g f : R \ 3/4} R gilt g f(x) = /(3x 4) + 4 = 3x. Also ist g f injektiv. Die Funktion ist aber nicht surjektiv. Die Zahl 9/4 wird von g f nicht angenommen. 2.3 Lösung. Die erste Aussage ist wahr. Aus der Injektivität von f und g folgt nämlich die Injektivität von g f: Aus x x 2 ergibt sich f(x ) f(x 2 ) und damit (g f)(x ) (g f)(x 2 ). Analog folgt, dass die Surjektivität von f und g die Surjektivität von g f impliziert. Ist nämlich z Z beliebig, so existiert wegen der Surjektivität von g ein y Y mit g(y) = z. Da f surjektiv ist, gibt es ein x X mit f(x) = y. Insgesamt folgt g f(x) = z, was zeigt, dass g f surjektiv ist. Wie das Beispiel X := Z := }, Y :=, 2}, f() :=, g() :=, g(2) := zeigt, ist die zweite Ausage falsch. 2.4 Lösung. (i) Es gilt 2x x + 7 f(x) = 2 x x + 4 2(x + 3) + = 2x + 7, für x 3, = 2(x + 3) = 2x 6, für x < 3. Damit ist f(x) : x 3} die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen und f(x) : x < 3} die Menge der geraden natürlichen Zahlen. Außerdem erkennt man die Injektivität von f. Zur Bestimmung der Umkehrfunktion g : N Z von f hat man die Gleichungen y = 2x + 7 und y = 2x 6 für ungerades bzw. gerades y nach x aufzulösen. Es ergibt sich y 7 g(y) = 2, für ungerades y, y 2 3, für gerades y. 3

2 2.5 Lösung. Zunächst soll die Injektivität von f nachgewiesen werden. Es seien hierzu x, x R mit x x. Gilt x, x oder x, x <, so folgt offenbar f(x) f(x ). Im Fall x und x < (der Fall x < und x folgt analog) gilt (x ) 2 = f(x) 0 > f(x ) = x, also insbesondere f(x) f(x ). Die Abbildung f ist auch surjektiv. Zum Nachweis sei y R beliebig. Im Fall y 0 setzt man x := + y und erhält f(x) = y. (Hier wie auch an anderen Stellen der ersten beiden Kapitel werden aus der Schule bekannte Eigenschaften reeller Zahlen und stetiger Funktionen benutzt, die formal erst in den Kapiteln 3 und 5 diskutiert werden.) Im Fall y < 0 setzt man x := + y und erhält f(x) = y. Somit ist f bijektiv mit der Umkehrabbildung f : R R, y + y, y 0, + y, y < Lösung. (i) f ist injektiv, aber wegen 3 / f(n) nicht surjektiv und somit auch nicht bijektiv. Der Wertebereich von f ist die Menge, 4, 9, 6,...} aller Quadratzahlen. Wegen f 2 ( ) = f 2 () = ist f 2 nicht injektiv und somit auch nicht bijektiv. Es gilt f 2 (R) = [0, ) (zu jedem y 0 existiert ein x 0 mit x 2 = y), und folglich ist f 2 surjektiv. Die Funktion f 3 ist injektiv: Aus x, x (, 3) mit x x folgt x 3 x 3. Die Funktion f 3 ist nicht surjektiv, denn aus x (, 3) folgt x 3 < 0 und somit f(x) = /(x 3) < 0. Also gibt es etwa zu y = kein x (, 3) mit f(x) = y. Insgesamt ergibt sich, dass f 3 nicht bijektiv ist. (iv) Es gilt f 4 (x) = 4 (x 2) 2 für x < und f 4 (x) = (x ) für x. Hieraus folgt leicht die Injektivität von f 4 : Sind x, x R mit x x, so gilt offenbar f 4 (x) f 4 (x ) in den Fällen x, x und x, x <. Im verbleibenden Fall x <, x (der Fall x, x < folgt analog) gilt f 4 (x ) < 3 und f 4 (x) 3, also insbesondere f 4 (x) f 4 (x ). Die Funktion f 4 ist auch surjektiv (und damit insgesamt bijektiv): Ist nämlich y R beliebig, so unterscheidet man die Fälle y 3 und y < 3. Im Fall y 3 setzt man x := + y 3 und erhält (wegen x ) f 4 (x) = ( + y 3 ) = y. 4

3 Gilt y < 3, so setzt man x := 2 4 y und erhält (wegen x < ) f 4 (x) = 4 (2 4 y 2) 2 = y. Die Umkehrfunktion f4 : R R zu f 4 lautet + y 3, falls y 3, f 4 (y) := 2 4 y, falls y < Lösung. (i) Die Relation R := (, ), (2, 2), (3, 3), (, 2), (2, )} ist reflexiv und symmetrisch, aber nicht antisymmetrisch. Die Relation R 2 := (, ), (2, 2), (3, 3), (, 2)} ist reflexiv und antisymmetrisch, aber nicht symmetrisch. Die Relation R 3 := (, ), (2, 2)} ist symmetrisch und antisymmetrisch, aber nicht reflexiv. Wegen der Symmetrie und Antisymmetrie von R kann es kein Paar (x, y) R mit x y geben. Da R reflexiv ist, gilt dann R = (x, x) : x N}. Die Relation R ist damit transitiv. Die gestellte Frage ist also mit Nein zu beantworten. Nein. Aus der Definition der Vollständigkeit folgt, dass für jedes x M die Beziehung (x, x) R erfüllt ist. 2.8 Lösung. Die Relation R ist nicht transitiv und damit keine Äquivalenzrelation, denn es gilt (0, 2) R sowie (2, 4) R aber (0, 4) / R. Die Relation R 2 ist reflexiv, symmetrisch und transitiv und somit eine Äquivalenzrelation. 2.9 Lösung. Eine Präferenzrelation ist nach Definition reflexiv, transitiv und vollständig. (i) Wegen der geforderten Reflexivität muss R die Paare (j, j), j 5, enthalten. Um die Transitivität zu gewährleisten, müssen die Beziehungen (, 3) R, (2, 4) R, (3, 5) R, (, 5) R, (, 4) R, (2, 5) R gelten. Dann ist R := (i, j) X X : i j} eine Präferenzrelation, und zwar die kleinste Präferenzrelation, die R enthält. Sie ist nach Konstruktion ( zwangsweise Hinzunahme von Paaren ) eindeutig bestimmt. Da R antisymmetrisch ist, ist R eine Totalordnung. 5

4 Wegen der geforderten Reflexivität muss R 2 zunächst um die Paare (j, j), j 5, erweitert werden. Die Eigenschaft der Transitivität erfordert zwingend die Hinzunahme der Paare (5, 2), (5, 3). Die Relation R 2 := R 2 (j, j) : j 5} (5, 2), (5, 3)} ist reflexiv und transitiv, aber nicht vollständig, da etwa weder (, 4) noch (4, ) zu R 2 gehören. Die Relation R 2 := R 2 (4, ), (4, 2)} ist eine (kleinstmögliche) Präferenzrelation, die R 2 enthält. Andererseits ist auch R 2 := R 2 (, 4), (2, 4)} eine (kleinstmögliche) Präferenzrelation, die R 2 enthält. Sowohl R2 als auch R 2 sind Totalordnungen, da sie antisymmetrisch sind. 2.0 Lösung. (i) Die Relation R ist reflexiv, denn es gilt (z, )R(z, ) für jede Wahl von (z, ) X. Wegen (z, z 2)R(z, ) z = z z 2 (z, )R(z, z 2) für jede Wahl von (z, ) X und (z, z 2 ) X ist R auch symmetrisch. Jetzt wird geprüft, ob R transitiv ist. Dazu seien (z, ), (z, z 2 ), (z, z 2 ) X mit (z, )R(z, z 2 ) und (z, z 2 )R(z, z 2 ). Gleichbedeutend hiermit ist Wegen z 2 0 folgt z z 2 = z und z z 2 = z z 2. z = z = z = z z 2 z 2 = z z 2 z 2 = z und damit (z, )R(z, z 2 ). Somit ist die Relation R transitiv, also insgesamt eine Äquivalenzrelation. 6

5 Es gilt Q = p/q : p Z, q N} (vgl..3.2). Somit gilt ϕ(z N) = Q und damit erst recht ϕ(x) = Q. Die Abbildung ϕ ist somit surjektiv. Wegen ϕ(, ) = ϕ(, ) = ist ϕ nicht injektiv. Es sei X := [(z, )] : (z, ) X} die Menge der Äquivalenzklassen, wobei [(z, )] := (z, z 2) X : (z, )R(z, z 2)}, (z, ) X. Weiter sei ϕ : X Q definiert durch ϕ([(z, )] := z, [(z, )] X. Die Abbildung ϕ ist wohldefiniert, denn aus [(z, )] = [(u, u 2 )] für (z, ) X, (u, u 2 ) X folgt z u 2 = u und somit z = u u 2. Die Abbildung ϕ ist surjektiv, denn für beliebiges y := z Q mit z Z und N gilt ϕ([(z, )]) = y. Es seien jetzt (z, ), (u, u 2 ) X mit [(z, )] [(u, u 2 )]. Hieraus folgt z u 2 u und somit ϕ([(z, )]) = z = ϕ([(z, )]) ϕ([(u, u 2 )]) = u u 2 ϕ([(u, u 2 )]). Die Abbildung ϕ ist somit injektiv. 7