Technische Universität München

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Nicole Brauer
vor 7 Jahren
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1 Stand der Vorlesung Kapitel 2: Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen Mengen, Potenzmenge, Kreuzprodukt (Paare, Tripel, n-tupel) Relation: Teilmenge MxN Eigenschaften: reflexiv, symmetrisch, transitiv, Äquivalenzrelation: Zerlegung einer Menge in Klassen Funktionen Eigenschaften: injektiv, surjektiv, bijektiv Restklassenarithmetik: Modulo a = b mod n Permutation: Vertauschen der Elemente einer Folge AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 1

2 Definition: Zahlendarstellung zur Basis b Eine positive ganze Zahl X zur Basis b N, b > 1 wird dargestellt als eine endliche Folge x n-1,...,x 0 wobei x i Ziffern sind und für die Zahl X folgendes gilt: X = x n-1 b n x 0 b 0 Beispiel: Zahlensystem mit der Basis b=10 (Dezimalsystem) (23) 10 = 2* *10 0 Beispiel: Zahlensystem mit der Basis b = 2 (Binärsystem) (11) 10 = (1011) 2 = (12) AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 2

3 Berechnung der Darstellung zur Basis b Beispiel: X = 11, b = 2 Beispiel: X = 11, b = 3 11 : 2 = 5 Rest 1 5 : 2 = 2 Rest 1 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1 11 : 3 = 3 Rest 2 3 : 3 = 1 Rest 0 1 : 3 = 0 Rest 1 Resultat: 1011 Resultat: 102 AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 3

4 2.3 Alphabete, Wörter Definitionen: A sei eine endliche, nichtleere Menge. A := Anzahl der Elemente von A, A heißt Zeichenvorrat oder Alphabet, Das Paar (A, <) heißt geordnetes Alphabet, wenn < eine totale Ordnung auf A ist. Beispiele Menge der Dezimalziffern ID = {0,..., 9} Lat. Großbuchstaben {A, B,..., Z} mit der natürlichen Ordnung A < B <... < Z Geordnete binäre Zeichenvorräte IB = {0, 1} mit 0 < 1, oder {true, false} mit false < true AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 4

5 Definitionen: A sei Alphabet mit Ordnung <. Wort über A: endliche Folge w = a 1 a 2... a k (a i A, k IN) Bem.: wir schreiben w = a 1 a 2... a k Länge des Wortes w: w = k leeres Wort:, = 0 statt w = a 1, a 2,..., a k A k := {w w ist ein Wort über A, w = k}, für k IN 0 oder rekursiv: A 0 := { }, A k := {ua u A k-1, a A} w = uv, dann heißen u, v Teilworte von w. A * := {w w Wort über A} = A k k = 0 A + := {w w nichtleeres Wort über A} = k = 1 AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 5 A k

6 Lexikographische Ordnung auf A * ist die von < induzierte totale Ordnung auf A * (analog zur Reihenfolge im Lexikon), d.h. für w, v A * : w < v: entweder: v=wv, mit v A *, oder: w = uaw, v = ubv, mit a, b A, u,w,v A * und a < b, a b. Beispiel: Lexikographische Ordnung auf der Menge der Dezimalzahlen: z.b. 13 < 132 < 1324 < 2 < 29 < 8 (entspricht nicht der numerischen Ordnung!) AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 6

7 2.4 Summenformeln und Eigenschaften Technische Universität München Gegeben sei eine Zahlenfolge a 1,.., a n. Die endliche Summe a 1 + a a n schreiben wir auch in der Form n Die Summe k = n ist eine arithmetische Reihe. k 1 Sie hat die Werte k = ½ * n(n + 1) Es gelten die Summenformeln: n k 1 n i 1 ai AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 7

8 2.5 Logarithmus Definition des Logarithmus zur Basis b x= log b a a= b x Beispiel: log 2 16 = x 2 x = 16, d.h. x=4 Logarithmus-Gesetze 1. Produkt: log b (x*y) = log b x + log b y 2. Quotient: log b (x/y) = log b x - log b y 3. Potenzen: sei r eine reelle Zahl log b (x r ) = rlog b x für r=-1: log b (1/x) = -log b x AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 8

9 2.6 Wahrscheinlichkeiten Ein Ereignisraum S ist Menge, deren Elemente als Elementarereignisse bezeichnet werden. Ein Elementarereignis kann als Ausgang eines Experiments interpretiert werden. Beispiel: Werfen zweier unterscheidbarer Münzen, wobei jeder Münzwurf in Kopf(Ko) oder Zahl(Za) endet. S = {KoKo,KoZa,ZaKo,ZaZa} EinEreignis ist eine Teilmenge des Ereignisraums S. Ein Elementarereignis s S bezeichnet das Ereignis {s}. Ereignis S wird sicheres Ereignis genannt, Ereignis Ø als unmögliches Ereignis. AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 9

10 Wahrscheinlichkeitsverteilung Pr{} über einem Ereignisraum S ist eine Funktion von einer Menge von Ereignissen aus S in das Intervall [0,1] der reellen Zahlen, Pr : 2 S [0,1], wobei folgende Axiome erfüllt sind: Pr{A} 0, für jedes Ereignis A Pr{S} = 1 Pr{A B} = Pr{A} + Pr{B} für zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A und B Bsp: Münzwurf: 2 Münzen: W-Keit mindestens 1 mal Kopf zu werfen? Für unmögliches Ereignis Ø gilt: Pr{Ø} = 0. Aus A B folgt Pr{A} Pr{B} Komplement eines Ereignisses A wird als Ā bezeichnet. Es gilt Pr{Ā} = 1-Pr{A} AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 10

11 Eine (diskrete) Zufallsvariable X ist eine Funktion von einem endlichen oder abzählbar unendlichen Ereignisraum S in die Menge der reellen Zahlen. Sie ordnet jedem möglichen Ausgang eines Experiments eine reelle Zahl zu. Für eine Zufallsvariable X und eine reelle Zahl x definieren wir das Ereignis X=x als { s S : X(s) = x }, so dass gilt: Pr{X = x} = Pr{ s} s S: X ( s ) x Funktion f(x) = Pr{X=x} ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariable X. Aus den Wahrscheinlichkeitsaxiomen folgt Pr{X = x} 0, Pr{ X x} 1 x AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 11

12 Beispiel: 2 Würfel : Würfel1, Würfel 2 (jeweils mit 6 Seiten) S = Für jedes Elementarereignis s. Pr{s} = X sei Zufallsvariable, mit X = max {Würfel1, Würfel2} Gesucht: Pr{X= 3} Erwartungswert: Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X. Der Erwartungswert (oder Mittelwert) von X ist: E[X] = x Pr{ X x} x AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 12

13 Beispiel: Das Experiment sei das Werfen eines Butterbrots. Der Ereignisraum S ist gegeben durch: S = {Butterseite oben, Butterseite unten}. Wir nehmen an, dass wir: 2 Euro erhalten, wenn die Butterseite nach oben zeigt und 1 Euro verlieren, wenn die Brutterseite nach unten zeigt. Die Wahrscheinlichkeiten für die Elementarereignisse aus S seien: Pr{Butterseite oben} = 1/4 und Pr{Butterseite unten} = 3/4. Frage: Wie ist der Erwartungswert der Zufallsvariable X, die einen Gewinn darstellt? AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 13

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Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Ziel: Einführung/Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen 2.1 Mengen, Relationen, Ordnungen Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und