2 Mengen, Relationen, Funktionen

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1 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 2 Mengen, Relationen, Funktionen 2.1 Mengen Definition 2.1 [Georg Cantor 1895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen. Mengen werden definiert: extensional: durch Angabe aller Elemente (nur für endliche Mengen) Beispiele: {0, 1, 2, 3}, { {a}, {a, b} } intensional: durch Angabe einer charakterisierenden Eigenschaft aller Elemente Beispiele: {x x ist natürliche Zahl und x < 4}, { y E(y) }

2 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 2 Beispiel 1 (Weitere Beispiele von Mengen) N = {0, 1, 2,...} Menge der natürlichen Zahlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Menge der ganzen Zahlen = {x x x} = { } Element-Relation: Negation: die leere Menge Elementbeziehung x M x ist Element der Menge M, x ist Element von M x ist aus M x / M es ist nicht x M, x ist nicht aus M

3 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 3 Logische Begriffe und Bezeichnungen Negation : Konjunktion : Disjunktion : Implikation : Äquivalenz : für alle : es existiert : a a b a b a b a b a b

4 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 4 Mengengleichheit und -inklusion Gleichheit: A = B : x(x A x B) x ist genau dann Element der Menge A, wenn x Element von B ist Inklusion: A B : x(x A x B) wenn x Element der Menge A ist, so ist x auch aus B echte Inklusion: A B, A B : A B und x(x B und x A) Satz 2.1 Es seien A, B, C Mengen. Es gilt stets A A. Aus A B und B C folgt A C. A B und es gibt ein x B, welches nicht aus A ist Es gilt genau dann A = B, wenn sowohl A B als auch B A erfüllt sind.

5 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 5 Operationen für Mengen Vereinigung: A B = {x x A oder x B} x ist genau dann Element der Menge A B, wenn x Element von A oder von B ist Durchschnitt: A B = {x x A und x B} Eigenschaft 2.2 A B B A B. x ist genau dann Element der Menge A B ist, wenn x aus A und aus B ist 1. Es gelten A B A A B und 2. Aus A C und B D folgen A B C D und A B C D. 3. Aus A, B C und A, B D folgt A B C D.

6 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 6 Hilfssatz 2.3 Die folgenden Beziehungen sind paarweise äquivalent: A B = A, A B und A B = B. Satz 2.4 (Eigenschaften der Operationen und ) Es seien A, B, C Mengen. Dann gelten die folgenden Gleichungen: A B = B A, A B = B A (Kommutativität) A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C (Assoziativität) A A = A, A A = A (Idempotenz) Lemma 2.5 (Verschmelzungsgesetze) Es seien A, B Mengen. Dann gelten die folgenden Gleichungen: A (A B) = A und A (A B) = A.

7 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 7 Satz 2.6 (Die Distributivgesetze) Es seien A, B, C Mengen. Dann gelten die folgenden Gleichungen: A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C) Die Potenzmenge Definition 2.2 Es sei M eine Menge. Die Menge {A : A M} aller Teilmengen von M heißt die Potenzmenge von M. Sie wird mit 2 M oder P(M) bezeichnet. Beispiel 2 2 = { } 2 { } = {, { } } 2 {a,b} = {, {a}, {b}, {a, b} }

8 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 8 Das Komplement Definition 2.3 Es seien M eine Menge und A 2 M. Dann heißt A := {x x M und x / A} das Komplement von A (in M). Eigenschaft 2.7 A ist dasjenige Element X der Potenzmenge 2 M, für welches gleichzeitig die Bedingungen A X = und A X = M gelten. Satz 2.8 (DeMorgansche Regeln) Es seien A, B 2 M. Dann gelten A B = A B und A B = A B

9 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 9 Weitere Mengenoperationen Mengendifferenz A \ B := {x x A und x / B} symmetrische Differenz A B := (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B)

10 Grundlagen der Mathematik für Informatiker Relationen Es seien X, Y Mengen. geordnetes Paar (x, y) ( oder [x, y] ) Kreuzprodukt A B := {(x, y) x A und y B} Eigenschaft 2.9 Es seien A, B, C, D Mengen. Dann folgt aus A B und C D auch A C B D. Weiter gelten A = A = (A B) (C D) = (A C) (B D) (A B) C = (A C) (B C) A (B C) = (A B) (A C) (A \ B) C = (A C) \ (B C) A (B \ C) = (A B) \ (A C)

11 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 11 Mehrfaches Kreuzprodukt Frage der Reihenfolge! Unser Standard (für n 3): A 1 A 2 A n := A 1 ( A 2 (A 3 (... A n )) ) speziell: A 1 A 2 A 3 A 4 := A 1 ( A 2 (A 3 A 4 ) ) Definition 2.4 Eine Teilmenge R von A 1 A 2 A n heißt (n-stellige) Relation über A 1,...,A n. Gilt A 1 =... = A n = A, so sprechen wir auch von einer n-stelligen Relation über A.

12 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 12 Beispiel 3 (Datumsrelation) A 1 = Tag := {1,...,31} A 2 = Monat := {1,...,12} A 3 = Jahr := {1900,...,2100} Datum Tag Monat Jahr Beispiele: (29, 2, 2000) Datum, (29, 2, 1900) / Datum (31, 7, 2007) Datum, (31, 6, 2007) / Datum Beispiel 4 (die natürliche Ordnung der ganzen Zahlen ) Z Z

13 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 13 Eigenschaften zweistelliger Relationen Definition 2.5 Es seien M eine Menge und R eine zweistellige Relation über M. Wir nennen die Relation R reflexiv, falls für alle x M stets (x, x) R gilt, symmetrisch, falls aus (x, y) R stets (y, x) R folgt, transitiv, falls aus (x, y) R und (y, z) R stets (x, z) R folgt, antisymmetrisch, falls aus (x, y) R und (y, x) R stets x = y folgt.

14 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 14 Äquivalenzrelationen Definition 2.6 Es seien M eine Menge und eine zweistellige Relation über M. Wir nennen eine Äquivalenzrelation über M, falls reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. Beispiel 5 Es sei M die Menge der Schüler einer Schule. Für a, b M definieren wir a b gdw. a, b sind Schüler derselben Klasse. Definition 2.7 Es sei M eine Menge. Eine Teilmenge Z der Potenzmenge 2 M heißt Zerlegung (Klasseneinteilung) von M, falls 1. A Z A = M 2. A für alle A Z und 3. A B = für alle A, B Z, A B gelten.

15 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 15 Definition 2.8 Es seien eine Äquivalenzrelation über M und a M. Wir nennen [a] := {b b M und a b} die von a erzeugte Äquivalenzklasse. Satz 2.10 Für jede Äquivalenzrelation über M ist die Menge aller Äquivalenzklassen eine Zerlegung von M. Z := {[a] : a M} Umgekehrt definiert für jede Zerlegung Z von M die Beziehung a b gdw. eine Äquivalenzrelation über M. es gibt ein A Z mit a, b A

16 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 16 Halbordnungsrelationen Definition 2.9 Es seien M eine Menge und eine zweistellige Relation über M. Wir nennen eine Halbordnungsrelation über M, falls reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Beispiel 6 1. Ist M eine Menge, so ist die Relation eine Halbordnungsrelation über M = 2 M. 2. ist eine Halbordnungsrelation über Z. 3. Die Teilbarkeitsrelation ist eine Halbordnungsrelation über N. Lemma 2.11 Ist eine Halbordnungsrelation über M und ist T M, so ist die Einschränkung T := (T T ) von auf T eine Halbordnungsrelation über T.

17 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 17 Definition 2.10 Es sei M eine durch halbgeordnete Menge, und es sei T Teilmenge von M. Wir nennen a M minimales Element von T, falls a T und b a für alle b T gilt. Minimum von T, falls a T und a b für alle b T gilt. untere Schranke von T, falls a b für alle b T gilt. Infimum von T, falls a das Maximum der Menge {b b M und b ist untere Schranke von T } ist. Supremum von T, falls a das Minimum der Menge {b b M und b ist obere Schranke von T } ist. Folgerung Jedes Minimum von T ist sowohl minimales Element, untere Schranke als auch Infimum von T. 2. Ist eine untere Schranke von T Element von T, so ist sie Minimum von T.

18 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 18 Spezielle Operationen für zweistellige Relationen Definition 2.11 Es seien R A B, S B C zweistellige Relationen. Verbindung R S := { (a, c) es gibt ein b B mit (a, b) R und (b, c) S } Umkehrrelation R 1 := { (b, a) (a, b) R } Folgerung 2.13 R 1 (R 2 R 3 ) = (R 1 R 2 ) R 3 Folgerung 2.14 Eine zweistellige Relation R A A ist genau dann symmetrisch, wenn R = R 1, und R ist genau dann transitiv, wenn R R R.

19 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 19 Folgerung 2.15 Es seien R, R 1, R 2, R 3 zweistellige Relationen über einer Menge M. Dann gelten die folgenden Beziehungen. Aus R 1 R 2 folgen R 1 R 3 R 2 R 3 und R 1 1 R 1 2. Aus R 2 R 3 folgt R 1 R 2 R 1 R 3. Aus R R 1 folgt R = R 1. R 1 (R 2 R 3 ) = (R 1 R 2 ) (R 1 R 3 ) (R 1 R 2 ) R 3 = (R 1 R 3 ) (R 2 R 3 ) (R 1 R 2 ) 1 = R 1 1 R 1 2 und (R 1 R 2 ) 1 = R 1 1 R 1 2 (R 1 R 2 ) 1 = R 1 2 R 1 1

20 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 20 Definition 2.12 Es seien M eine Menge und R M M eine zweistellige Relation über M. Wir nennen R die reflexive und transitive Hülle von R, falls R die kleinste reflexive und transitive Relation ist, die R umfasst. Wir nennen R + die transitive Hülle von R, falls R + die kleinste transitive Relation ist, die R umfasst. Ferner seien I M := { (a, a) a M }, R 0 := I M und R n := R R n 1 für n 1. Lemma 2.16 Es sei eine Relation R M M gegeben. Für alle n 0 gilt (m, m ) R n genau dann, wenn es eine Folge c 0, c 1,..., c n von Elementen aus M mit c 0 = m, c n = m und (c i, c i+1 ) R für i = 0,..., n 1 gibt. Satz 2.17 Es sei R M M eine Relation auf einer Menge M. Dann gilt R + = i=1 Ri und R = i=0 Ri.

21 Grundlagen der Mathematik für Informatiker Funktionen Leonhard Euler (1755): Eine Funktion benennt eine Abhängigkeit, die alle Arten, wie eine Größe durch eine andere bestimmt werden kann, unter sich begreift. Definition 2.13 [Funktion] Eine Relation R A B heißt eindeutig, falls aus (a, b 1 ), (a, b 2 ) R stets b 1 = b 2 folgt. Eine Relation f A B heißt Funktion aus A in B, falls f eindeutige Relation ist.

22 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 22 Definition 2.14 Es sei f A B eine Funktion. Wir nennen f eine Funktion von A in B, falls der Definitionsbereich ÓÑ(f) = {a a A und es gibt ein b B mit f(a) = b} mit A übereinstimmt. Wir nennen f eine Funktion aus A auf B, falls der Wertebereich Ö Ò(f) = {b b B und es gibt ein a A mit f(a) = b} mit B übereinstimmt. Wir nennen f eine Funktion von A auf B, falls ÓÑ(f) = A und Ö Ò(f) = B gelten. Notation: f(a) = b für (a, b) f, f : A B für f ist Funktion aus A in B und f : A B für f ist Funktion von A in B

23 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 23 Definition 2.15 Eine Relation R A B heißt eindeutig umkehrbar, falls R 1 eine Funktion ist. Folgerung 2.18 Eine Relation R A B ist genau dann eindeutig umkehrbar, wenn aus (a 1, b), (a 2, b) R stets a 1 = a 2 folgt. Definition 2.16 Wir nennen eine Funktion f A B eineindeutig, falls f eindeutige und eindeutig umkehrbare Relation ist. Notation: Bild von M A f(m) = {f(a) a M} Urbild von M B f 1 (M ) = {a f(a) M }

24 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 24 Definition 2.17 Eine Funktion f : A B heißt injektiv, falls für alle y B gilt: {x : f(x) = y} 1, surjektiv, falls für alle y B gilt: {x : f(x) = y} 1, bijektiv, falls für alle y B gilt: {x : f(x) = y} = 1.

25 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 25 Hintereinanderausführung von Funktionen Folgerung 2.19 Es seien f : A B und g : B C Funktionen. 1. Dann ist die Relation f g eine Funktion aus A in C, und es gilt f g(a) = g(f(a)) für a ÓÑ(f) f 1 ( ÓÑ(g)). 2. Sind darüberhinaus f und g eineindeutige Funktionen, so ist auch f g eineindeutig. 3. Gelten f : A B und f(a) ÓÑ(g), so ist auch f g : A C. Bezeichnung: Die Menge aller Funktionen von A in B wird mit B A bezeichnet : B A := {f f : A B}

26 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 26 n-stellige Funktionen f : A n B n-faches Kreuzprodukt äqivalente Darstellungen = A } {{ A oder } n-mal A n = {g g : {1,...,n} A} A n Folgerung 2.20 (Spezialfall) A 0 = A = { }