K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 7. Übung SS 16: Woche vom

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1 Übungsaufgaben 7. Übung SS 16: Woche vom Stochastik I: Klassische Wkt.-Berechnung Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow vanselow/... (SS16).html Auch(dort): Aktuelle Hinweise zu Übungszusammenlegungen/ Raumveränderungen

2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung(= Stochastik) + später (am Schluß): Einführung in mathematische Statistik Zufallssituation: Komplex von Bedingungen, bei dessen Realisierung nicht voll vorhersagbare Ergebnisse eintreten können ( = Zufallsexperiment - s. Bärwolff) Elementarereignis: elementarer Versuchsausgang e (ω) (genau einer tritt ein) Menge aller elementaren Versuchsausgänge: sicheres Ereignis E (Ω, S) unmögliches Ereignis (U) Zufälliges Ereignis: (A, B) bei Realisierung der Zufallssituation auftretendes Ereigniss ( aus Elementarereign. zusammengesetzt ). Hauptziel: Berechnung der Wahrscheinlichkeit von zuf. Ereign.

3 Operationen mit zuf. Ereignissen I Summe zweier Ereignisse: A B Produkt zweier Ereignisse: A B Differenz zweier Ereignisse: A \ B Komplementäres Ereignis Ā := E \ A Mehrfache Summen und Produkte (endlich und(!) abzählbar unendlich) : A 1 A 2... A n = n i=1a i, B 1 B 2... B n... = n=1b n

4 Operationen mit zuf. Ereignissen II De Morgansche Regeln (auch mehrfach, einschließlich abzählbar unndlich vieler Mengen) A B = Ā B, A B = Ā B, k A k = k A k, k A k = k A k, Def. 13.3: (Teilereignis, gleichwertiges Ereignis) Seien A, B zufällige Ereignisse. Folgt aus dem Eintreten von A stets das Eintreten von B, dann heißt A Teilereignis von B; A B: A zieht B nach sich (A ist Teilereignis von B). Gilt A B und B A A = B (A und B sind gleichwertig).

5 Unvereinbarkeit, vollst. Ereignissystem Def. 13.5: Gilt k A k = für endlich oder abzählbar viele zufällige Ereignisse A 1, A 2,..., so nennt man A 1, A 2,... insgesamt unvereinbare Ereignisse oder insgesamt disjunkte Ereignisse. Die Ereignisse heißen paarweise unvereinbar oder paarweise disjunkt, wenn A i A j = für i j gilt. Def. 13.6: Sind A 1, A 2,..., A n zufällige Ereignisse (A k E), für die gilt a) A i A j = für i, j = 1, 2,..., n, i j b) n k=1 A k = E (sicheres Ereignis), dann nennt man (A 1, A 2,..., A n ) ein vollständiges System paarweise unvereinbarer Ereignisse.

6 Ereignisfeld, zufälliges Ereignis (Def. 13.4) Eine Menge Z von Teilmengen einer Menge E von Elementarereignissen heißt Ereignisfeld (oder Borelscher Mengenkörper), wenn gilt: a) E, Z (das sichere Ereignis E und das unmögliche Ereignis gehören zu Z) b) Gehören die Ereign. A, B zu Z, dann auch die Differenz A \ B: A, B Z A \ B Z. c) Gehören die Ereign. A 1, A 2,... zu Z (endlich oder abzählbar unendlich viele), dann auch die Summe und das Produkt: A 1, A 2,... Z k A k Z, k A k Z. Die Elemente von Z heißen zufällige Ereignisse.

7 Wahrscheinlichkeit: Axiome von Kolmogoroff Z sei ein Ereignisfeld. Jedem zufälligen Ereignis A Z lässt sich eine reelle Zahl P (A) so zuordnen, dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind: a) Für jedes A Z ist 0 P (A) 1 (Axiom I). b) Dem sicheren Ereignis E ist die Zahl 1 zugeordnet: P (E) = 1 (Axiom II). c) Es gilt das Additionsaxiom: Sind A 1, A 2,... paarweise unvereinbare Ereignisse aus Z, so gilt P ( k A k ) = k P (A k ) (Axiom III). Die Zahl P (A) heißt Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereign. A.

8 Folgerungen aus den Kolmog. Axiomen P ( )=0, da 1=P (E)=P (E Ē)=P (E)+P ( ), P (Ā)=1 P (A). n Monotonie: A B P (A) P (B) P ( n k=1a k ) P (A k ) ZUSATZ Das Additionstheorem (Axiom III) ist dem (sogenannten) Stetigkeitsaxiom äquivalent: k=1 Für Folge A 1, A 2,.. von zuf. Ereignissen sei jedes Ereignis Teilereignis des vorhergehenden (d.h., A i+1 A i, i = 1, 2,..), und diese Ereignisse sind insgesamt unvereinbar, d.h., i=1 A i =. Dann gilt: lim n P (A n) = 0.

9 Sind 2 Ereignisse unvereinbar, so P (A B) = P (A) + P (B) (Axiom III f. 2 Mengen), aber: Für beliebige 2 Ereignisse gilt nur : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A) + P (B) Formel für P (A B): A B wird durch paarweise unvereinbare Ereignisse dargestellt A B = (A \ B) (B \ A) (A B), P (A B) = P (A \ B) + P (B \ A) + P (A B). Offensichtlich gilt aber auch: P (A) = P (A \ B) + P (A B), P (B) = P (B \ A) + P (A B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)

10 Die 4 Grundaufgaben der Kombinatorik Generell: Auswahl von k Elementen aus einer Grundgesamtheit der Anzahl n Ohne Zurücklegen, ohne Beachtung ( ) der Reihenfolge n (ungeordnet - Kombination): Möglichkeiten k Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge (geordnet - n! Variation): (n k)! Möglichkeiten Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge: n k Möglichkeiten ( Mit Zurücklegen, ) ohne Beachtung der Reihenfolge: n + k 1 Möglichkeiten k

11 Grundformel der klass. Wkt-rechnung Klassische Wahrscheinlichkeit: Das Ereignisfeld sei aus endlich vielen Elementarereignissen zusammengesetzt. Falls die Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, dann P (A) = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Beispiele: Lotto ( 6 aus 49,... etc...); P ( Dreier ) = ( 43 ( 49 6 ) ) ( ) = , usw.,... Alle Karten- Würfel- und sonstigen Glücksspiele...