1. Üb. Aufbau d.zahlensystems u.funktionenlehre SS2018

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1 1. Üb. Aufbau d.zahlensystems u.funktionenlehre SS Gegeben seien die nichtleeren Mengen X und Y, nichtleere Teilmengen A 1,A 2 von X, nichtleere Teilmengen B 1,B 2 von Y, und eine Funktion f : X Y. Weiter sei Zeigen Sie: f(x) := {f(x); x X}, (a) Aus A 1 A 2 folgt f(a 1 ) f(a 2 ). (b) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ). (c) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). (d) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). (e) f 1 (Y \B) = X \(f 1 (B)). f 1 (Y) := {x X; f(x) Y}. 2. Seien X,Y nichtleere Mengen, f : X Y injektiv, A X nichtleer. Zeigen Sie: f 1 (f(a)) = A. 3. Sei A eine nichtleere Menge, f : A A eine Abbildung. Zeigen oder widerlegen Sie: (a) f injektiv = f surjektiv. (b) f surjektiv = f injektiv. Unterscheiden Sie jeweils die Fälle A endlich bzw. A unendlich. 4. Geben Sie für folgende Funktionen an, ob sie injektiv, surjektiv oder sogar bijektiv sind! Wenn nicht, verändern Sie Definitions- oder Wertemenge so, dass die Funktion injektiv bzw. surjektiv wird. (a) f : IR [0, ) mit f(x) = x 2. (b) f : IR IR mit f(x) = x 3. (c) f : IR IR mit f(x) = 1+x Geben Sie an, welche der folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind, und geben Sie gegebenenfalls die Äquivalenzklassen an: (a) M und R = {(x,y); x,y M}. (b) M und R = {(x,y); x = y}. {( ) } (c) M = Z IN und R = (a,b),(c,d) ; a d = b c. 6. Seien A und B nichtleere Mengen, f : A B eine Abbildung. Zeigen Sie: R = {(x,y) A A; f(x) = f(y)} ist eine Äquivalenzrelation auf A. 7. Sei M eine nichtleere Menge, S P(M) eine Partition von M, d.h. ein System von nichtleeren Teilmengen von M mit folgenden Eigenschaften: (i) Für alle x M gibt es ein M 1 S mit x M 1. (ii) Für alle M 1,M 2 S mit M 1 M 2 gilt M 1 M 2 =. Zeigen Sie: Dann gibt es eine Äquivalenzrelation R auf M, so dass die Äquivalenzklassen zu R genau die Mengen von S sind.

2 2. Üb. Aufbau d.zahlensystems u.funktionenlehre SS Gegeben seien die nichtleeren Mengen X, Y und Z und Funktionen f : X Y, g : Y Z. (a) ZeigenSie:SindB 1,B 2 nichtleereteilmengenvony mitb 1 B 2,danngiltf 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). (b) Zeigen Sie: Es gilt f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) für alle nichtleeren Teilmengen A 1,A 2 von X genau dann, wenn f injektiv ist. (c) Zeigen oder widerlegen Sie: Sind f und g injektiv, dann auch g f. (d) Zeigen oder widerlegen Sie: Sind f und g surjektiv, dann auch g f. (5 Punkte) 9. Familie Meier will den Stromanbieter wechseln. Firma A berechnet in ihrem Angebot einen Grundpreis von 73,81 Euro und für jede Kilowattstunde 0,2387 Euro, Firma B erhebt einen Grundpreis von 53,24 Euro und für jede Kilowattstunde 0,2492 Euro und Firma C erhebt keinen Grundpreis, aber für jede Kilowattstunde 0, 3307 Euro. (a) Welche Kosten entstehen jeweils bei einem 1-Personenhaushalt mit 1000 kwh, einem 2-Personenhaushalt mit 2500 kwh, einem 4-Personenhaushalt mit 5000 kwh? Welche Firma ist in diesen Fällen die kostengünstigste? (b) Wie lauten jeweils die Gleichungen der drei Funktionen, die jedem Verbrauch x (in kwh) die entstehenden Kosten y (in Euro) zuordnet? Stellen Sie die Funktionen grafisch dar! (c) Bei welcher Arbeitszeit wären die Kosten bei zwei der Firmen gleich? 10. Sei M IR. Geben Sie für folgende Funktion f : M IR mit f(x) = 1+ 2 x+2 2 (3 Punkte) den natürlichen Definitionsbereich M an. Untersuchen Sie, ob f injektiv, surjektiv oder sogar bijektiv ist! Wenn nicht, verändern Sie Definitions- oder Wertemenge so, dass die Funktion injektiv, surjektiv bzw. bijektiv wird und bestimmen Sie die Umkehrfunktion. (3 Punkte)

3 11. (a) Geben Sie an welche der folgenden Relationen reflexiv, symmetrisch oder transitiv sind: R 1 = {(a,a),(b,b),(c,c),(c,a)}, R 2 = {(a,b),(a,c),(b,c)}, R 3 = {(a,a),(a,b),(b,a),(a,c),(c,a)}. (b) Zeigen Sie dass R 4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c)}eine Äquivalenzrelation ist und bestimmen Sie die Äquivalenzklasse von a. (c) Ergänzen Sie die Relation R 5 = {(a,b),(c,b)} zu einer Äquivalenzrelation. (d) Wie viele verschiedene Äquivalenzrelationen gibt es auf der Menge {a, b, c}? {( ) } (e) Zeigen Sie: R = (a,b),(c,d) ; a+d = b+c ist eine Äquivalenzrelation auf M = IN IN und geben Sie die Äquivalenzklassen an. (6 Punkte) Abgabe der Aufgaben bis vor der Vorlesung. Gruppenabgabe mit Gruppen zu höchstens 3 Studierenden.

4 3. Üb. Aufbau d.zahlensystems u.funktionenlehre SS Überprüfen Sie für folgende Mengen X mit der angegebenen Nachfolgerfunktion f, welche Peano-Axiome erfüllt sind und welche nicht! (Die Kenntnis der Menge IR der reellen Zahlen wird hier vorausgesetzt mit dem Wissen aus der Schule.) (a) X := IR\{0; 1; 2; 3; }; f(x) := x+1 für alle x X. (b) X := {0;2;4;6;8; }; f(x) := x+2 für alle x X. (c) X := { 1;0;1}; f( 1) := 0, f(0) := 1; f(1) := Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: (a) n k 2 = 1 6 n(n+1)(2n+1). k=1 (b) Zu jedem n IN gibt es ein k IN mit 11 n n 1 = 133k. n (c) k 3 k = 2n 1 3 (n+1) k=1 (d) Für jedes k IN gilt: 5 teilt 2 4k Wenn man in der Ebene mehrere Geraden zeichnet, entsteht eine Anzahl von Gebieten, die durch Stücke der Geraden berandet werden. Zeigen Sie: Man kann die entstehenden Gebiete mit nur zwei Farben so einfärben, dass nie Gebiete mit gleicher Farbe eine gemeinsame Grenze haben. (Ein Punkt zählt dabei nicht als Grenze.) 15. Prüfen Sie den Beweis für folgende Behauptung: Für alle n IN gilt: Sind in einem Raum n Personen, dann sind alle diese Personen gleich alt. Beweis (vollst. Induktion nach n): Ind.-Anfang: Für n = 1 ist die Behauptung wahr. Ind.-Schluß: Voraussetzung: Sei n IN so, dass die Aussage Sind in einem Raum n Personen, dann sind diese gleich alt wahr ist. Behauptung: Sind in einem Raum n+1 Personen, dann sind diese gleich alt. Beweis: Seien n + 1 Personen in einem Raum, darunter zum Beispiel Fritz, Karl und Walter. Walter sei zum Beispiel 25 Jahre alt. Verlässt Fritz den Raum, dann sind nur noch n Personen in dem Raum, d.h. nach Voraussetzung sind diese alle gleich alt, also alle 25 Jahre alt. Karl ist also auch 25 Jahre alt. Geht Fritz hinein und Karl hinaus, dann sind wiederum n Personen im Raum, die nach Voraussetzung alle gleich alt sind, also alle 25 Jahre alt. Damit sind insgesamt alle n+1 Personen 25 Jahre alt, also alle gleich alt, und die Behauptung ist bewiesen.

5 16. Durch 1! := 1; (n+1)! := (n!) (n+1) werden die Fakultäten natürlicher Zahlen (induktiv) definiert. (a) Berechnen Sie n! für n = 1,2,3,4,5,6,7. (b) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n IN gilt n k (k!) < (n+1)!. k=1 17. In Computerprogrammen bezeichnet man oft die Potenz a b mit a b. Zeigen Sie: (a) Die dadurch definierte Verknüpfung auf IN ist weder kommutativ noch assoziativ. (b) Für alle a,b,c IN, a 1, gilt: Aus a b = a c folgt b = c. 18. In Ihrer Strumpf-Schublade sind 10 graue, 10 braune und 10 schwarze Socken der gleichen Art. Das Licht ist ausgefallen, d.h. Sie sehen nichts. Wie viele Socken müssen Sie herausnehmen, um (a) garantiert zwei gleichfarbige Socken, (b) garantiert zwei graue Socken zu erhalten? 19. Zeigen Sie: Liegen in einem Quadrat der Seitenlänge 2 mindestens 5 Punkte, dann gibt es zwei (dieser 5) mit Abstand kleiner oder gleich Zeigen Sie: Im Hörsaal sitzen mindestens 2 Personen, die gleich viele Bekannte unter den im Hörsaal Anwesenden haben. Es werde vorausgesetzt, daß bekannt symmetrisch ist, d.h. wenn Max Bekannter von Thomas ist, dann ist auch Thomas Bekannter von Max. Max ist aber nicht Bekannter von sich selbst. Betrachten Sie die Menge M k der Personen, die genau k Bekannte haben. Zeigen Sie: Höchstens eine der Mengen M 0 und M n 1 ist nicht leer. 21. Ein Lehrer erzählt seinem Kollegen: Meine Klasse hat 34 Schüler/innen. 19 davon sind Jungen. 29 Schüler/innen stehen im Notendurchschnitt Drei oder besser. Von diesen sind 16 Jungen. 27 Schüler/innen haben Religion, und von diesen sind 17 Jungen, und 15 stehen Drei oder besser. 13 Jungen mit Fach Religion stehen Drei oder besser. Der Kollege, der zufällig Mathematik unterrichtet, denkt: Hoffentlich ist er im Unterricht ehrlicher. Wer hat recht? 22. Geben Sie die Ihnen bekannten Teilbarkeitsregeln (Division durch 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12) an!

6 4. Üb. Aufbau d.zahlensystems u.funktionenlehre SS Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: Für alle n IN gilt (5n+2) 2 = 25 3 n n n. 24. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: Zu jedem n IN ist (a) 3n 5 +5n 3 23n durch 15, (b) 2 4k+3 3 durch 5 (2 Punkte) ganzzahlig teilbar. (6 Punkte) 25. Geben Sie an, für welche n IN die Ungleichung 2 n > n 2 +4n+5 richtig ist (mit Beweis)! (2 Punkte) 26. (a) Zeigen Sie: Trifft man mit einem Luftgewehr 5-mal ein dreiecksförmiges Ziel, dessen Seiten die Länge 2 haben, haben, dann gibt es mindestens 2 Treffer, deren Abstand höchstens 1 ist. Gilt das auch für 4 Treffer? (b) Gegeben sei in der Ebene eine Gerade g und ein Dreieck, und die Gerade geht durch keine der Ecken. Zeigen Sie: Die Gerade schneidet höchstens 2 der Dreiecksseiten. 27. Wie viele Zahlen zwischen 1 und sind durch 3, 7 und/oder 11 teilbar? (3 Punkte) (2 Punkte) 28. Sei n IN und a = (a n a n 1 a n 2...a 1 a 0 ) 10, Q(a) := (a 0 + a 1 + a a n ) 10 ihre Quersumme. Zeigen Sie: 36 ist Teiler von a genau dann, wenn 4 die Zahl (a 1 a 0 ) 10 und 9 die Quersumme Q(a) teilt. Abgabe der Aufgaben bis vor der Vorlesung. Gruppenabgabe mit Gruppen zu höchstens 3 Studierenden. (4 Punkte)