Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie

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1 Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie SS Sitzung vom Wahrscheinlichkeitstheorie in den Sozialwissenschaften: Stichprobenziehung: Aussagen über Stichprobenzusammensetzung möglich Generalisierung von Stichprobendaten und -kennwerten auf die Population

2 Statistische Modelle Ermöglichen Prognosen über unsichere Ereignisse Statistische Modelle werden formuliert, indem Vorwissen und Annahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie kombiniert werden z.b.: Vorwissen: Münze hat zwei Seiten Annahme: Die Münze ist fair, d.h. Kopf und Zahl sind auf lange Sicht gleichverteilt Zufallsexperimente Definition Zufallsexperiment: Handlung oder Situtation deren Resultat unsicher ist Formaler: Handlung oder Situation, die (theoretisch) unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederhohlbar ist, deren Resultat genau eine von mehreren möglichen Ereignissen des Ereignisraums ist, deren Resultat vor dem Auftreten des Ereignisses unbekannt ist

3 Ereignisse Definition Ereignis: Resultat eines Zufallsexperiment Elementarereignisse sind Ereignisse die nicht mehr in Teilereignisse zerlegt werden können Komplexe Ereignisse können in mehrere Elementarereignisse zerlegt werden (z.b. 2-maliges Werfen einer Münze) Ereignisraum Definition Ereignisraum ( ): Gesamtheit aller bei einem Zufallsexperiment möglichen Ereignisse

4 Disjunkte und Komplementäre Ereignisse Definition Disjunkte Ereignisse: Mehrere Ereignisse, die sich gegenseitig ausschließen Definition Komplementäre Ereignisse: Der Ereignisraum (Ereignisuniversum) setzt sich aus dem realisierten Ereignis A und den nicht realisierten Ereignissen nicht-a ( A) zusammen. A bildet hier das Komplementärereigniss. Verknüpfung von Ereignissen Verknüpfung (Vereinigung): Verknüpft elementare Ereignisse zum komplexen Ereigniss Ergibt die Vereinigungsmenge, die aus den verknüpften Ereignissen besteht Nach dem Logischen Oprerator auch oder Verknüpfung genannt Beispiel: A A = Wobei: = vereinigt mit (oder/und) (A A ) = Menge, die A und non-a umfasst = Menge aller möglichen Ereignisse

5 Überschneidung von Ereignissen Überschneidung: Bildung der Schnittmenge mehrerer Ereignisse Dargestellt durch den Logischen Operator ( und ) Beispiel A A = wobei: (A A) = Menge die gleichzeitig A und non-a umfasst = gleichzeitiges und (sowohl als auch) = Leere Menge Wahrscheinlichkeiten und die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie Basis der Statistischen Modellierung: Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten P(A) zu Ereignissen P des Ereignisraumes Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ereignisses A liegt zwischen 0 und 1 0 P(A) 1 Die Wahrscheinlichkeit des Universums (d.h. der Summe der Ereigniswahrscheinlichkeiten ist 1 P( ) = 1

6 Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie Die Vereinigung eines Ereignisses mit seinem Komplementärereignis ergibt das Universum, dessen Wahrscheinlichkeit 1 ist. P(A A) = P( ) = 1 Die Wahrscheinlichkeit eines Komplementärereignisses ist die Wahrscheinlichkeit des Universums minus der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P( A) = 1 P(A) Die Wahrscheinlichkeit der Zusammenfassung zweier Erignisse ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten, wenn die Summe überschneidungsfrei, d.h. A B = ist P(A B) = P(A) + P(B) Wahrscheinlichkeiten Komplexer Ereignisse Additionstheorem Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Auftretens mindestens eines nicht-disjunkten Ereignisses P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) wobei P(A B) = Überschneidungsmenge von A und B (Spezialfall P=0 wenn A und B disjunkt)

7 Wahrscheinlichkeiten Komplexer Ereignisse Bedingte Wahrscheinlichkeiten Änderung der Auftretenswahrscheinlichkeit von B bei vorherigem Auftreten von A (A und B stochastisch unabhängig wenn P(B A) = P(B) ) P(B A) = P(A B) / P(A) wobei P(B A) = Bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben A (A und B stochastisch unabhängig wenn P(B A) = P(B) ) Wahrscheinlichkeiten Komplexer Ereignisse Das Multiplikationstheorem Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame (sowohl/als auch) Auftreten zweier Ereignisse P(A B) = P(B A) * P(A)

8 Wahrscheinlichkeiten Komplexer Ereignisse Das Bayessche Theorem Ziel Berechnung unbekannter Bedingter Wahrscheinlichkeiten aus den Elementarwahrscheinlichkeiten und der inversen bedingten Wahrscheinlichkeit

9 Das Bayessche Theorem: Herleitung Das Bayessche Theorem

10 Das Bayessche Theorem Beispiel Apriori- und A-posterori-Definition von Wahrscheinlichkeit Bis jetzt haben wir nur die sog. Apriori-Definition von Wahrscheinlichkeit verwendet, d.h. wir haben die Größe des Ereignisraums bestimmt und für die Elementarereignisse eine Gleichverteilung der Ereigniswahrscheinlichkeit angenommen Aber, ist die Gleichverteilungsannahme nicht korrekt, zum Beispiel der Würfel gezinkt, werden sich empirisch andere (Häufigkeits)Verteilungen ergeben. Der Schluß von diesen empirischen Häufigkeitsverteilungen auf Auftretenswahrscheinlichkeiten wird A-posterori-Definition der Wahrscheinlichkeit genannt

11 Das (schwache) Gesetz der Großen Zahl Angenommen wir wiederholen ein Zufallsexperiment beliebig oft, so nähert sich die Empirische Häufigkeitsverteilung immer mehr der geforderten Wahrscheinlichkeitsverteilung im einfachen Zufallsexperiment an. Wahrscheinlichkeiten als Grenzwerte relativer Häufigkeiten Implikation der Gesetzes der großen Zahl: Wahrscheinlichkeiten können als Grenzwerte relativer Häufigkeiten aufgefasst werden Sog. A-posterori-Definition der Wahrscheinlichkeit