2.2 der Größenbegriff

Transkript

1 (mit Äquivalenzrelationen) Maximilian Geier Institut für Mathematik, Landau Universität Koblenz-Landau

2 Zu Größen gelangt man ausgehend von realen Gegenständen durch einen Abstraktionsvorgang. Man geht dazu über, gleichwertige Gegenstände (je nach dem Vergleichsaspekt) nicht mehr zu unterscheiden, und spricht dann nur noch von Größen der betreffenden Art (Längen, Gewichten, Volumina usw.). Der Abstraktionsvorgang wird oft als Messvorgang realisiert. Das Ergebnis der Messung ist dann eine Größe, geschrieben mittels Maßzahl und Maßeinheit. (Arnold Kirsch: Mathematik wirklich verstehen, 1987) 2

3 der Größenbegriff Sachrechnen/Größen WS 14/15- Wilhelm Schipper unterscheidet vier verschiedene Ebenen (Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen 2009) 1) die Ebene der Repräsentanten von Größen 2) die Ebene der Größen als Äquivalenzklassen aller solcher Repräsentanten, die bezogen auf eine Äquivalenzrelation zu einer Klasse zusammengefasst werden 3) die Zusammenfassung aller Größen mit gleicher Äquivalenzrelation zu einem Größenbereich 4) die Ebene der Benennung von Größen durch Maßzahl und Maßeinheit 3

4 der Größenbegriff Sachrechnen/Größen WS 14/15- Wir betrachten einen 52cm langen Stab (gespannte Schnur, gezeichnete Strecke, ) 1. Ebene) der Stab ist ein Repräsentant für Längen 2. Ebene) bezogen auf die Äquivalenzrelation genauso lang wie fassen wir alle Objekte, die genauso lang sind wie unser Stab zu einer Klasse zusammen 3. Ebene) der Größenbereich Längen ist die Zusammenfassung aller Größen, über die wir mit Hilfe der Relation genauso lang wie sprechen können 4. Ebene) die Länge wird benannt: 52cm (Maßzahl, Maßeinheit) Zu Größen gelangt man ausgehend von realen Gegenständen durch einen Abstraktionsvorgang (Kirsch) 4

5 der Größenbegriff Sachrechnen/Größen WS 14/15- Kinder vergleichen Repräsentanten intuitiv: Paul ist größer als Karl. Der rote Strich ist so lang wie der blaue. Maßzahlen und Maßeinheiten werden dazu nicht benötigt 5

6 der Größenbegriff Verwirrungen um Repräsentanten: Sachrechnen/Größen WS 14/15- b a Die Summe zweier Dreiecksseiten ist stets größer als die dritte. c Addition von Repräsentanten? Die Summe der Längen zweier Dreiecksseiten ist stets größer als die Länge der dritten Dreiecksseite. 6

7 Rauminhalt Länge der Größenbegriff Verwirrungen um Repräsentanten: Sachrechnen/Größen WS 14/15- Repräsentant eines Größenbereichs Repräsentant einer Äquivalenzklasse 7

8 Definitionen & Begriffe aus der Mathematik Kartesisches Produkt Relation Äquivalenzrelation symmetrisch transitiv Reflexiv Äquivalenzklasse Repräsentant eine oder zwei Ordnungsrelationen (im nächsten Kapitel) 8

9 Figur a hat die gleiche Farbe wie Figur b

10 eine Äquivalenzklasse ist blau

11 eine Äquivalenzklasse ist orange

12 eine Äquivalenzklasse ist grau

13 eine Äquivalenzklasse ist grün

14 alle Äquivalenzklassen zusammen = alle Figuren

15 Figur a ist so groß wie Figur b

16 eine Äquivalenzklasse ist groß

17 eine Äquivalenzklasse ist klein

18 alle Äquivalenzklassen zusammen = alle Figuren

19 Figur a hat gleich viele Beine wie Figur b

20 alle Figuren sind in einer einzigen Äquivalenzklasse

21 Figur a steht an der gleichen Stelle wie Figur b

22 Jede Figur ist allein in seiner eigenen Äquivalenzklasse

23 alle Äquivalenzklassen zusammen = alle Figuren

24 Repräsentant für klein, grau, Frau Repräsentant für groß, blau, männlich 24

25 Äquivalenzrelationen sind überall am besten sind die, die man gar nicht wahrnimmt in der Schulmathematik: 2+4 = 3 2 Term a ist gleich Term b 25

26 Äquivalenzrelationen sind überall am besten sind die, die man gar nicht wahrnimmt in der Schulmathematik: 4 ist eine 4 ist durch gerade Zahl 2 teilbar <=> Aussage A ist äquivalent zu Aussage B 26

27 Äquivalenzrelationen sind überall am besten sind die, die man gar nicht wahrnimmt in der Schulmathematik: A Dreieck A ist kongruent zu Dreieck B 27

28 Beispiel im Bereich Anzahlen: Wir betrachten die Menge aller endlichen Mengen. Eine Menge M aus steht in Relation zu einer Menge N, wenn M gleich viele Elemente wie N enthält. Sachrechnen/Größen WS 14/15-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ist Repräsentant aller 9-elementigen Mengen 0, 5, 42, 1, 2, π, 23, 1.732, 1/2 ist Repräsentant aller 9-elementigen Mengen ist Repräsentant aller 9-elementigen Mengen Jeder Repräsentant dieser Äquivalenzklasse repräsentiert so die Zahl 9 ( Kardinalzahlaspekt) 28

29 Typische Sachaufgabe zu Größen als Äquivalenzklassen: Auf welche Weise lassen sich 3 darstellen, wenn man nur 1 -, 50ct- und 20ct-Münzen hat?

30 Typische Sachaufgabe zu Größen als Äquivalenzklassen: Auf welche Weise lassen sich 3 darstellen, wenn man nur 1 -, 50ct- und 20ct-Münzen hat? - Äquivalenzklasse: Menge aller Mengen an Münzen mit dem gleichen Wert - Äquivalenzrelation: hat den gleichen Geldwert wie - Grundmenge muss nicht die Menge aller Münzen sein, sondern z.b. auch die Menge aller Waren im Supermarkt 30

31 Definition: Äquivalenzklasse Sachrechnen/Größen WS 14/15- Eine Relation ist eine Äquivalenzrelation, wenn sie folgende drei Eigenschaften erfüllt: Eigenschaft Reflexivität Symmetrie Transitivität Relation: ist genau so lange wie jede Strecke ist genau so lang wie sie selbst wenn der Stab so lang ist wie die Schnur, dann ist auch die Schnur so lange wie der Stab ist der Stab so lang wie die Schnur, und die Schnur so lange wie die der Tisch, dann ist auch der Stab so lange wie der Tisch 31

32 Satz über Äquivalenzklassen Sachrechnen/Größen WS 14/15- Jede Äquivalenzrelation auf einer nicht leeren Menge erzeugt eine Klasseneinteilung dieser Menge, d.h. eine Zerlegung in (nicht leere) disjunkte Teilmengen, die Äquivalenzklassen. Umgekehrt lässt sich jeder Klasseneinteilung einer Menge auch eine Äquivalenzrelation zuordnen. (Teilmengen heißen disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element enthalten) 32

33 Definition von Größen durch Äquivalenzklassen Sachrechnen/Größen WS 14/15- Anzahlen (Kardinalzahlen) sind Klassen gleichmächtiger Mengen (vgl. Bsp) Längen sind Klassen kongruenter Strecken Gewichte sind Klassen gleichschwerer Objekte Zeitspannen sind Klassen gleichlang dauernder Vorgänge Geldwerte sind Klassen gleichwertiger (!) Geldmengen/Objekte (vgl. Bsp) 33