Relationen (Teschl/Teschl 5.1)

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1 Relationen (Teschl/Teschl 5.1) Eine (binäre) Relation zwischen den Mengen M und N ist eine Teilmenge R der Produktmenge M N. Beispiele M Menge aller Studierenden, N Menge aller Vorlesungen, R : {(x, y) M N : x besucht Vorlesung y}. R = {(x, y) R R : x < y}, R = {(m, n) N N m und n haben die gleiche Quersumme}, relationen12.pdf, Seite 1

2 Zusammenhang mit Funktionen Ist f : M N eine Abbildung, so deniert R f = {(x, y) : y = f (x)} M N eine Relation. Damit kann der Begri Relation als Verallgemeinerung des Abbildungsbegris betrachtet werden. Zu einer gegebenen Relation R M N gibt es genau dann eine Abbildung f : M N mit R = R f, wenn R rechtseindeutig und linkstotal ist, d. h. wenn es zu jedem x M ein eindeutiges y N gibt mit (x, y) R. Bei einer allgemeinen Relation kann es im Gegensatz dazu x M geben, die mit keinem y N in Relation stehen, sowie solche x, die mit mehreren y in Relation stehen. relationen12.pdf, Seite 2

3 Beispiel Relationen R 1 = {(a, x), (b, z), (c, z)} M N und R 2 = {(a, x), (b, x), (b, z)} M N mit M = {a, b, c} und N = {x, y, z}. R 1 enspricht einer Abbildung f : M N, R 2 nicht. relationen12.pdf, Seite 3

4 Die Verknüpfung von Relationen verallgemeinert die Hintereinanderausführung von Funktionen: Zu R A B und S B C deniert man RS = S R = {(a, c) : b B : (a, b) R and (b, c) S} A C Ist A = B, so deniert man die nte Potenz R n = R} R {{... R}. n mal Beispiel Zu A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}, C = {7, 8, 9} und R = {(1, 4), (1, 5), (2, 5), (2, 6), (3, 6)} A B sowie S = {(4, 7), (4, 8), (5, 8), (5, 9), (6, 9)} B C ist beispielsweise (1, 8) RS, da (1, 4) R und (4, 8) S. (1, 8) RS folgt auch aus (1, 5) R und (5, 8) S. relationen12.pdf, Seite 4

5 Fortsetzung Beispiel RS = {(1, 7), (1, 8), (1, 9), (2, 8), (2, 9), (3, 9)} besteht aus allen Paaren (a, c) {A C}, für die es einen Weg von a nach c gibt. relationen12.pdf, Seite 5

6 Weiteres Beispiel Mit R = {(x, y) R R : x y < 1} und S = {(x, y) R R : x y < 3} ist RS = S R = {(x, y) R R : x y < 4}, denn: Ist (x, y) RS, so gibt es ein z R mit (x, z) R x z < 1 und (z, y) S z y < 3. Es folgt x y x z + z y < = 4. Ist umgekehrt x y < 4, so lässt sich die Strecke zwischen x und y in zwei Teile aufteilen, von denen einer Länge < 1 und der andere Länge < 3 hat, d. h. es gibt einen Zwischenwert z R mit x z < 1 und z y < 3, woraus (x, y) RS folgt. Analog folgt für die nte Potenz R n = {(x, y) R R : x y < n}. relationen12.pdf, Seite 6

7 Bemerkung Ähnlich wie die Komposition von Funktionen ist die Verknüpfung von Relationen assoziativ, d. h. für R A B, S B C und T C D gilt (RS)T = R(ST ) bzw. T (S R) = (T S) R. Somit kann man die Klammern weglassen und RST = T S R A D schreiben. Dagegen ist die Verknüpfung von Relationen (wie auch die Komposition von Funktion) nicht kommutativ, d. h. im allgemeinen gilt RS SR. Im Fall A C ist SR gar nicht deniert, aber auch im Fall A = C sind die beiden verknüpften Relationen RS und SR in der Regel verschieden. relationen12.pdf, Seite 7

8 Die Inverse Relation zu R A B wird deniert durch Umkehrung der Zuordnung: R 1 = {(y, x) B A : (x, y) R}. Bemerkung Die inverse Relation ist (im Gegensatz zur inversen Abbildung) immer deniert. Beispiele Mit A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} und R = {(1, a), (2, a), (2, c), (3, b), (3, c)} A B, ist R 1 = {(a, 1), (a, 2), (b, 3), (c, 2), (c, 3)} B A Die Inverse Realtion zur durch die Abbildung f : R R, f (x) = x 2 denierten Relation R f ist R 1 f = {(x, y) R 2 : x = y 2 } = {(x, y) R 2 : x 0 und y = ± x} relationen12.pdf, Seite 8

9 nstellige Relationen stellen eine Verallgemeinerung des Relationsbegris dar: Eine nstellige Relation ist eine Teilmenge R A 1 A 2... A n. nstellige Relationen sind Gegenstand der relationalen Algebra, die bei der Beschreibung von Datenbankstrukturen eine Rolle spielt. relationen12.pdf, Seite 9

10 Relationen auf einer Menge Eine besondere Rolle spielen Relationen R M M = M 2, d. h. der Fall, in dem beide betrachtete Mengen, auf denen eine Relation deniert ist, gleich sind. Bei einer Relation R M M spricht man auch von einer Relation auf M. Beispiele M Menge von Personen, R = {(x, y) M M : x ist mit y befreundet}, R = {(x, y) R R : x < y}, R = {(x, y) R R : x y < 1}. Eigenschaften Sind R und S Relationen auf M, so sind die Verknüpfungen RS und SR immer deniert, ebenso Potenzen R n und S n. Die inversen Relationen R 1 und S 1 sind dann wieder Relationen auf M. relationen12.pdf, Seite 10

11 Bemerkung Relationen auf einer endlichen Menge können durch (gerichtete) Graphen dargestellt werden. Beispiel Der Graph stellt die Relation R = {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 3)} auf der Menge M = {1, 2, 3, 4} dar. relationen12.pdf, Seite 11

12 Eigenschaften Eine Relation R auf M heiÿt reexiv, wenn (x, x) R für alle x M, symmetrisch, wenn (x, y) R (y, x) R, antisymmetrisch, wenn aus (x, y) R und (y, x) R folgt x = y, transitiv, wenn (x, y) R (y, z) R (x, z) R. Bemerkung R ist genau dann symmetrisch, wenn R 1 = R und genau dann transitiv, wenn R 2 R. Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation auf M, die reexiv, symmetrisch und transitiv ist. relationen12.pdf, Seite 12

13 Äquivalenzklassen Eine Äquivalenzrelation R zerlegt M in Äquivalenzklassen. Dabei handelt es sich um Teilmengen von M mit der Eigenschaft, dass x und y genau dann zur selben Äquivalenzklasse gehören, wenn (x, y) R. Beispiele für Äquivalenzrelationen M Menge von Personen, R sie die Relation auf M mit (x, y) R, wenn die Personen den selben Wohnort haben. Dann ist R eine Äquivalenzrelation. Eine Äquivalenzklasse besteht dann aus allen Bewohnern eines Ortes. R = {(x, y) Z Z : x y ist gerade} ist eine Äquivalenzrelation auf Z. Es gibt zwei Äquivalenzklassen: die Menge aller geraden Zahlen sowie die Menge aller ungeraden Zahlen. relationen12.pdf, Seite 13

14 Eine Ordnungsrelation ist eine Relation auf M, die reexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Beispiele R = {(x, y) R R : x y} ist eine Ordnungsrelation auf R. R = {(n, m) N N : n ist Teiler von m} ist eine Ordnungsrelation auf N. Bemerkung Die kleinerrelation R = {(x, y) : x < y} ist keine Ordnungsrelation auf R, da sie nicht reexiv ist. Sie wird erst zur Ordnungsrelation, wenn statt dessen betrachtet wird. Allgemein gilt: Jede antisymmetrische und transitive Relation auf M kann zu einer Ordnungsrelation erweitert werden, indem man alle Paare (x, x) mit x M zu R hinzufügt. relationen12.pdf, Seite 14

15 Vollständige und partielle Ordung Eine vollständige Ordnung auf M ist eine Ordnungsrelation R, bei der je zwei Elemente vergleichbar sind, d. h. für alle x, y M gilt entweder (x, y) R oder (y, x) R. Beispiel: Die Relation ist eine vollständige Ordnung auf R. Eine partielle Ordnung ist eine Ordnungsrelation R, die keine vollständige Ordnung ist, d. h. es gibt x und y mit (x, y) R und (y, x) R. Beispiel: Die Relation n ist Teiler von m ist eine partielle Ordnung auf N, da z. B. 2 und 3 nicht vergleichbar sind (2 ist kein Teiler von 3 und 3 ist kein Teiler von 2). relationen12.pdf, Seite 15

16 Beispiele mit M = {1, 2, 3, 4} R 0 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} ist reexiv, symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv. Insbesondere schlieÿen sich die Eigenschaften symmetrisch und antisymmetrisch nicht gegenseitig aus, wenn R keine Paare (x, y) mit x y enthält. R ist sowohl Äquivalenzrelation (die Äquivalenzklassen sind die einelementigen Teilmengen von M) als auch (partielle) Ordnung. R 1 = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} ist antisymmetrisch und transitiv. Damit ist R 1 R 0 eine Ordnungsrelation. Da weder (1, 2) noch (2, 1) enthalten ist, handelt es sich um eine partielle Ordnung. relationen12.pdf, Seite 16

17 Weitere Beispiele mit M = {1, 2, 3, 4} R 3 = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (4, 2)} ist nicht reexiv, da (4, 4) R 3, nicht symmetrisch, da (2, 1) R 3, aber (1, 2) R 3, nicht antisymmetrisch, da z. B. (1, 3) und (3, 1) R 3 und nicht transitiv, da (2, 1), (1, 3) R 3, aber (2, 3) R 3 R 4 = {(1, 1), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} ist reexiv, symmetrisch und transitiv, also eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklassen sind {1, 4}, {2} und {3}. R 5 = {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} ist eine totale Ordnung. Sie beschreibt die Reihenfolge 2, 3, 1, 4. relationen12.pdf, Seite 17

18 Hüllen Die reexive Hülle [R] re einer Relation R auf M erhält man, idem man zu R alle Paare (x, x) mit x M hinzufügt. Die symmetrische Hülle [R] symm von R erhält man, indem man zu R alle Paare (y, x) hinzufügt, für die (x, y) R ist. Es ist [R] symm = R R 1. Die transitive Hülle [R] trans von R ist die kleinste transitive Relation, in der R als Teilmenge enthalten ist. Es ist [R] trans = R R 2 R 3... Beispiel M = {1, 2, 3, 4} und R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} [R] re = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} [R] symm = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3)} [R] trans = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} relationen12.pdf, Seite 18