Beurteilung der biometrischen Verhältnisse in einem Bestand. Dr. Richard Herrmann, Köln

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Maike Vogt
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1 Beurteilung der biometrischen Verhältnisse in einem Bestand Dr. Richard Herrmann, Köln

2 Beurteilung der biometrischen Verhältnisse in einem Bestand 1 Fragestellung Methoden.1 Vergleich der Anzahlen. Vergleich der risikogewichteten Anzahlen.3 Statistische Entscheidungsverfahren.4 Vergleich zu Erfahrungswerten mit größeren Beständen

Vergleich der risikogewichteten Anzahlen.

3 Der Aktuar muss zu der Angemessenheit der biometrischen Rechnungsgrundlagen Stellung nehmen als Verantwortlicher Aktuar Pensionskassen Pensionsfonds Lebensversicherungen als Gutachter bei Erstellung der Bilanzgutachten für versicherungsförmige Durchführungswege als "Plan-Aktuar"

Pensionskassen Pensionsfonds Lebensversicherungen als Gutachter bei

4 Zur Beurteilung der biometrischen Rechnungsgrundlagen erforderliche Schritte 1. Herleiten empirischer Häufigkeiten aus dem Bestand (z.b. der Bestandsbewegung eines Geschäftsjahres), die mit den angenommenen Rechnungsgrundlagen vergleichbar sind. "Herausrechnen" von Sicherheitsmargen, d. h. Vergleich mit Rechnungsgrundlagen. Ordnung.. Vergleich durchführen mit geeigneter Methode 3. Beurteilung abgeben, Konsequenz ziehen z. B. Modifikation der Rechnungsgrundlagen (oder auch keine)

der Bestandsbewegung eines Geschäftsjahres), die mit den angenommenen Rechnungsgrundlagen vergleichbar sind.

5 Beispielhafte Fragestellung Anzahl Alter beobachtete Invaliditätsfälle (Zx) rechnungsmäßig erwartete Invaliditätsfälle (Ex) Sind die Rechnungsgrundlagen angemessen?

6 Beurteilung anhand der Anzahlen Summe der beobachteten Invaliditätsfälle 630 Summe der rechnungsmäßig erwarteten Invaliditätsfälle 693 Abweichung (beobachtet./. erwartet) - 63 Abweichung ca % Schlussfolgerung? Da der Vergleich mit Rechnungsgrundlagen. Ordnung vorgenommen wurde, bleiben Sicherheitsmargen außer Acht

/. erwartet) - 63 Abweichung ca. - 10 % Schlussfolgerung?

7 Beurteilung anhand der rechnungsmäßig erwarteten Zuführungen aufgrund von Invalidität mit den tatsächlichen Zuführungen aufgrund der Bestandsveränderungen Summe der tatsächlichen Zuführungen 48,4 Mio. Summe der erwarteten Zuführungen 5, Mio. Abweichung - 3,8 Mio. Abweichung ca. - 7 % Schlussfolgerung? Zuführungsbedarf Alter tatsächlicher Zuführungsbedarf rechnungsmäßig erwarteter Zuführungsbedarf

Summe der erwarteten Zuführungen 5, Mio. Abweichung - 3,8 Mio. Abweichung ca. - 7 % Schlussfolgerung?.500.000.

8 Beurteilung anhand der beobachteten und der erwarteten Anzahlen von Invaliditätsfällen anhand statistischer Testverfahren Grundidee: Wenn die rechnungsmäßigen biometrischen Rechnungsgrundlagen angemessen (i. S. des Erwartungswerts) sind, dann darf "die Abweichung nicht zu groß sein" Beispielhaft drei Testverfahren χ -Test Vorzeichentest Iterationstest

9 Statistisches Entscheidungsmodell Gewünscht: Aussage zu den tatsächlichen Ausscheidewahrscheinlichkeiten im Vergleich zu den rechnungsmäßig unterstellten Ausscheidewahrscheinlichkeiten. Hierzu werden die möglichen Aussagen in zwei disjunkte Teilmengen aufgeteilt: H: Die tatsächlichen und die rechnungsmäßig unterstellten Ausscheidewahrscheinlichkeiten stimmen überein (Hypothese) A: Die tatsächlichen und die rechnungsmäßig unterstellten Ausscheidewahrscheinlichkeiten sind verschieden (Alternative)

Hierzu werden die möglichen Aussagen in zwei disjunkte Teilmengen aufgeteilt: H: Die tatsächlichen und die rechnungsmäßig

10 Mögliche Kombinationen von Entscheidung und Realität Hypothese tatsächlich Alternative Hypothese richtig falsch Entscheidung für Alternative kein Fehler falsch Fehler. Art = β richtig Fehler 1. Art = α kein Fehler

falsch Entscheidung für Alternative kein Fehler

11 Definition der Zufallsvariablen Z = x j 1 wenn j - te Person des Alters x ausscheidet 0 sonst j = 1,..., l : = Anzahl der Lebenden des Alters x x Z x j Definiere ist binomial verteilt mit Erwartungswert q x Z x lx = j= 1 dann ist Z x näherungsweise poissonverteilt mit Z x j Erwartungswert = Varianz = l x q x =: E x = Anzahl der erwarteten Ausgeschiedenen

.., l : = Anzahl der Lebenden des Alters x x Z x j Definiere ist binomial verteilt mit

12 χ -Test Teststatistik für χ -Test T ω = ( Z E ) x E x=0 x x T ist χ - verteilt mit (ω+1) Freiheitsgraden Entscheidung: für Alternative, wenn: T > für Hypothese: sonst χ ω+ 1;1 α

13 Interpretation des Testergebnisses χ ω+ α 1. T > 1;1 (Verwerfen der Hypothese) "Tatsächliche und rechnungsmäßige angenommene Ausscheidewahrscheinlichkeiten sind signifikant verschieden auf dem Niveau1 - α". χ ω+ 1;1 α. T < (Annahme der Hypothese) "Auf dem Niveau 1 α spricht der Test nicht gegen die Gleichheit von tatsächlichen und rechnungsmäßig unterstellten Ausscheidewahrscheinlichkeiten". Für das Beispiel: keine signifikante Abweichung für = 5 % α

sind signifikant verschieden auf dem Niveau1 - α". χ ω+ 1;1 α.

14 Vorzeichentest Teststatistik: T = { Z > E } ω 1 x x= 0 x Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist T binomial verteilt mit 1 ( ) 1 Wahrscheinlichkeit für jedes Vorzeichen, d. h. T B ω + 1,. Zu vorgegebenem Niveau 1 - α werden zwei Schwellenwerte n α und ω n α bestimmt, so dass bei Unterschreiten von n α bzw. bei Überschreiten von ω n α die Nullhypothese abgelehnt wird. n α wird bestimmt aus n j 1 j α 1 ω+ ω + 1! 1 1 P( T < nα ) = α j= 0 j Für das Beispiel: signifikante Abweichung für α = 5 %

Zu vorgegebenem Niveau 1 - α werden zwei Schwellenwerte n α und ω + 1 - n α bestimmt, so dass bei Unterschreiten von n α bzw.

15 Iterationstest Teststatistik: T = 1 { Sign( Zx Ex ) Sign( Zx 1 Ex 1) } x= 1 Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist T binomial verteilt mit 1 1 Wahrscheinlichkeit für jedes Vorzeichen, d. h. T B ω,. Zu vorgegebenem Niveau 1 - α wird ein Schwellenwert n α bestimmt, so dass bei Unterschreiten von n α die Nullhypothese abgelehnt wird. n α wird bestimmt aus ω n 1 j j α ω! ( ) ω 1 1 P( T < nα ) = α j= 0 j Für das Beispiel: keine signifikante Abweichung für α = 5 %

Zu vorgegebenem Niveau 1 - α wird ein Schwellenwert n α bestimmt, so dass bei Unterschreiten von n α die

16 Eigenschaften der drei Testverfahren Testverfahren Ansatz Vorteile Nachteile χ -Test Summe der quadrierten und normierten Differenzen zwischen beobachteten und tatsächlichen Leistungsfällen Berücksichtigung der Größe der Differenzen Verteilung tabelliert Bestandsgröße wird berücksichtigt Vorzeichen der Differenzen bleiben unberücksichtigt "Schiefe" kann nicht festgestellt werden Anzahl der positiven (bzw. negativen) Differenzen zwischen erwarteten und tatsächlichen Leistungsfällen Vorzeichentest Teststatistik leicht zu ermitteln Verteilung tabelliert Systematische Abweichungen werden selten erkannt Größe der Differenzen zwischen erwarteten und tatsächlichen Leistungsfällen wird nicht berücksichtigt Bestandsgröße wird nicht berücksichtigt Vorzeichenwechsel bei benachbarten Altern in Hinblick auf die Differenz zwischen erwarteten und tatsächlichen Leistungsfällen Iterationstest Teststatistik leicht zu ermitteln Verteilung tabelliert Anzahl und Reihenfolge der Differenzen werden berücksichtigt Größe der Differenzen zwischen erwarteten und tatsächlichen Leistungsfällen wird nicht berücksichtigt Bestandsgröße wird nicht berücksichtigt

17 ! "# $ Fazit Vergleich der Anzahlen allein häufig ungeeignet keine oder nur geschätzte Aussage zum Risikoergebnis keine Berücksichtigung der Leistungshöhe Verwendung von gewichteten Anzahlen aussagekräftiger, Einbeziehung von Rentenhöhe riskiertes Kapital Statistische Testverfahren unabhängiger von subjektiver Einschätzung Irrtumswahrscheinlichkeit ist festzulegen kein "Test-picking" Verfahren mit Berücksichtigung der Bestandsgröße sind zu bevorzugen

Rentenhöhe riskiertes Kapital Statistische Testverfahren unabhängiger von subjektiver Einschätzung

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