7.2 Theoretische Kennwerte
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- Manuela Gerber
- vor 6 Jahren
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1 7.2 Theoretische Kennwerte Theoretische Varianz und Standardabweichung Definition und Notation Verschiebungsformel für die theoretische Varianz 391
2 7.2 Theoretische Kennwerte Interpretation der theoretischen Varianz Berechnung Die Berechnung der Varianz einer Zufallsvariable X entspricht der Berechnung des Erwartungswertes der Funktion g(x) mit 392
3 7.2 Theoretische Kennwerte Spezialfall: Varianzen von Summen Beachte: 393
4 7.2 Theoretische Kennwerte Beispiel D1-a fortgesetzt X... Anzahl mitreisender Kinder bei Pauschalreisen 394
5 7.2 Theoretische Kennwerte Beispiel S1-a fortgesetzt X... Höhe eines Trinkgelds 395
6 7.2 Theoretische Kennwerte Beispiel D2-b fortgesetzt Ein Würfel wird zwei Mal geworfen... Betrachte die Augensumme Für den einmaligen Würfelwurf gilt (vgl. Beispiel D1-c, S. 377): Daraus folgt für die Augensumme: 396
7 7.2 Theoretische Kennwerte Beispiel S2-b fortgesetzt Seien X und Y gemeinsam stetig verteilt gemäß der Dichtefunktion Betrachte die Summe Laut Beispiel S1-c (S. 380) gilt: Daraus folgt für die Summe: 397
8 7.2 Theoretische Kennwerte Theoretische Quantile und theoretischer Median Definition 398
9 7.2 Theoretische Kennwerte Interpretation der theoretischen Quantile 399
10 7.2 Theoretische Kennwerte Berechnung Bei streng monotoner Verteilungsfunktion 400
11 7.2 Theoretische Kennwerte Beispiel S1-a fortgesetzt X... Höhe eines Trinkgelds z. B. Berechnung des Medians und des 0.8-Quantils: 401
12 7.2 Theoretische Kennwerte Beispiel S1-b fortgesetzt Y... Wartezeit bis zum nächsten Notruf an einem Rettungswagen-Stützpunkt Berechnung eines Quantils: z. B. Berechnung des Medians und des 0.8-Quantils: 402
13 7.2 Theoretische Kennwerte Kennwerte in Bezug auf Abhängigkeiten Bedingte Erwartungswerte und Varianzen Definition 403
14 7.2 Theoretische Kennwerte Interpretation bedingter Erwartungswerte und Varianzen Empirische Entsprechung: Gruppenmittelwerte und Gruppenvarianzen für gruppierte Daten Berechnung und Rechenregeln Gleiche Rechenregeln wie für gewöhnliche Erwartungswerte und Varianzen, nur etwas mehr Schreibaufwand
15 7.2 Theoretische Kennwerte Bedingte Kennwerte bei Unabhängigkeit Beispiel D2-a fortgesetzt 405
16 7.2 Theoretische Kennwerte 406
17 7.2 Theoretische Kennwerte Beispiel D2-b fortgesetzt 2 Mal Würfel werfen... Es gilt: Wegen folgt 407
18 7.2 Theoretische Kennwerte Beispiel S2-a fortgesetzt Es gilt: Daraus folgt Speziell folgt daraus z. B. 408
19 7.2 Theoretische Kennwerte Weiter folgen mit z. B. die Resultate Beispiel S2-b fortgesetzt Es gilt: 409
20 7.2 Theoretische Kennwerte Mit folgt daraus Bedingter Erwartungswert als Zufallsvariable Beispiel D2-a fortgesetzt Beispiel D2-b fortgesetzt 410
21 7.2 Theoretische Kennwerte Beispiel S2-a fortgesetzt Beispiel S2-b fortgesetzt 411
22 7.2 Theoretische Kennwerte Iterierte Erwartungswertbildung 412
23 7.2 Theoretische Kennwerte Interpretation Empirische Entsprechung: Berechnung des Gesamtmittels bei Vorgabe von Gruppenmittelwerten bzw. Berechnung der Gesamtstreuung bei Vorgaben von Gruppenvarianzen (Streuungszerlegungsformel) Beispiel D2-a fortgesetzt Mit folgt 413
24 7.2 Theoretische Kennwerte 414
25 7.2 Theoretische Kennwerte Theoretische Kovarianz und Korrelation Definition und Notation 415
26 7.2 Theoretische Kennwerte Verschiebungsformel für die theoretische Kovarianz Interpretation von theoretischer Kovarianz und Korrelation 416
27 7.2 Theoretische Kennwerte Abhängigkeit und Korrelation Beispiel D2-c 417
28 7.2 Theoretische Kennwerte 418
29 7.2 Theoretische Kennwerte 419
30 7.2 Theoretische Kennwerte Beispiel D2-d 420
31 7.2 Theoretische Kennwerte Beispiel S2-a fortgesetzt 421
32 7.2 Theoretische Kennwerte
33 7.2 Theoretische Kennwerte 11 1/
34 7.2 Theoretische Kennwerte Theoretische Regressionskoeffizienten Definition und Notation 424
35 7.2 Theoretische Kennwerte Interpretationen Beispiel D2-c fortgesetzt 425
36 7.2 Theoretische Kennwerte Beispiel D2-d fortgesetzt Beispiel S2-a fortgesetzt x
37 7.2 Theoretische Kennwerte Spezifische Eigenschaften theoretischer Kennwerte Minimumeigenschaften von Lagekennwerten Minimumeigenschaft des Erwartungswertes Minimumeigenschaft des Medians 427
38 7.2 Theoretische Kennwerte Wichtige Transformationseigenschaften Transformationseigenschaften des Erwartungswertes Transformationseigenschaften der theoretischen Varianz Transformationseigenschaften der theoretischen Quantile Transformationseigenschaften von theoretischer Kovarianz und Korrelation Betrachte Dann gilt: 428
39 7.2 Theoretische Kennwerte 429
40 7.2 Theoretische Kennwerte Erwartungswert und Varianz nach Standardisierung 430
41 7.2 Theoretische Kennwerte Endliche und nicht endliche theoretische Momente Momente Endlichkeit theoretischer Momente Momenterzeugende Funktionen Implikation und Deutung nicht endlicher Momente Beispiel S1-d Beispiel S1-e Weitere Beispiele 431
42 7.2 Theoretische Kennwerte 432
43 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Spezielle diskrete Verteilungen Elementare Kombinatorik Hintergrund Bestimmung der Anzahl von Anordnungen und Auswahlmöglichkeiten von Objekten aus vorgegebenen Mengen Fakultät und Permutationen 433
44 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen 434
45 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Auswahlmöglichkeiten bei Berücksichtigung der Reihenfolge Werden k aus n Objekten (k n) ausgewählt, so gibt es dafür Möglichkeiten, falls die Reihenfolge berücksichtigt wird. Binomialkoeffizient und Auswahlmöglichkeiten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
46 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Beispiel 7.3.1: Lotto 6 aus 49 Einpunktverteilung Modell und Definition Erwartungswert und Varianz 436
47 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Bernoulli-Verteilung Modell und Definition Bernoulli-Verteilung als parametrische Verteilungsfamilie Erwartungswert und Varianz 437
48 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen 438
49 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Binomialverteilung Modell und Definition 439
50 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen 440
51 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Bernoulli-Verteilung als Spezialfall Binomial-Verteilung bei unterschiedlichen Parameterwerten Erwartungswert und Varianz 441
52 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Anmerkung zur Notation S n Beispiel Erscheint hier Modellierung über Binomialverteilung adäquat? 442
53 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen 443
54 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Poisson-Verteilung Modell und Definition Zusammenhang zwischen Binomialverteilung und Poisson-Verteilung Poisson-Verteilung bei unterschiedlichen Parameterwerten Erwartungswert und Varianz 444
55 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen 445
56 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Beispiel
57 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Spezielle stetige Verteilungen Stetige Gleichverteilung Modell und Definition Stetige Gleichverteilung bei unterschiedlichen Parameterwerten 447
58 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Erwartungswert und Varianz 448
59 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Verteilungsfunktion 449
60 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Beispiel
61 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Exponentialverteilung Modell und Definition Dichte: Notation: Zusammenhang zwischen Poisson-Verteilung und Exponentialverteilung Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit 451
62 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Exponentialverteilung bei unterschiedlichen Parameterwerten Erwartungswert und Varianz 452
63 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Verteilungsfunktion 453
64 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Beispiel Y... Wartezeit bis zum nächsten Notruf an einem Rettungswagen-Stützpunkt 454
65 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Normalverteilung Modell und Definition Dichte: Notation: Normalverteilung bei unterschiedlichen Parameterwerten 455
66 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Erwartungswert und Varianz Lineartransformationen bei Normalverteilungen 456
67 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Standardisierung bei Normalverteilung Verteilungsfunktion 457
68 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Theoretische Quantile 458
69 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Zusammenfassung für die Normalverteilung 459
70 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Vertafelung der Standardnormalverteilung Zur Lesart der Tabelle 460
71 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen 461
72 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen 462
73 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Beispiel
74 7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen Theoretische Schwankungsintervalle 464
75 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Exakte Aussagen Erwartungswerte und Varianzen Grundrahmen und benötigte Resultate Wir betrachten n Zufallsvariablen X 1, X 2,..., X n mit Dazu definieren wir folgende stochastische und theoretische Statistiken Man beachte im Folgenden folgendes Resultat: Erwartungswerte stochastischer Summen 465
76 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Erwartungswerte stochastischer Mittelwerte Varianz stochastischer Summen 466
77 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Speziell bei u. i. v. -Schema gilt: Varianz stochastischer Mittel Speziell bei u. i. v. -Schema gilt: Zusammenfassung 467
78 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte
79 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Verteilungen unter bestimmten Ausgangsverteilungen Allgemeines Diskrete und stetige Gleichverteilung 469
80 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte 470
81 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Binomialverteilung 471
82 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Poisson-Verteilung Normalverteilung 472
83 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte 473
84 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Exponentialverteilung und Erlangverteilung 474
85 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte 475
86 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Asymptotische und approximative Aussagen Gesetz der großen Zahlen (GGZ) Hintergrund Schwaches Gesetz der großen Zahlen 476
87 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Interpretation 477
88 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte 478
89 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Satz von Bernoulli 479
90 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Spezialfall: Hauptsatz der Statistik 480
91 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte 481
92 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Zentraler Grenzwertsatz Hintergrund 482
93 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Interpretation 483
94 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Approximationsgüte und Daumenregel G 484
95 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Spezialfall: Grenzwertsatz von de Moivre Anwendung Beispiel Anzahl mitreisender Kinder bei Buchungen von Pauschalreisen 485
96 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Sind X 1,..., X 50 u. i. v. wie X, so gilt: Damit erhalten wir gemäß ZGWS 90% 486
97 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Beispiel
98 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Exaktes Verteilungsresultat Exakte Wahrscheinlichkeiten Approximatives Verteilungsresultat (ZGWS 488
99 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Approximative Wahrscheinlichkeiten 489
100 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte 490
101 7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte Stetigkeitskorrektur für einzelne Trägerpunkte Kritische Prüfung der Annahmen des ZGWS 491
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