WESTFÄLISCHE WILHELMS-UNIVERSITÄT MÜNSTER. Diskrete Strukturen. wissen leben WWU Münster
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- Pia Helga Lorenz
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1 MÜNSTER Diskrete Strukturen Dietmar Lammers Vorlesung SoSe 2010
2 > Relationen MÜNSTER Diskrete Strukturen 41/101 Seien A und B und für n N seien A 1 A 2...A n Mengen
3 > Relationen MÜNSTER Diskrete Strukturen 41/101 Seien A und B und für n N seien A 1 A 2...A n Mengen 1. Eine Teilmenge R A B heißt (binäre) Relation von A und B. Für zwei Elemente a A b B schreibt man statt (a b) R meist kurz: arb Ist A = B spricht man auch von einer Relation auf A.
4 > Relationen MÜNSTER Diskrete Strukturen 41/101 Seien A und B und für n N seien A 1 A 2...A n Mengen 1. Eine Teilmenge R A B heißt (binäre) Relation von A und B. Für zwei Elemente a A b B schreibt man statt (a b) R meist kurz: arb Ist A = B spricht man auch von einer Relation auf A. 2. Eine Teilmenge R A 1 A 2...A n heißt (n-stellige) Relation über A 1... A n.
5 MÜNSTER Diskrete Strukturen 42/101 > Relationen - Beispiele Für geordnete Zahlenmengen sind = <... beliebte Beispiele von Relationen - so geläufig das man sie meist gar nicht als Teilmengen sieht: 3 < 4 wird meist nicht interpretiert als (3 4) < < (N N)
6 MÜNSTER Diskrete Strukturen 43/101 > Relationen - Beispiele Für Wörter über einem Alphabet kann man z.b. die nützliche Relation ist Anfangswort von definieren. Verwandschaftsbeziehungen bei Menschen sind Relationen - ist Tante von ist Elternteil von ist Kind von...
7 MÜNSTER Diskrete Strukturen 44/101 > Relationen - Beispiele Relationale Datenbanken bestehen im wesentlichen aus mehrstelligen Relationen die den Zusammenhang der Daten herstellen. Sie sind in Tabellen geordnet die wesentlichen Operationen sind: project: Wähle Teilspalten einer Tabelle
8 MÜNSTER Diskrete Strukturen 44/101 > Relationen - Beispiele Relationale Datenbanken bestehen im wesentlichen aus mehrstelligen Relationen die den Zusammenhang der Daten herstellen. Sie sind in Tabellen geordnet die wesentlichen Operationen sind: project: Wähle Teilspalten einer Tabelle select: Wähle aus einer Tabelle die Einträge die angegebenen Bedingungen genügen und
9 MÜNSTER Diskrete Strukturen 44/101 > Relationen - Beispiele Relationale Datenbanken bestehen im wesentlichen aus mehrstelligen Relationen die den Zusammenhang der Daten herstellen. Sie sind in Tabellen geordnet die wesentlichen Operationen sind: project: Wähle Teilspalten einer Tabelle select: Wähle aus einer Tabelle die Einträge die angegebenen Bedingungen genügen und join: verknüpft Werte anhand von korrespondierenden Werten
10 MÜNSTER Diskrete Strukturen 45/101 > Relationen - Darstellung Binäre Relationen auf kleinen Mengen kann auch als Matrix darstellen: R {o 0... o m } {p 0... p n } { R 1 falls (oi p = (r ij ) i=0...m j=0...n mit r ij = j ) R 0 sonst
11 MÜNSTER Diskrete Strukturen 46/101 > Eigenschaften von Relationen (1) (transitv reflexiv symmetrisch...) Eine Relation R über M M heißt genau dann
12 MÜNSTER Diskrete Strukturen 46/101 > Eigenschaften von Relationen (1) (transitv reflexiv symmetrisch...) Eine Relation R über M M heißt genau dann 1. symmetrisch wenn a b : arb bra
13 MÜNSTER Diskrete Strukturen 46/101 > Eigenschaften von Relationen (1) (transitv reflexiv symmetrisch...) Eine Relation R über M M heißt genau dann 1. symmetrisch wenn a b : arb bra 2. antisymmetrisch wenn a b : (arb bra) a = b
14 MÜNSTER Diskrete Strukturen 46/101 > Eigenschaften von Relationen (1) (transitv reflexiv symmetrisch...) Eine Relation R über M M heißt genau dann 1. symmetrisch wenn a b : arb bra 2. antisymmetrisch wenn a b : (arb bra) a = b 3. transitiv wenn a b c : (arb brc) arc
15 MÜNSTER Diskrete Strukturen 46/101 > Eigenschaften von Relationen (1) (transitv reflexiv symmetrisch...) Eine Relation R über M M heißt genau dann 1. symmetrisch wenn a b : arb bra 2. antisymmetrisch wenn a b : (arb bra) a = b 3. transitiv wenn a b c : (arb brc) arc 4. reflexiv wenn a M : ara
16 MÜNSTER Diskrete Strukturen 47/101 > Eigenschaften von Relationen (2) (transitv reflexiv symmetrisch...) Eine Relation R über M M heißt genau dann
17 MÜNSTER Diskrete Strukturen 47/101 > Eigenschaften von Relationen (2) (transitv reflexiv symmetrisch...) Eine Relation R über M M heißt genau dann 1. Aequivalenzrelation wenn sie reflexiv transitiv und symmetrisch ist.
18 MÜNSTER Diskrete Strukturen 47/101 > Eigenschaften von Relationen (2) (transitv reflexiv symmetrisch...) Eine Relation R über M M heißt genau dann 1. Aequivalenzrelation wenn sie reflexiv transitiv und symmetrisch ist. 2. partielle Ordnung oder Halbordnung wenn sie reflexiv transitiv und antisymmetrisch
19 MÜNSTER Diskrete Strukturen 48/101 > Hasse-Diagramme Bei einer Halbordnung R spricht man bei arb auch von a als Vorgänger von b gibt es kein Zwischenelement z mit arz und zrb auch von a als direktem Vorgänger von b. Halbordnungen kann man so in Hasse-Diagrammen aufzeichnen. Knoten sind dabei die Elemente der Menge ein direkter Vorgänger wird unter seinen Nachfolger geschrieben und beide mit einer Kante verbunden.
20 MÜNSTER Diskrete Strukturen 49/101 > Aequivalenzklassen Für eine Aequivalenzrelation A auf einer Menge M heisst für jedes x M die Menge definiert durch Equiv(x A) := {y M (x y) A} die Aequivalenzklasse von x (bzg. A). Für jede Aequivalenzrelation bilden die (diskunkten) Aequivalenzklassen eine Partition der Ausgangsmenge d.h. die Vereinigung aller Aequivalenzklassen einer Aequivalenzrelation ergibt die Gesamtmenge:
21 MÜNSTER Diskrete Strukturen 50/101 > Aequivalenzklassen Theorem Aequivalenzklassen sind gleich oder haben einen leeren Schnitt
22 MÜNSTER Diskrete Strukturen 50/101 > Aequivalenzklassen Theorem Aequivalenzklassen sind gleich oder haben einen leeren Schnitt Beweis. Sei X := Equiv(x A) und Y := Equiv(y A) Wenn X Y = ist der Satz erfüllt. Es gebe also nun ein w X Y und sei z X beliebig Dann gilt xaz zax xaw zaw weiter yaw way zusammen zay also z Y und damit X Y. Analog folgert man Y X zusammen X = Y.
23 MÜNSTER Diskrete Strukturen 51/101 > BSP Aequivalenzklassen Sei für Z die Relation = 5 definiert durch a = 5 b k Z : b = k 5 + a
24 MÜNSTER Diskrete Strukturen 51/101 > BSP Aequivalenzklassen Sei für Z die Relation = 5 definiert durch a = 5 b k Z : b = k 5 + a Beispiel Es gilt Z = Equiv(0 = 5 ) Equiv(1 = 5 )... Equiv(4 = 5 )
25 > Ref.-Trans. Hülle MÜNSTER Diskrete Strukturen 52/101 Sei R M M eine Relation. Dann ist die transitiv-reflexive Hülle R von R definiert als die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften: Statt von trans.-ref. Hülle spricht man auch von transitiv-reflexiver Fortsetzung.
26 > Ref.-Trans. Hülle MÜNSTER Diskrete Strukturen 52/101 Sei R M M eine Relation. Dann ist die transitiv-reflexive Hülle R von R definiert als die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften: 1. a M : (a a) R Statt von trans.-ref. Hülle spricht man auch von transitiv-reflexiver Fortsetzung.
27 > Ref.-Trans. Hülle MÜNSTER Diskrete Strukturen 52/101 Sei R M M eine Relation. Dann ist die transitiv-reflexive Hülle R von R definiert als die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften: 1. a M : (a a) R 2. R R Statt von trans.-ref. Hülle spricht man auch von transitiv-reflexiver Fortsetzung.
28 > Ref.-Trans. Hülle MÜNSTER Diskrete Strukturen 52/101 Sei R M M eine Relation. Dann ist die transitiv-reflexive Hülle R von R definiert als die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften: 1. a M : (a a) R 2. R R 3. a b c : ((a b) R (b c) R ) (a c) R Statt von trans.-ref. Hülle spricht man auch von transitiv-reflexiver Fortsetzung.
29 > Ref.-Trans. Hülle MÜNSTER Diskrete Strukturen 53/101 Für a b R gilt dann entweder a = b oder n a 1... a n : a = a 1 a 1 Ra 2 a 2 Ra 3... a n 1 Ra n = b
30 > Ref.-Trans. Hülle MÜNSTER Diskrete Strukturen 53/101 Für a b R gilt dann entweder a = b oder n a 1... a n : a = a 1 a 1 Ra 2 a 2 Ra 3... a n 1 Ra n = b Das kann man auch mechanisch interpretieren z.b. bei der Interpretation von Programmen.
31 MÜNSTER Diskrete Strukturen 54/101 > Abbildende Relationen Eine Relation R über A B heißt
32 MÜNSTER Diskrete Strukturen 54/101 > Abbildende Relationen Eine Relation R über A B heißt linkstotal wenn gilt: a A b B : arb
33 MÜNSTER Diskrete Strukturen 54/101 > Abbildende Relationen Eine Relation R über A B heißt linkstotal wenn gilt: a A b B : arb rechtsstotal wenn gilt: b B a A : arb
34 MÜNSTER Diskrete Strukturen 54/101 > Abbildende Relationen Eine Relation R über A B heißt linkstotal wenn gilt: a A b B : arb rechtsstotal wenn gilt: b B a A : arb linkseindeutig wenn gilt: a b c : (arb crb) a = c
35 MÜNSTER Diskrete Strukturen 54/101 > Abbildende Relationen Eine Relation R über A B heißt linkstotal wenn gilt: a A b B : arb rechtsstotal wenn gilt: b B a A : arb linkseindeutig wenn gilt: a b c : (arb crb) a = c rechtseindeutig wenn gilt: a b c : (arb arc) b = c
36 > Funktionen MÜNSTER Diskrete Strukturen 55/101
37 > Funktionen MÜNSTER Diskrete Strukturen 55/ Eine rechtseindeutige Relation f A B heißt partielle Funktion oder Abbildung von A nach B.
38 > Funktionen MÜNSTER Diskrete Strukturen 55/ Eine rechtseindeutige Relation f A B heißt partielle Funktion oder Abbildung von A nach B. 2. Eine linkstotale partielle Funktion (also rechtseindeutige Relation) f A B heißt (totale) Funktion von A nach B.
39 > Funktionen MÜNSTER Diskrete Strukturen 55/ Eine rechtseindeutige Relation f A B heißt partielle Funktion oder Abbildung von A nach B. 2. Eine linkstotale partielle Funktion (also rechtseindeutige Relation) f A B heißt (totale) Funktion von A nach B. 3. Statt (a b) f M N schreibt man bei Funktionen üblicherweise f : M N b = f (a) oder a f (a) bzw. a b
40 > Funktionen MÜNSTER Diskrete Strukturen 56/101 Funktionen sind also linkstotale und rechtseindeutige Relationen.
41 > Funktionen MÜNSTER Diskrete Strukturen 56/101 Funktionen sind also linkstotale und rechtseindeutige Relationen. 1. Eine rechtstotale Funktion heißt surjektive Funktion oder Surjektion
42 > Funktionen MÜNSTER Diskrete Strukturen 56/101 Funktionen sind also linkstotale und rechtseindeutige Relationen. 1. Eine rechtstotale Funktion heißt surjektive Funktion oder Surjektion 2. Eine linkseindeutige Funktion heißt injektive Funktion oder Injektion
43 > Funktionen MÜNSTER Diskrete Strukturen 56/101 Funktionen sind also linkstotale und rechtseindeutige Relationen. 1. Eine rechtstotale Funktion heißt surjektive Funktion oder Surjektion 2. Eine linkseindeutige Funktion heißt injektive Funktion oder Injektion 3. Eine surjektive und injektive Funktion heißt bijektive Funktion oder auch Bijektion.
44 > Funktionen MÜNSTER Diskrete Strukturen 57/101
45 > Funktionen MÜNSTER Diskrete Strukturen 57/ Zu f : N M ist f (N) := {m M n N : m = f (n)} das Bild von N unter f und f 1 (M) := {n N f (n) M} das Urbild von M bzgl. f.
46 > Funktionen MÜNSTER Diskrete Strukturen 57/ Zu f : N M ist f (N) := {m M n N : m = f (n)} das Bild von N unter f und f 1 (M) := {n N f (n) M} das Urbild von M bzgl. f. 2. Zu f : N M ist für alle m M f 1 (m) := {n N f (n) = m} das Urbild von m unter f.
47 > Funktionen MÜNSTER Diskrete Strukturen 57/ Zu f : N M ist f (N) := {m M n N : m = f (n)} das Bild von N unter f und f 1 (M) := {n N f (n) M} das Urbild von M bzgl. f. 2. Zu f : N M ist für alle m M f 1 (m) := {n N f (n) = m} das Urbild von m unter f. 3. Bei injektiven Funktionen ist das Urbild eindeutig man identifiziert das eine Element dann mit der Menge und spricht bei f 1 von Umkehrfunktion.
48 MÜNSTER Diskrete Strukturen 58/101 > Bijektive Funktionen 1. Mengen M N mit einer bijektiven Abbildung f : M N sind in gewisser Weise gleich.
49 MÜNSTER Diskrete Strukturen 58/101 > Bijektive Funktionen 1. Mengen M N mit einer bijektiven Abbildung f : M N sind in gewisser Weise gleich.
50 MÜNSTER Diskrete Strukturen 58/101 > Bijektive Funktionen 1. Mengen M N mit einer bijektiven Abbildung f : M N sind in gewisser Weise gleich. 2. Zwei Mengen M N sind gleich mächtig (haben gleiche Kardinalität) in Zeichen M = N wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.
Anwendung der Algebra Mit den oben gelisteten Regeln kann man viele Zusammenhänge einfach direkt beweisen, etwa den folgenden Satz:
Logik-Algebra - Beweise Diese Sätze kann man alle einfach beweisen. Hier ist es sogar besonders einfach, da die vorkommenden freien Ausdrücke nur zwei Werte annehmen können. Man kann für alle Wertkombinationen
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1. Eine rechtstotale Funktion heißt surjektive Funktion oder Surjektion. 2. Eine linkseindeutige Funktion heißt injektive Funktion oder Injektion
Transitiv-reflexive Hülle Definition 24. Sei R M M eine Relation. Dann ist die transitiv-reflexive Hülle R von R definiert als die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften: 1. a M : (a, a) R 2. R R 3.
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WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
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4. Mathematische und notationelle Grundlagen 4.1 Mengen Beispiel 3 A 1 = {2, 4, 6, 8}; A 2 = {0, 2, 4, 6,...} = {n N 0 ; n gerade} Bezeichnungen: x A A x x A B A B A { } x Element A x nicht Element A B
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