Kapitel 2. Wahrscheinlichkeit (wird heute behandelt) Kapitel 2. Wahrscheinlichkeit

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Nele Geier
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1 Teil I: Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Kapitel 2. Wahrscheinlichkeit (wird heute behandelt) Kapitel 3: Bedingte Wahrscheinlichkeit Kapitel 4: Zufallsvariablen Kapitel 5: Erwartungswerte, Varianz, Kovarianz und Korrelation Kapitel 2. Wahrscheinlichkeit 2 Überblick Beispiele Wahrscheinlichkeitsraum Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

2 Beispiele 3 Beispiel 1: Würfelwurf Ω = {ω 1,..., ω 6 } Beispiel 2: zweifacher Münzwurf Ω = {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)} Beispiel 3: Psychologisches Testen Ω = Ω U Ω O Beispiel 4: Ein typisches psychologisches Experiment Ω = Ω U Ω X Ω Y Wahrscheinlichkeitsraum 4 Ein Wahrscheinlichkeitsraum repräsentiert das beobachtete Zufallsexperiment. Er besteht aus den folgenden drei Komponenten die Menge der möglichen Ergebnisse des betrachteten Zufallsexperiments die Menge der möglichen Ereignisse und das Wahrscheinlichkeitsmaß

3 Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis und Wahrscheinlichkeit 5 Der Wahrscheinlichkeitsraum Ω,, P repräsentiert das betrachtete Zufallsexperiment, wobei: Ω die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments die Menge aller möglichen Ereignisse Ω und P : [0, 1] das Wahrscheinlichkeitsmaß auf Die Menge der möglichen Ergebnisse 6 Beispiel 1: Würfelwurf Ω = {ω 1,..., ω 6 } Beispiel 2: zweifacher Münzwurf Ω = {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)} Beispiel 3: psychologisches Testen Ω = Ω U Ω O

4 Die Menge der möglichen Ereignisse: Beispiel 1 7 Mögliche Ereignisse sind immer Teilmengen der Menge der möglichen Ergebnisse Ω Beispiel 1 (zweifacher Münzwurf): = {, Ω, {(K, K)}, {(K, Z), (Z, K), (Z, Z)}} Die Menge der möglichen Ereignisse: Beispiel 2 8 zweifacher Münzwurf Die Menge aller Teilmengen von Ω := {, Ω, { Z, Z }, { Z, K }, { K, Z },{ K, K }, { Z, Z, Z, K }, { Z, Z, K, Z }, { Z, Z, K, K }, { Z, K, K, Z }, { Z, K, K, K }, { K, Z, K, K }, { Z, Z, Z, K, K, Z }, { Z, Z, Z, K, K, K }, { Z, Z, K, Z, K, K }, { Z, K, K, Z, K, K }}

5 Einige mögliche Ereignisse beim psychologischen Testen: Beispiel 9 Tabelle 2.1. Einige Ereignisse und ihre formalsprachliche Darstellung Inhaltliches Ereignis Fritz wird gezogen Fritz oder Franz werden gezogen Formale Darstellung als Teilmenge von Ω = Ω U Ω O {Fritz} Ω O {Fritz, Franz} Ω O Die erste ufgabe wird gelöst Ω U {+} {+, } Fritz wird gezogen und löst beide ufgaben { Fritz, +, + } nwendung und Interpretation 10 Problem: Wahrscheinlichkeiten sind in der Regel unbekannt Ziel: Schätzung der Wahrscheinlichkeiten oder anderer Kenngrößen Wahrscheinlichkeiten sind theoretische Größen Beispiel: Münzwurfexperiment

6 Definition s-lgebra 11 Definition 2.1. Sei eine Menge von Teilmengen einer Menge Ω. Die Menge heißt dann σ-lgebra, wenn gelten: (a) Ω ; (b) wenn, dann ( ist das Komplement von ); (c) wenn 1, 2,... eine Folge von Elementen aus ist, dann ist auch deren Vereinigung Element von. Definition Wahrscheinlichkeit, usw Definition 2.2 Seien eine σ-lgebra auf einer Menge Ω sowie P: IR eine Funktion auf. Man betrachte die Bedingungen (Kolmogoroff-xiome): (a) P() 0, für alle ; Nichtnegativität (b) ist 1, 2,... eine Folge paarweise disjunkter Mengen i, dann gilt: P( ) = P( 1 ) + P( 2 ) +... (c) P(Ω) = 1. σ-dditivität Normierung

7 Definition Wahrscheinlichkeit, usw Wenn die Bedingungen (a) bis (c) gelten, heißen: (i) (ii) die Funktion P Wahrscheinlichkeitsmaß, das Tripel Ω,, P Wahrscheinlichkeitsraum, (iii) die Elemente i Ereignisse, (iv) der Wert P() Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, (v) die Mengen {ω}, ω Ω, Elementarereignisse und (vi) die Menge Ω die Menge der möglichen Ergebnisse. Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum Ω = {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)} 14 Tabelle 2.2. Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten beim zweimaligen Münzwurf i P( i ) nmerkung 0 = 0 1 = Ω 1 Bedingung (c) der Def. 2 2 = { K, K } 1/4 faire Münze! 3 = { K, Z } 1/4 dto. 4 = { Z, K } 1/4 dto. 5 = { Z, Z } 1/4 dto. 6 = { K, K, K, Z } P( 2 ) + P( 3 ) = 1/2 Bedingung (b) der Def. 2 7 = { K, K, Z, K } P( 2 ) + P( 4 ) = 1/2 dto. 8 = { K, K, Z, Z } P( 2 ) + P( 5 ) = 1/2 dto. 9 = { K, Z, Z, K } P( 3 ) + P( 4 ) = 1/2 dto. 10 = { K, Z, Z, Z } P( 3 ) + P( 5 ) = 1/2 dto. 11 = { Z, K, Z, Z } P( 4 ) + P( 5 ) = 1/2 dto. 12 = { K, K, K, Z, Z, K } P( 2 ) + P( 3 ) + P( 4 ) = 3/4 dto. 13 = { K, K, K, Z, Z, Z } P( 2 ) + P( 3 ) + P( 5 ) = 3/4 dto. 14 = { K, K, Z, K, Z, Z } P( 2 ) + P( 4 ) + P( 5 ) = 3/4 dto. 15 = { K, Z, Z, K, Z, Z } P( 3 ) + P( 4 ) + P( 5 ) = 3/4 dto.

8 Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit 15 Theorem 2.1 Seien Ω,, P ein Wahrscheinlichkeitsraum und, B Ereignisse. Dann gelten: (i) wenn B, dann P( \ B) = P( ) PB ( ) und P ( ) PB ( ); (ii) P( \ B) = P( ) P ( B) ; (iii) für : =Ω \ gilt: P( ) = 1 P ( ); (iv) P( B) = P ( ) + PB ( ) P( B). Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit (Diagramm) 16 \ B B Ω (a) \ B B B Ω (b) B B (c) (d) Ω (c) Ω (d) bbildung 2.1 Venn-Diagramme zur Veranschaulichung der in Theorem 2.1 genannten Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes

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