2 Mengen, Abbildungen und Relationen

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1 Vorlesung WS Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff 2 Mengen, Abbildungen und Relationen Definition 2.1 (Mengen von Cantor, ) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohl unterscheidbaren Objekten unseranschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Bemerkung: Dieser Mengenbegriff ist tatsächlich problematisch und führt zu Widersprüchen! Für unsere Zwecke ist er aber ausreichend (Mehr dazu im 2. Semester in den Logischen Grundlagen ). Bezeichnung 2.2 Seie M eine Menge. Dann a) x M (bzw. x / M) heißt x (nicht) Element von M. b) M = {x, y, z,...} heißt: M ist die Menge mit den Elementen x, y, z. c) M {x x hat die Eigenschaft E } heißt: M ist die Menge aller Objekte x, die die Eigenschaft E besitzen. Beispiel: M = {n N n 6} = {6, 7, 8, 9,...} d) Eine Menge M 1 heißt Teilmenge der Menge M 2, (Bez. M 1 M 2 oder M 1 M 2 ), falls für alle x M 1 auch x M 2 gilt. Es gilt: M 1 = M 2 M 1 M 2 und M 2 M 1. Wir Schreiben M 1 M 2, falls M 1 nicht Teilmenge von M 2. Definition 2.3 (VB) Seien M 1, M 2 Mengen. Wir definieren a) M 1 M 2 := {x x M 1 x M 2 } heißt Vereinigung von M 1 und M 2. b) M 1 M 2 := {x x M 1 x M 2 } heißt Durchschnitt von M 1 und M 2. c) M 1 \ M 2 := {x x M 1 x / M 2 } heißt das Komplement von M 2 in M 1. Wenn M 1 und M 2 kein Element gemeinsam haben, besitzt M 1 M 2 kein Element. Das führt zu Definition 2.4 (Leere Menge, VB) Die leere Menge (oder auch {}) ist die Menge, die kein Element enthält. Es gilt M für jede Menge M! (Jedes Element von ist auch Element von M, ist eine wahre Aussage!) Satz 2.5 Für Mengen M 1, M 2, M 3 gilt: a) M 1 (M 2 M 3 ) = (M 1 M 2 ) M 3 getext: Julia Wolters 13

2 Dr. Siegfried Echterhoff Analysis 1 Vorlesung WS b) M 1 (M 2 M 3 ) = (M 1 M 2 ) M 3 c) M 1 (M 2 M 3 ) = (M 1 M 2 ) (M 1 M 3 ) d) M 1 (M 2 M 3 ) = (M 1 M 2 ) (M 1 M 3 ) Beweis: a) und b) folgen leicht aus den Definitionen. Wir zeigen nur c): Es gilt: x M 1 (M 2 M 3 ) Def. x M 1 x M 2 M 3 x M 1 (x M 2 x M 3 ) (x M 1 x M 2 ) (x M 1 x M 3 ) x (M 1 M 2 ) x (M 1 M 3 ) x (M 1 M 2 ) (M 1 M 3 ) Der Beweis von d) geht genau so! Definition 2.6 Sei I eine beliebige (Index-)Menge und für jedes i I sei M i eine Menge. Wir setzen a) i IM i = {x x I mit x M i } b) i IM i = {x x I gilt x M i } Satz 2.7 (Regel von de Morgan) Sei M 0 eine Menge und seien M i Mengen für alle i I. Dann gelten ( ) a) M 0 \ M i = (M 0 \ M i ) i I i I ( ) a) M 0 \ M i = (M 0 \ M i ) i I i I 14 getext: Julia Wolters

3 Vorlesung WS Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff Beweis: a) Der Beweis benutzt unsere Verneinungsregeln: ( ) x M 0 \ M i x M 0 x / i i IM i I x M 0 ( i I mit x M i ) x M 0 ( i I gilt x M i ) i I gilt: x M 0 x / M i i I gilt: x M 0 \ M i x (M 0 \ M i ) i I Der Beweis von b) geht ähnlich (Übungsaufgabe). Wir wollen nun Abbildungen zwischen Mengen betrachten: Definition 2.8 (VB) Seien X, Y Menge. Eine Abbildung (oder Funktion) f : X Y ist eine Vorschrift, die jedem x X genau ein Element f(x) Y zuordnet. X heißt dann Urbildraum (oder Definitionsbereich) von f. Die Menge Y heißt Bildraum von f. Beispiele: a) f : N N; f(n) = n + 1 b) f : R R; f(x) = x 2 c) f : R [0, ); f(x) = x 2 Beachte: Die Abbildungen in b) und c) sind verschieden, da sie unterschiedliche Bildräume haben! d) f : R \ {0} R; f(x) = 1 x Beachte: f : R R; f(x) = 1 macht keinen Sinn! (durch 0 teilen ist streng verboten!) x 1 aber: f : R R; f(x) = x, falls x 0 0, falls x = 0 e) Ist = X eine Menge, so heißt id X : X X; id X (x) = x die Identität auf X getext: Julia Wolters 15

4 Dr. Siegfried Echterhoff Analysis 1 Vorlesung WS Wir benutzen auch oft die Schreibweisen f : X Y ; x f(x), bzw. X Y ; x f(x) also z.b. R R; x x 3 für Abbildungen. Beachte: Ist X =, so kann es keine Abbildung f : X Y geben! Definition 2.9 (Komposition, VB) Seien f : X Y und g : Y Z Abbildungen. Dann ist die Komposition (Hintereinanderausführung) definiert durch (g f)(x) = g(f(x)) x X g f : X Z Definition 2.10 (VB) Sei f : X Y eine Abbildung. Wir definieren a) Ist A X, so heißt f(a) := {y Y x A mit y = f(x)}(= {f(x) x A}) Y das Bild von A unter f. b) Ist B Y, so heißt f 1 (B) := {x X f(x) B } X das Urbild von B unter f. Beispiele: f : R R; f(x) = x 2, Dann: f(r) = [0, ) f([0, 1]) = [0, 1], f 1 ([ 1, 1]) = f 1 ([0, 1]) = [ 1, 1] f 1 ((, 0]) = {0}, f 1 ([0, )) = R etc... Sehr wichtig sind auch die folgenden Begriffe: Definition 2.11 (VB) Sei f : X Y eine Abbildung. Wir definieren a) f heißt surjektiv, falls f(x) = Y ( y Y x X : f(x) = y). b) f heißt injektiv, falls x 1, x 2 X : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 )( : x 1, x 2 X : f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 ) c) f heißt bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist ( y Y!x X : f(x) = y) Bijektive Abbildungen sind genau die Abbildungen, die eine Umkehrabbildung besitzen. Satz 2.12 (VB) Sei f : X Y eine Abbildung. Dann sind äquivalent a) f ist bijektiv 16 getext: Julia Wolters

5 Vorlesung WS Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff b) Es exisitiert eine Abbildung g : Y X mit g(f(x)) = x x X und f(g(y)) = y y Y (in kurz: g f = id x und f g = id y ) Die Abbildung g in b) ist dann eindeutig bestimmt und heißt die Umkehrabbildung (oder inverse Abbildung) von f. Bezeichnung: g =: f 1 Beweis: a) b): Es gilt f ist bijektiv gdw zu jedem y Y exisitert genau ein x y X mit f(x y ) = y. Setze g(y) = x y. Dann folgt f(g(y)) = f(x y ) = y und für x X gilt: x = x f(x) und daher g(f(x)) = x f(x) = x. b) a): Sei g : Y X mit g f = id x und f g = id y. Dannn ist f injektiv, dann sind x 1, x 2 mit f(x 1 ) = f(x 2 ), so folgt x 1 = g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) = x 2. f ist auch surjektiv, dann ist y Y, so gilt y = f(g(y)) mit g(y) Y. Also ist f bijektiv. Eindeutigkeit von g: Ist g : Y X weitere Funktion mit g f = g f = id x, so folgt g(f(x)) = g(f(x)) x X, und da f injektiv, folgt hieraus g(y) = g(y) y Y Achtung! Der Begriff f 1 : Y X für die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung f : X Y führt oft zu Missverständnissen in Bezug auf das Urbild f 1 (B) einer Teilmenge B Y. Beachte: f 1 (B) für B Y ist für jede Abbildung f : X Y definiert, aber f 1 (y) für y Y exisitert nur wen f bijektiv ist! Wir unterscheiden auch immer strang zwischen f 1 ({y}) = {x X f(x) = y } X }{{} Urbild der Menge {y} Y in X. Existiert immer und ist eine Teilmenge von X f 1 (y) X und }{{} existiert, falls f bijektiv und ist Element von X 2.13 fehlt im Manusskript Mit Hilfe bijektiver Abbildungen können wir die Mächtigkeit (bzw. Größenanordnung ) von zwei Mengen vergleichen: Definition 2.14 (VB) Zwei Mengen M 1, M 2 heißen gleichmächtig, falls M 1 = = M 2 oder es existiert eine bijektive Abbildung f : M 1 M 2. Eine Menge M heißt endlich, falls M = oder falls M gleichmächtig zu {1, 2,..., n} für n N. Wir setzen dann M = n ( M heißt die Anzahl der Elemente von M). Ferner setzten wir = 0 und M =, falls M nicht endlich (wir sagen dann M ist unendlich). getext: Julia Wolters 17

6 Dr. Siegfried Echterhoff Analysis 1 Vorlesung WS Achtung: Bis jetzt ist nicht klar, ob die Zahl M wohdefiniert ist. Es könnte ja sein, dass es n, m N mit n m gibt, so dass bijektive Abbildung f : {1,..., n} M und g : {1,...,m} M existieren. Dann wäre n = M = m, was nicht geht! Wir verzichten darauf zu zeigen, dass dies nicht möglich ist! Aber es gibt auch unterschiedliche Größen von unendlichen Mengen. Ein wichtiger Begriff ist der folgende: Definition 2.15 (VB) Eine Menge M heißt abzählbar, falls M = oder falls eine surjektive Abbildung Y : N M existiert. M heißt abzählbar unendlich, falls M abzählbar und nicht endlich ist. Ist Y : N M eine surjektive Abbildung heißt Y (1), Y (2), Y (3),... eine Abzählung von M (Achtung: Im Allgemeinen wird hierbei ein Element m M mehrfach abgezählt ). M heißt überabzählbar, falls M nicht abzählbar ist. Beispiel 2.16 a) Jede endliche Menge M ist abzählbar, dann ist f : {1,..., n} M bijektiv, so definiert Y : N M durch { } f(k),k n Y (k) = f(n),k n Y ist dann surjektiv b) N ist abzählbar, da id N : N N surjektiv c) Z ist abzählbar: Definition Y : N Z durch Y (1) = 0, Y (2k) = k, Y (2k + 1) = k k N. d) Sei N N = {(n, m) n, m N} (geordnete Paare). Dann ist N N abzählbar. Idee: ordne N N wie folgt an und zähle diagonal : 18 getext: Julia Wolters

7 Vorlesung WS Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff Formal: Definiere Y : N N N rekursiv durch Y (1) = (1, 1), und ist Y (n) = (k, 1) schon definiert, sei { } (k 1, l + 1), falls k > 1 Y (n + 1) :) (l + 1, 1), falls k = 1 Man rechnet dann nach, dass Y surjektiv (sogar bijektiv) ist. Lemma 2.17 Sei M abzählbar. Dann gelten a) Ist f : M A surjektiv, so ist auch A abzählbar b) Ist f : A M injektiv, so ist auch A abzählbar, insbesondere sind Teilmegen abzählbar. Beweis: a) Ist f : M A surjektiv und Y : N M surjektiv, so auch f Y : N A. b) Ist A M, so definierte eine surjektive Abbildung g : M A durch { } m, falls m A g(m) = mit a 0 A fest. a 0, sonst Nach a) folgt, dass A abzählbar. Sei nun f : A M injektiv. Dann ist f : A f(a) M, f(a) = f(a) a A getext: Julia Wolters 19

8 Dr. Siegfried Echterhoff Analysis 1 Vorlesung WS bijektiv. Sei g : M f(a) M surjektive Abbildung wie oben. Dann ist die Komposition f g : M g f(a) f 1 A surjektiv, und die Behauptung folgt aus a). Folgerung 2.18 (VB) Sei Q = { m n m Z, n N} die Menge aller rationalen Zahlen. Dann ist Q abzählbar. Beweis: Definition: 0,m = 1 k Y : N N Q; Y (m, n) =,m = 2k n k,m = 2k + 1 n Dann ist Y surjektiv. Da N N abzählbar nach 2.16 folgt die Behauptung mit 2.17 a). Es gibt auch Mengen, die nicht abzählbar sind. Dazu benötigen wir zunächst den Begriff der Potenzmenge einer Menger M. Definition 2.19 (Potenzmenge, VB) Sei M eine Menge. Dann heißt P(M) = {A A M } (also die Menge, deren Elemente die Teilmenge von M sind) die Potenzmenge von M. Beispiel 2.20 P(N) ist nicht abzählbar! Beweis: Annahme surjektive Abbildung Y : N P(N). Sei M = {n N n / Y (n)}. Sei m N mit Y (m) = M. Dann gilt m M oder m / M. Falls m M gilt m / Y (m) = M WIDERSPRUCH! Falls m / M gilt m Y (m) = M WIDERSPRUCH! Wir erhalten in jedem Fall einen Widerspruch! Zum Abschluss möchte ich, ohne Beweis, die folgenden Tatsachen zur Abzählbarkeit ergänzen. Den Beweis der dritten Aussage finden Sie auf der Analysis I- Seite (Ergänzungen) Es gelten die folgenden Aussagen: (1) Sind M 1, M 2 abzählbar, so auch M 1 M 2 (Übung) getext: Julia Wolters

9 Vorlesung WS Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff (2) Abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen sind abzählbar (d.h. ist I \ abzählbar und ist M i abzählbar i I, so ist auch i IM i abzählbar!) (Übungsaufgabe) (3) Jede abzählbar unendliche Menge M ist gleichmäßig zu N, d.h es existiert eine bijektive Abbildung Y : N M. Zum Schluss dieses Abschnitts wollem wir noch den Begriff Relation einführen. Definition 2.22 (Relation, VB) Sei X eine Menge. Eine Relation R auf X ist eine Teilmenge R X X = {(x, y) x, y X } (geordnete Paare). Wir sagen auch x steht in Relation zu y (bzw. xry, falls (x, y) R. Eine Relation R X X heißt a) reflexiv, falls (x, x) R x X b) symmetrisch, falls (x, y) R (y, x) R c) transitiv, falls (x, y) R und (y, z) R (x, z) R d) antisymmetrisch, falls (x, y) R (y, x) R x = y e) total, falls für alle x, y X gilt: (x, y) R (y, x) R. Eine Relation R heißt Äquivalenzrelation, falls R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist (häufige Bezeichnungen: x y, x y, etc für (x, y) R). Eine Relation R heißt (Halb-)Ordnung, falls R reflexiv, transitiv und antisymmetrisch (häufige Bezeichnungen: x y, x y, etc). Eine Relation R heißt totale Ordnung, falls R totale Halbordnung. Beispiele: a) X Z, (x, y) R x = y ist Äquivalenzrelation (x, y) R x y ist totale Ordnung. b) M, X = P(M) Potenzmenge, (A, B) R A B ist Halbordnung. Beachte: Ist totale Ordnung auf X, so wird eine neue Relation < wir folgt erklärt: x < y : x y und x y Eine so entstandene Relation nennt mann strikt totale Ordnung auf X. Beispiel: < auf Z (also: n < m k N mit m = n + k). getext: Julia Wolters 21

10 Dr. Siegfried Echterhoff Analysis 1 Vorlesung WS Ist R X X eine Äquivalenzrelation und ist x X, so heißt [x] := {y X (x, y) R} X die Äquivalenzklasse von X. Für je zwei Elemente x, y X gilt genau eine der folgenden Alternativen: [x] = [z] oder [x] [z] = Beweis: Es genügt zu zeigen: Ist [x] [z], so folgt [x] = [z]. Sei also y [x] [z]. Dann folgt (x, y), (z, y) R also auch (y, z) R (Symmetrie) und dann (x, z) R (Transitivität). Dann folgt für jedes u [z] : (z, u) R, und dann auch (x, u) R (Transitivität). Damit folgt [z] [x]. Analog sieht man [x] [z]. Es folgt [x] = [z]. Definition 2.24 (Quotientenraum, VB) Sei = X und sei R eine Äquivalenzrelation auf X. Dann heißt X \ R := {[x] x X } P(x) der Quotientenraum von X bezüglich R. Beachte: Wir haben X = [x] X\R [x], d.h. X ist die diskrete Vereinigung der Äquivalenzklassen bezüglich R (disjunkt, da [x] [y] =, falls [x] [y] Beispiel 2.25 Sei X = Z N. Wir definieren eine Realation auf X durch (n, m) (n, m ) nm = n m (also R = {((n, m), (n, m )) n, m = n, m} X X) Behauptung: ist eine Äquivalenzrelation. Symmetrie ist klar und Reflexivität auch. Sei also nun (n, m), (n, m ), (n, m ) Z N mit (n, m) (n, m ), (n, m ) (n, m ). Dann gilt: nm = n m und n m = n m. Es folgt nm n m = n m n m nm (n m ) = n m(m n ) und nach der Kürzungsregel für die Multiplikation in Z folgt nm = n m, also (n, m) (n, m ) Wir setzen nun Q = Z N Man rechnet dann nach, dass durch und schreiben n := [(n, m)] m n m + k l nl + km =, ml n m k l = nk ml eine wohldefinierte Addition und Multiplikation auf Q definiert wird. 22 getext: Julia Wolters