Berechnung von Wahrscheinlichk.

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1 Berechnung von Wahrscheinlichk. a) Statistische (empirische) Methode - über relative Häufigkeit (s. Statistik) Exotische Anwendung : Identifikation nichtidealer Roulette-Tische in Spielcasinos b) Falls: Menge der Elementarereignisse endlich ( E < ) und alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich: P (e i ) = P (e j ), i, j (Laplacesches Zufallsexp.), dann Z = P(E) Anzahl der für A günstigen EE und P (A) = Anzahl aller EE Für Berechnung von E Anwendung der Grundaufgaben der Kombinatorik : k aus n - s. z.b. web-page matheprisma.uni-wuppertal.de/module/kombin Mit Wdhlg. mit Beachtung der Reihenf.: n k Mit Wdhlg. ohne Beachtg. d. Reihenf.: ( n+k 1 ohne Wdhlg. mit Beachtg. d. Reihenf.: k n! (n k)! ) ohne Wdhlg. ohne Beachtg. d. Reihenf.: ( n k Für Berechnung von A : Zusammensetzen Besonders: Glücksspiel (Würfel; Karten; etc.) )

2 Beispiel 6: (mindestens) 5er bei 6 aus 49 A = ( ( ( ) ( ) 6 6) + 6 5) 43 1 = 259, E = 49 6 = , P (A) = 0, Zu Bsp. 1: idealer Würfel P (e i )= 1 6 Die Wkt.en aller 2 6 = 64 denkbaren Ereignisse ergeben sich sofort durch Auszählen ( nicht sehr spannend ) Für 2 unterscheidbare Würfel ( mit + mit ; k = 2, n = 6 E = 6 2 ) sind die EE (e 11 = {1, 1},..) gleichwahrscheinlich P (e ij ) = 1 (insgesamt 2 36 zuf. Ereign.) 36 Für 2 nicht unterscheidbare Würfel ist dies nicht erfüllt ( mit + ohne ; E = ( ) 7 2 = 21): ẽ 54 = {e 54, e 45 } P (ẽ 54 ) = 1 18, P (ẽ 11) = 1 36 c) Zufallssituationen mit abzählbar unendlich vielen EE (Beispiel 3): Z = P(E) bleibt, aber gleichwahrscheinlich nicht möglich. Dennoch: E = {e n } n=1, p n [0, 1], mit n=1 p n = 1

3 P (e n ) = p n, P (A) = k:e k A p k ( A E mögl.!) d)bei Identifikation von E, A mit geometrischen Gebilden (Längen, Flächen, Volumina,..; EE = Punkte - überabzählbar): P (A) = m(a ) m(e ), A = A, E = E Elementarereign.( Punkte ) haben dabei (sinnvollerweise!) die Wkt. 0 (Inhaltsmaß: m(e ) = 0) (auch für Mengen mit endlich oder abzählbar unendlich vielen Punkten). Nur umfassendere Ereignisse haben eine echt positive Wkt. > 0. Beispiel 4: P (A) = 1 (2/3)2 1 = 5 9 Problem (z.b.) bei geometr. Wkt. - wenn insbesondere das Axiom III gelten soll: Nicht alle Teilmengen sind messbar, nicht alle Teilmengen von E besitzen Wkt. P (A) nicht alle Teilmengen A von E sind zufällige Ereignisse, bzw.: nicht alle TM gehören zu Z)! Aber: Alle wichtigen ( vernünftigen ) Mengen bleiben meßbar (können als zuf. Ereignis interpretiert werden).

4 Bedingte Wahrscheinlichkeit Def. 13.7: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein Ereignis A mit P (A) > 0 bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung A und wird mit P (B A) bezeichnet. Wichtig (sinnvoll): Bedingte Wkt.en werden nur für P (A) > 0 betrachtet. Beispiel 7: 3 Urnen mit Kugeln (rot/weiß) U1 : 3 weiß, 2 rot, U2 : 2 w, 8 r, U3 : 8 r, B: gezogene Kugel weiß, A i : Kugel aus Urne i P (B A 1 ) = 3 5, P (B A 2) = 1 5, P (B A 3) = 0 Multiplikationstheorem der WR: Es gilt P (A B) = P (A B)P (B) = P (B A)P (A), für alle Ereignisse mit P (A) > 0, P (B) > 0. Oder: P (A B) = P (A B) P (B), P (B A) = P (A B) P (A) Äquivalent zu Def.13.7 (auch Definition )

5 Rechenregeln für bedingte Wkt.: P (A C) = 1 P (Ā C), P (C C) = 1 P (A B C) = P (A C) + P (B C) P (A B C) Unabhängigkeit von Ereignissen Def. 13.8: Ein zufälliges Ereignis A heißt vom zufälligen Ereignis B unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A unabhängig davon ist, ob B eingetreten ist oder nicht, d.h. P (A B) = P (A). Folgerungen: a) aus Multiplikationstheorem P (A B)=P (A)P (B)=P (B A)P (A) P (B A)=P (B) Ist A von B unabhängig, so auch B von A. b) Sind A, B unabhängig, so auch die Paare (A, B), (Ā, B), (Ā, B) Unabhängigkeit in Mengensystemen (> 2) Def. 13.9: Die n zufälligen Ereignisse A 1, A 2,..., A n heißen insgesamt unabhängig, wenn für jedes m-tupel (i 1, i 2,..., i m ) von natürlichen Zahlen mit 1 i 1 < i 2 <... < i m n gilt: P (A i1 A i2... A im ) = P (A i1 )P (A i2 )... P (A im ).

6 Sie heißen paarweise unabhängig, wenn für jedes Indexpaar (i, j) mit 1 i, j n, i j die Ereignisse A i und A j unabhängig sind, also wenn gilt P (A i A j ) = P (A i )P (A j ). Konsequenz: P ( n A k ) = n P (A k ). Insgesamt unabhängige Ereignisse sind auch paarweise unabhängig (nicht umgekehrt). Achtung(!!): Begriffe Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit (von Ereignissen) immer klar unterscheiden (und Konsequenz für Wkt.-berechng. beachten!): A, B unvereinbar P (A B) = 0, P (A B) = P (A)+P (B) Aber(!): A, B unabhängig P (A B) = P (A)P (B), und P (A B) = P (A) + P (B) P (A)P (B)

7 Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Sei (A 1, A 2,..., A n ) ein vollständiges System paarweise unvereinbarer Ereignisse (s. Def.13.6). Dann gilt für ein beliebiges zuf. Ereignis B B = n (B A k ) P (B) = n P (B A k ) P (B) = n P (B A k )P (A k ) mit Multipl.-theor. Das ist die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Beispiel 7 (Fortsetzg.) B - gezog. Kugel weiß P (B) = = 4 15, P ( B) = 11 15

8 ZUSATZ Anwendung Unabhängigk.: Zuverlässigkeitstheorie ( Schaltalgebren; logische Verknüpfung von Ereign.) P (A i ) = p i, i = 1, 2 Reihensch.: A 1 A 2 ( A3... A n ) Parallelsch.: A 1 A 2 ( A3... A n ) Grundformeln : P (A 1 A 2 ) = p 1 p 2, P (A 1 A 2 ) = p 1 +p 2 p 1 p 2 Beliebig kombinierbar (Komplex-Schaltg.) Beweis Formel für bedingte Wkt P (A B C) P (A B C) = P ( (A C) (B C ) P (C) = = P (A C) + P (B C) P (A B C) P (C) P (A B C) = P (A C) + P (B C) P (A B C)