Mathematische und statistische Methoden II

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1 Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum ) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike [email protected] SS 2010 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Grundlagen Experimente Von Variablen zu Ereignisse & Algebren Eine Variable wird zur, wenn ihre Ausprägungen als Folge eines Zufallsexperimentes gemessen werden. (Zufalls-)experiment = Ein Satz von Regeln, unter denen eine bestimmte Handlung ausgeführt wird (Bedingungskomplex Ξ, Xi ) Der konkrete Ausgang eines Zufallsexperimentes ist a- priori unbestimmt, nicht aber seine möglichen Augänge. Trial = Eine Durchführung des Experimentes Ergebnis = Mögliches Resultat der Durchführung Ereignis = Jede beliebige Kombination von Ergebnissen (Ereignisse sind immer aus Ergebnissen zusammengesetzt)

3 Grundlagen Ereignisse & Algebren Experimente Von Variablen zu Beispiel I: Experiment = Einmaliger Münzwurf Definition eines Zufallsexperimentes: Mögliche Ergebnisse eines Trials: Kopf, Zahl, Seite Durchführung eines Trials und Feststellung des Ergebnisses: Zahl

4 Grundlagen Experimente Von Variablen zu Ereignisse & Algebren Beispiel II: Würfelwurf Zufallsexperiment (Ξ): Ein sechsseitiger Würfel ist einmal zu werfen. Er kann nicht auf einer Kante liegen bleiben. Ergebnis ist die Augenzahl der oben liegenden Seite. Trial: Der einmalige Wurf des Würfels Ergebnis: Die beobachtete Augenzahl (1 bis 6) Ereignisse: 1 4 Augenzahl 3 ungerade Zahl Ereignisse: 1, 4, Augenzahl 3, ungerade Zahl, irgendeine Zahl

5 Grundlagen Experimente Von Variablen zu Ereignisse & Algebren Beispiel III: Zulassung zum Psychologiestudium Zufallsexperiment (Ξ): Aus 782 Bewerbern werden 44 verschiedene Personen zufällig ausgewählt. Ergebnis ist die Menge der 44 Personen. Trial: Die einmalige Auswahl von 44 Personen Ergebnis: Die ausgewählte Menge von 44 Personen Ereignisse: Kombinationen aus allen möglichen Mengen von 44 Personen, z.b. die 44 Besten, die 44 Besten oder die 44 Schlechtesten, jede Auswahl von 44 Personen aus den besten 371 Achtung: Die Durchführung von 44 Trials des Zufallsexperimentes Aus 742 Bewerbern wird 1 Person ausgewählt ist ein anderes Experiment.

6 Grundlagen Ergebnisse & Ereignisse Verbindung zur Mengenlehre Ereignisse & Algebren Ergebnisse eines Zufallsexperimentes sind immer Mengen. Diese Mengen können auch nur aus einem Element bestehen. Beispiel I: Ergebnisse eine einmaligen Würfelwurfesrfes {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Beispiel II: Ergebnisse eine zweimaligen Würfelwurfes {1,1}, {1,2},, {2,1}, {2,2},, {6,5}, {6,6} Beispiel III: Ergebnisse eines IQ-Tests {0}, {1}, {2},, {100}, {101},

7 Grundlagen Ergebnisse & Ereignisse Verbindung zur Mengenlehre Ereignisse & Algebren Ergebnisse sind konkrete Beobachtungen in einem Zufallsexperiment Ein mögliches Ergebnis aus der Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Elementarereignis Definition: Elementarereignis = die kleinste Einheit disjunkter Ereignisse,, in die sich mögliche Ergebnisse eines Zufallsexperimentes zerlegen lassen Zwei Ereignisse E 1 und E 2 heißen disjunkt (paarweise unvereinbar), wenn gilt E E unmögliches Ereignis 1 2

8 Grundlagen Ereignisse & Algebren Ergebnisse & Ereignisse Verbindung zur Mengenlehre Beispiel I: Beim Wurf eines Würfels sind die Ereignisse {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Elementarereignisse, nicht aber {2, 4, 6} und {1, 4, 5}, denn 2,4,6 1,4,5 4 Beispiel II: Beim Wurf zweier Würfel sind die Ereignisse {1,1}, {1,2},, {2,1}, {2,2},, {6,5}, {6,6} Elementarereignisse.

9 Grundlagen Ergebnisse & Ereignisse Verbindung zur Mengenlehre Ereignisse & Algebren Die vollständige Menge der Elementarereignisse eines Zufallsexperimentes heißt Stichprobenraum Ω. Der Stichprobenraum umfasst alle Elementarereignisse (also alle möglichen Ergebnisse) eines Zufallsexperimentes Der Stichprobenraum ist eine Menge Beispiel: Der Stichprobenraum beim einmaligen Würfelwurf ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Hinweis: Eigentlich müsste man schreiben: Ω = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}}

10 Grundlagen Ergebnisse & Ereignisse Verbindung zur Mengenlehre Ereignisse & Algebren Die Potenzmenge zum Stichprobenraum heißt Sigma- Algebra σ σ enthält alle möglichen Kombinationen aus allen Elementarereignissen Zusätzlich enthält σ noch das unmögliche Ereignis Beispiel: Einmaliger Münzwurf Ausprägungen: K, Z, S Stichprobenraum: Ω = {K, Z, S} Sigma-Algebra: σ = {, K, Z, S, {K,Z}, {K,S, {Z,S}, {K,Z,S}}

11 Grundlagen Ereignisse & Algebren Ergebnisse & Ereignisse Verbindung zur Mengenlehre,0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2 Die σ Algebra erfüllt das Kriterium der Abgeschlossenheit für das betrachtete Zufallsexperiment. Es erfüllt folgende Axiome (E sei ein Ereignis aus σ ): 1. Ω σ und σ Sicheres/unmögliches Ereignis in σ 2. Wenn E σ, dann auch Ω \ E σ Komplementereignis in σ 3. E 1 E 2 E n σ und E 1 E 2 E n σ Vereinigungs-/Schnittmenge in σ Also: Alle denkbaren Ausgänge des Zufallsexperimentes und Kombinationen daraus sind in σ enthalten. Frage: Was ist hier die Zufallsvariable?

12 Grundlagen Definitionen Ereignisse & Eine Zufallsvariable ist eine 1:1 Abbildung Algebren ( bijektiv ) der Elemente des Stichprobenraums auf eine Menge von Zahlen. werden mit Großbuchstaben gekennzeichnet (X, Y, ) Eine Zufallsvariable wird z.b. als X() geschrieben, wobei das () oft weggelassen wird. X() kann als mathematische Funktion aufgefasst werden, die jedem möglichen Elementarereignis eine Zahl zuordnet

13 Grundlagen Definitionen Ereignisse & Beispiel: Algebren 0, wenn "K",, 1wenn"Z" 1, 2, wenn "S" KZS X Die Menge der möglichen Funktionswerte X(Ω) ist damit der Wertebereich der. Die Feststellung einer Ausprägung von X(Ω) wird als Messung bezeichnet, die gemessenen Zahlen als Messwerte

14 Grundlagen Ereignisse & Algebren Prinzip Beispiel: Experiment = Eimaliger Münzwurf Definition eines Zufallsexperimentes: Mögliche Ergebnisse eines Trials: Kopf, Zahl, Seite Definition des Stichprobenraums Definition einer X() Durchführung eines Trials und Feststellung der Realisation: Zahl Messung: X = 1 Frage: Was bedeutet zufällig?

15 Laplace Kolmogoroff Geschichte der WT Anfänge Mitte des 17. Jh. (Huygens, Pascal, Fermat, Bernoulli). Aufgaben des Glücksspiels. Nur Arithmetik und Kombinatorik. Weiterentwicklungen im Jh. durch Laplace, Gauss, Poisson: Fehlertheorie, Ballistik, Pop.stat. t Durchbruch zu Beginn des 20. Jh: Entwicklung der W- Theorie, Fundament in axiomatischen Aufbau (Kolmogoroff). Theorie der stochastischen Prozesse (Wiener, Markoff, Chintchin). Heute zentraler Bestandteil wiss. Betätigung: Informationstheorie, Physik, Bevölkerungsstatistik, Epidemiologie, Materialprüfung, Statik, Personalauswahl, psychologische Testung, Versuchsplanung und Stichprobentheorie.

16 Die Wahrscheinlichkeits- definition von Laplace Laplace Kolmogoroff Grundannahme: Alle Elementarereignisse in Ω sind gleichmöglich. Jedem Ereignis E, welches der σ-algebra angehört, kann so eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. m = Mächtigkeit der Menge an gleichmöglichen Elementarereignissen aus Ω, die Teilereignis m pe ( ) von E sind. n n = Mächtigkeit des Stichprobenraumes (also Anzahl aller Elementarereignisse aus Ω) Die Wahrscheinlichkeit ist demnach eine auf der σ-algebra definierte mathematische Funktion p(e).

17 Die Wahrscheinlichkeits- definition von Laplace Folgerungen aus der Definition von p(e) Laplace Kolmogoroff 1. Für jedes Ereignis E aus der σ-algebra gilt: p(e) 0, weil weder m noch n negativ werden können 2. Für das sichere Ereignis gilt: p(ω) = 1, weil hier m = n 3. Ist ein Ereignis E zerlegbar in die Elementarereignisse A 1, A 2, A i so gilt: p(e) = p(a 1 ) + p(a 2 )+ +p(a) i Additionstheorem der Wahrscheinlichkeiten

18 Die Wahrscheinlichkeits- definition von Laplace Folgerungen aus der Definition von p(e) Laplace Kolmogoroff 4. Für E gilt also: 0 p(e) 1 5. Für das Komplement E von E gilt: p(e) = 1 p(e) 6. Für die Wahrscheinlichkeit von E oder E gilt: p(e) + p(e) = 1

19 Die Wahrscheinlichkeits- definition von Laplace Beispiele Laplace Kolmogoroff Summe von 2 Würfelwürfen Anzahl von Zahl bei 3 Münzwürfen Frage des Landsknechts an Huygens

20 Die Wahrscheinlichkeits- definition von Laplace Laplace Kolmogoroff Kann man einen Vorgang k-mal wiederholen, und zwar zunächst auf n 1 Weisen, danach auf n 2 Weisen, zuletzt auf n k Weisen ausführen, dann gibt es insgesamt N= n 1 n 2 n k verschiedene Möglichkeiten für die gesamte Sequenz.

21 Laplace ä p Permutationen Beachtung der Reihenfolge Für die Anordnung von n unterscheidbaren Elementen in einer Reihe mit Zurücklegen gibt es Kolmogoroff N = n k = n n n k-mal Reihenfolgen. Für die Anordnung von n unterscheidbaren Elementen in einer Reihe ohne Zurücklegen gibt es N = n n-1 n-2 1 Reihenfolgen.

22 Laplace ä p Permutation und der Fakultätsbegriff Kolmogoroff Permutation können in Fakultätsnotation geschrieben werden als: N = n! = n n-1 n-2 1 sprich: n Fakultät Oder kurz: n n! i i1

23 Laplace ä p Permutationen mit Restriktion Sollen nur k der n Elemente angeordnet werden, gibt es Kolmogoroff N=n n1 n2 n-1 n-2 (n k+1) Reihenfolgen. Dies kann einfacher berechnet werden als N n! ( n k)!

24 Laplace ä p Kombination keine Beachtung der Reihenfolge Für die Anordnung von k Elementen aus einer Menge von n unterscheidbaren Elementen ohne Zurücklegen gab es Kolmogoroff N n! ( n k )! Reihenfolgen. Ohne Beachtung der Reihenfolge gibt es nur noch N ' N k! Möglichkeiten.

25 Laplace Kolmogoroff Kombination und der Binomialkoeffizient Für die Anordnung von k Elementen aus einer Menge von n unterscheidbaren Elementen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge ( Kombination ) gibt es also N n n!! k k!( n k)! Reihenfolgen. n (lies: n über k) heißt N k Binomialkoeffizient

26 Laplace Zusammenfassung Wiederholung Kolmogoroff Reihenfolge mit ohne wichtig n k n! egal n+k 1 k = (n+ k 1)! k!(n 1)! (n k)! n k = n! k!(n k)!

27 Methodenlehre e e Relevante Excel Funktionen Kombinatorik FAKULTÄT() KOMBINATIONEN()