Ein Ereignis ist eine Menge von Elementarereignissen. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten zufälliger Ereignisse erfordert ein Modell.

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1 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 1 Grundbegriffe Zufallsexperiment unter gleichen Bedingungen wiederholbarer Vorgang (geplant, gesteuert, beobachtet oder auch nur gedanklich) Menge der möglichen Versuchsausgänge ist bekannt konkreter Ausgang ist ungewiss Das Ergebnis eines Zufallsexperiments nennt man (zufälliges) Elementarereignis, die Unsicherheit fasst man mit dem Begriff Wahrscheinlichkeit. Ein Ereignis ist eine Menge von Elementarereignissen. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten zufälliger Ereignisse erfordert ein Modell. Ein Modell enthält folgende Aspekte 1. die möglichen Versuchsausgänge 2. die möglichen Fragestellungen, formuliert über Ereignisse 3. die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten

2 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 2 Grundbegriffe Diesen Aspekten entsprechen folgende Bausteine des gesuchten mathematischen Modells: Grundraum/ Merkmalsraum/ Ereignisraum Ω Ereignis Ereignissystem Wahrscheinlichkeit P Menge aller möglichen Versuchsausgänge / Elementarereignisse Teilmenge von Ω Menge der beobachtbaren Ereignisse Teilmengen von Ω mit bestimmten Eigenschaften Wahrscheinlichkeiten der beobachtbaren Ereignisse

3 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 3 Merkmalsraum Man sagt, das Ereignis A tritt ein, wenn ein Wert als Versuchsausgang beobachtet wird, der zu A gehört. Beispiel 1 Nach dem Wählen einer Telefonnummer erhält man als Ergebnis 'belegt' oder 'frei'. Kodiert man 'frei' mit 1, 'belegt' mit 0, sind die möglichen Elementarereignisse 0, 1. 0,1 Beispiel 2 Energiesparlampen einer bestimmten Preisklasse sollten eine Mindestbrenndauer von 6000 Stunden als Normwert haben. Für dieses Kriterium interessieren also vordergründig die Ereignisse N: Norm erfüllt A: Norm nicht erfüllt Messergebnis 2500: Ereignis A eingetreten N enthält alle Brenndauern ab 6000 h. A enthält alle Brenndauern unter 6000 h.

4 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 4 Ereignisse Besondere Ereignisse A = unmögliches Ereignis, weil nie eintritt A = sicheres Ereignis, da immer eintritt A = {} nennt man Elementarereignis, Definition Die Gesamtheit aller Teilmengen von nennt man Potenzmenge von. Die Potenzmenge enthält mit jeder Menge auch ihre Komplementärmenge sowie für zwei beliebige Mengen A, B auch ihre Vereinigung. Beispiel 3 = {0, 1}, dann ist die Potenzmenge () = {{0}, {1},{0,1}, } Bei endlichen Ergebnismengen ist das Ereignissystem in vielen Fällen die Potenzmenge, = ().

5 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 5 Ereignisse Nicht jede Teilmenge von muss ein sinnvolles Ereignis sein. Dann kann das Ereignissystem auch kleiner als die Potenzmenge von gewählt werden. Ein Ereignissystem muss bestimmten Forderungen genügen, um geeignet für eine Modellierung zu sein. Ein System von Teilmengen von heißt abgeschlossenes Mengensystem bzw. -Algebra, wenn gilt A A A1, A2,... A i1 i Ist eine endliche Menge, kann die letzte Forderung auf n Mengen beschränkt werden. Oft ist die Potenzmenge das kleinste Ereignissystem, das alle diese Eigenschaften besitzt. 3.1

6 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 6 Verknüpfungen von Ereignissen - Mengenoperationen Das Verknüpfen von Ereignissen entspricht den Operationen mit Mengen. Ereignis A B (Vereinigung) tritt ein, wenn mindestens eins der Ereignisse A, B eintritt, logisch AB Ereignis A B (Durchschnitt) tritt ein, wenn beide Ereignisse A, B eintreten, logisch AB Ereignis A \ B (Differenz) tritt ein, wenn A eintritt, B nicht eintritt.

7 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 7 Verknüpfungen von Ereignissen - Mengenoperationen Komplementärereignis A tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt. Zwei Ereignisse A, B heißen unvereinbar oder disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elementarereignisse besitzen, A B =. Ereignis A zieht Ereignis B nach sich, wenn A B gilt.

8 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 8 Rechenregeln für Mengenverknüpfungen Es gelten folgende Gesetze: Kommutativität: A B B A, A B B A Assoziativität: Distributivität: ( A B) C A ( B C) ( A B) C A ( B C) A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) Regeln von de Morgan A B A B A B A B 3.2

9 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 9 Ereignissysteme Für unendliche Mengen, insbesondere für = R ist die Potenzmenge ungeeignet, da sie zu viele Mengen enthält. Man wählt hier ein Mengensystem, das alle halboffenen Intervalle enthält und die Abgeschlossenheitseigenschaften bezüglich Komplementbildung und Vereinigung besitzt. Dieses System heißt Borel--Algebra. Es enthält alle in der Praxis vorkommenden Mengen, insbesondere auch alle Einpunktmengen, alle offenen und abgeschlossenen endlichen Intervalle und auch alle Intervalle der Form (, a) bzw. ( b, ).

10 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 10 Wahrscheinlichkeitsbegriffe 'Unsicherheit' von Ereignissen misst man, indem man den Ereignissen sinnvoll eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Beispiel 4 Ein Versicherungsunternehmen kalkuliert z.b. seine Kfz-Prämien für bestimmte Zielgruppen auf der Basis folgender Art von Angaben: Die Wahrscheinlichkeit, dass pro Quartal in einer bestimmten Gruppe mehr als 100 Unfälle gemeldet werden, ist höchstens 10%. Solche Aussagen beruhen auf der Analyse des Schadensverlaufs in der Vergangenheit. Die beobachtete relative Unfallhäufigkeit wird als (geschätztes) Maß für die Wahrscheinlichkeit künftiger Unfallwahrscheinlichkeit genommen.

11 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 11 Experimentelle Wahrscheinlichkeit Empirisches Gesetz der großen Zahlen Wird ein Zufallsexperiment zur Beobachtung eines Ereignisses A n-mal unter gleichen Bedingungen wiederholt, dann stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten 1 h ( n A ) ( Anzahl des Auftretens von A) für n n Es gilt h n (A) P(A). Dieser experimentelle Zugang zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten liefert 'nur' Schätzwerte (im Experiment ist n stets endlich). Bezeichnung: Experimentelle/ statistische Wahrscheinlichkeit Nachteil: die Folge der h n stabilisiert sich nicht immer zu einem Grenzwert

12 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 12 Experimentelle Wahrscheinlichkeit Empirisches Gesetz der großen Zahlen n= n=100 Simulation des Würfelns mit verschiedenen Anzahlen n von Wiederholungen und Häufigkeitsauszählung n= n=

13 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 13 Wahrscheinlichkeitsbegriffe Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Laplace (Laplace: ) Experimentelle (statistische) Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Kolmogoroff (Kolmogoroff: )

14 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 14 Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Laplace Voraussetzungen: nur endlich viele Elementarereignisse alle mit gleicher Chance (z.b. idealer Würfel) Definition Laplace - Wahrscheinlichkeit für Eintreten des Ereignisses A PA ( ) Anzahl der Elementarereignisse von Anzahl der Elementarereignisse von A A Wahrscheinlichkeiten nach Laplace können somit durch Auszählen der Elementarereignisse berechnet werden. Für komplizierte Sachverhalte braucht man kombinatorische Formeln. 3.3

15 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 15 Kombinatorische Formeln (Auswahl) Zählprinzip Menge M enthalte m verschiedene, Menge N enthalte n verschiedene Elemente. Dann enthält M N genau m n verschiedene Elemente. Permutationen ohne Wiederholung Für n verschiedene Objekte gibt es genau n! Möglichkeiten der Anordnung, wenn jedes Element verwendet werden muss. Kombinationen ohne Wiederholung Aus einer n-elementigen Menge verschiedener Objekte werden k ausgewählt ohne Wiederholung ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Man erhält für die Anzahl solcher k - elementigen Teilmengen genau n n! k k!( n k)! Möglichkeiten.

16 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 16 Geometrische Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Nicht immer liegen nur endlich viele Elementarereignisse vor. Beispiel 5 Gesucht ist Wahrscheinlichkeit, auf einer kreisförmigen Schießscheibe zufällig ins Schwarze zu treffen. Voraussetzung ist, dass die Scheibe überhaupt getroffen wird. Die Scheibe bestehe aus 10 konzentrischen Kreisen mit gleichem Zuwachs r der Radien, die kleinste davon ist ein schwarzer Kreis. Die Ergebnismenge ist hier die Menge aller Punkte der Scheibe, also überabzählbar unendlich, damit ist ein Auszählen von Ereignissen nicht möglich. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit nach Laplace funktioniert also nicht. Ausweg: Man setzt die Fläche A des gesuchten Ereignisses ins Verhältnis zur Fläche der Ergebnismenge und erhält 2 2 Fläche A r, Gesamtfläche G (10 r) 2 A r 1 PA ( ) 2 G 100r 100

17 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 17 Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff Die folgenden Axiome gehen zurück auf Kolmogorov. Sie sind verträglich mit der Laplace- und der statistischen Wahrscheinlichkeit, und sie gelten auch bei Modellen mit unendlich vielen Versuchsausgängen. Axiom 1 Jedem zufälligen Ereignis A ist eine Zahl P(A) zugeordnet mit 0 PA ( ) 1, die man Wahrscheinlichkeit von A nennt. Axiom 2 Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1. P( ) 1 Axiom 3 Für disjunkte Ereignisse A A P( A A ) P( A ) P( A ) gilt Bei einer unendlichen Ergebnismenge ist Axiom 3 auf unendlich viele paarweise disjunkte Mengen zu erweitern: P Ai P( Ai) i1 i1

18 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 18 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Rechengesetze Sicheres Ereignis P( ) 1 Unmögliches Ereignis Ø P( ) 0 Monotonie A B P( A) P( B) Additionssatz P( A B) P( A) P( B) P( A B) Spezialfall: disjunkte Ereignisse P( A B) P( A) P( B), falls A B Spezialfall: Ω diskret P( A) P( ) A Komplementäres Ereignis P( A) 1 P( A) Differenz P( A \ B) P( A) P( A B) 3.4

19 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 19 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Beispiel 6 Lostrommel enthalte 500 Lose, davon seien 200 weiß, die restlichen 300 blau. Unter den weißen Losen seien 10 Gewinne, unter den blauen seien 20 Gewinne. Welche Losfarbe würden Sie nach dieser Kenntnis ziehen? W: zufällig gezogenes Los weiß B: zufällig gezogenes Los blau G: zufällig gezogenes Los ist ein Gewinn P(W) = 200/500=0.4 P(B) = 300/500=0.6 P(G) = 30/500=0.06 G W : Los ist weiß und ein Gewinn G B : Los ist blau und ein Gewinn P(G W) = 10/500 = 0.02, P(G B) = 20/500 = 0.04 Gewinnchance ohne Farbinfo

20 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 20 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Gewinnchance mit Farbinfo Gewinnchance unter weiß Gewinnchance unter blau 10 10/500 P( G W ) /500 PW ( ) 20 20/500 P( G B) /500 PB ( ) Zieht man ein blaues Los, erhöht sich die Gewinnchance von 0.06 auf Die Gewinnchance unter der Bedingung der Farbinfo bedeutet eine Einschränkung des Lostopfes auf die Teilmenge der Lose mit entsprechender Farbe Allgemein bedeutet eine bedingte Wahrscheinlichkeit die Einschränkung der Grundgesamtheit auf die Teilmenge, die die Bedingung definiert.

21 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 21 Bedingte Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung B P( A B) P( A/ B) PB ( ) Dabei ist A, B und P( B) 0 Interpretation Die Berechnung einer bedingten Wahrscheinlichkeit bedeutet die Einschränkung der gesamten Ergebnismenge Ω auf die durch die Bedingung definierte Teilmenge B. Gewinnchance unter der Bedingung blau : Gewinnchance unter Bedingung weiß P( G B) P( G / B) 0.06 PB ( ) P( G W ) P( G / W ) 0.05 PW ( )

22 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 22 Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel 7 Eine Fußballmanschaft spielt mit 2 Stürmern A und B. Von Stürmer A kommen 50% aller Schüsse auf das Tor, er trifft dabei mit Wahrscheinlichkeit 70%. Von Stürmer B kommen 40% aller Schüsse auf das Tor, er trifft dabei mit Wahrscheinlichkeit 80%. Die restlichen Spieler R haben eine Trefferwahrscheinlichkeit von 30%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Schuss auf das Tor erfolgreich? Ergebnismenge Ω : alle Schüsse auf das Tor Ereignis T : Schüsse auf das Tor, die ein Treffer sind Ereignisse A, B, R: Schüsse auf das Tor von Stürmer A, B bzw. vom Rest P(A) = 0.5 P(B) = 0.4 P(R) = 0.1 P(T/A) = 0.7 Trefferwkt. von A P(T/B) = 0.8 Trefferwkt. von B P(T/R) = 0.3 Trefferwkt. von R

23 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 23 Bedingte Wahrscheinlichkeit Zu Beispiel 7 P(A) = 0.5 P(T/A) = 0.7 P(B) = 0.4 P(T/B) = 0.8 P(R) = 0.1 P(T/R) = 0.3 T : Schüsse auf das Tor, die ein Treffer sind T ( T A) ( T B) ( T R) P( T) P( T A) P( T B) P( T R) P( T) P( T / A) P( A) P( T / B) P( B) P( T / R) P( R) PT ( ) nach Definition P( T A) P( T / A) PA ( ) P( T A) P( T / A) P( A)

24 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 24 Totale Wahrscheinlichkeit Die Formel des Beispiels kann auf eine Zerlegung von Ω in n disjunkte Mengen verallgemeinert werden. Satz der totalen Wahrscheinlichkeit B1 B2... Bn, alle Bk seien paarweise disjunkt Dann gilt n P( A) P( A/ B ) P( B ) k1 k k Bedeutung des Satzes Das Ereignis A kann zunächst in Subpopulationen beobachtet werden, der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ermöglicht daraus die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Gesamtpopulation. Es erfolgt dabei eine Wichtung der Subpopulationswahrscheinlichkeiten mit dem Anteil der Subpopulation.

25 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 25 Totale Wahrscheinlichkeit Alternativ: Berechnung mit Pfaddiagramm Aufbau eines Pfaddiagramms Wahrscheinlichkeiten nach einem Knoten summieren sich stets zu 1. Pfad symbolisiert den Durchschnitt der Ereignisse, die er durchläuft. Pfadwahrscheinlichkeit = Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfads, z.b. P( A) P( T / A) P( AT) Wahrscheinlichkeit eines Endereignisses = Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten zu diesem Endereignis, z.b. P( T) P( T / A) P( A) P( T / B) P( B) P( T / C) P( C)

26 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 26 Bedingte Wahrscheinlichkeit Rechnen im Pfaddiagramm P( T / A) P( T A) PA ( ) P( T A) P( T / A) P( A) Pfadwahrscheinlichkeit nach T über A Wahrscheinlichkeit des Endereignisses T = Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten zu diesem Endereignis P( T) P( T / A) P( A) P( T / B) P( B) P( T / R) P( R) PT ( )

27 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 27 Bayessche Formel Noch einmal Beispiel 7 Veränderte Fragestellung: Ein Tor wurde erzielt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kam der Schuss von Stürmer B? Bisher schränkte die Bedingung die Grundgesamtheit auf den Schützen ein, Ereignis war der Torerfolg. Jetzt schränkt die Bedingung die Grundgesamtheit auf die Schüsse mit Torerfolg ein. Das vorher betrachtete Ereignis T ist also jetzt Bedingung geworden. Ereignisse sind nun die Schüsse von A, B, C mit Torerfolg. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist nun P(B/T).

28 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 28 Bayessche Formel Zu Beispiel 7 Einschränkung auf Ereignis T : Schüsse auf das Tor, die ein Treffer sind P( B T) P( T B) P( T B) P( B / T) P( T) P( T) P( T A) P( T B) P( T R) P( T / B) P( B) P( B / T) P( T / A) P( A) P( T / B) P( B) P( T / R) P( R) P( B / T) P( T B) P( T / B) P( B)

29 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 29 Bayessche Formel Satz (Bayessche Formel) B1 B2... Bn, alle Bk seien paarweise disjunkt Dann gilt P( B / A) i P( A/ Bi ) P( Bi ) P( A/ Bi ) P( Bi ) n PA ( ) P( A/ B ) P( B ) i1 i Bedeutung des Satzes Es erfolgt in gewissem Sinn die Umkehr von Ursache-Wirkungs-Beziehungen. Man kennt die Wahrscheinlichkeit P(Wirkung/Ursache), mit der eine Ursache eine bestimmte Wirkung nach sich zieht. Oft ist fragt man bei Vorliegen einer Wirkung, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Ursache vorgelegen hat, d.h. man sucht P(Ursache/Wirkung). So wird in der Medizin oft aufgrund einer Wirkung (Testergebnis, Befund) auf das Vorhandensein einer Krankheit geschlossen. i

30 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 30 Bayessche Formel Berechnung nach Bayes mit Pfaddiagramm P( T / B) P( B) P( B / T ) PT ( ) P( T / B) P( B) P( T / A) P( A) P( T / B) P( B) P( T / R) P( R) P(B/T) erhält man, indem man das Verhältnis der Pfadwahrscheinlichkeit des Pfades nach T über B zur Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten nach T berechnet.

31 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 31 Unabhängigkeit von Ereignissen A, B sind unabhängig, wenn P( A/ B) P( A/ B) P( A) Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist P( A B) P( A/ B), somit muss gelten P( A) P( B) P( A B) PB ( ) Definition A, B sind paarweise stochastisch unabhängig, wenn gilt P( A B) P( A) P( B) A 1,,A n sind total unabhängig, wenn für alle k n und A n1, A nk gilt P( A... A ) P( A ) P( A ) n1 nk n1 nk Multiplikationssatz P( A B) P( A/ B) P( B) P( A B) P( A) P( B), falls A, B unabhängig 3.5

32 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J.Puhl FB GW Wkt.1 32 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeit P( A B) P( A/ B) PB ( ) Unabhängigkeit P( A/ B) P( A) P( A B) P( A/ B) P( B) Multiplikationssatz Satz der totalen Wahrscheinlichkeit B1 B2... B n, paarweise disjunkt Bayessche Formel B1 B2... B n, paarweise disjunkt, falls P(B)>0 P( A B) P( A) P( B) falls A, B unabhängig n P( A) P( A/ B ) P( B ) k 1 P( B / A) i n k 1 k P( A/ B ) P( B ) i P( A/ B ) P( B ) k k i k 3.6